Preberi naslednjo zgodbo.

Bilo je v nedeljo popoldne...

Bilo je v nedeljo popoldne, ko sta se Domen in Tadej na moč dolgočasila. Takrat se Domen spomni zabavne igrice. Tadeja vpraša, kaj dobi, če $1$ najprej poveča za tri, nato pa kvadrira.„$16$,” odgovori brž Tadej. „Kaj pa, če vzameš število $2$?” nadaljuje Domen. „Potem dobim $25$,” reče Tadej. „In kaj sedaj?” Poskusila sta še $3$, $4$ in $5$. Fanta sta si na papir hitro napisala razpredelnico:

„Poglej, poglej!” sta se začudila. „Dobila sva same kvadrate! Kako je to mogoče?” Domen vzame svinčnik in zapiše:
$1 \longrightarrow 4 \longrightarrow 16$
$2 \longrightarrow 5 \longrightarrow 25$
$3 \longrightarrow 6 \longrightarrow 36$

in podobno še za $4$ in $5$. „Da sva dobila same kvadrate, ni nič nenavadnega!” ugotovita. „Zanimiveje bi bilo odkriti, kako do rezultata v eni sami potezi!” Nekaj časa gleda, potem pa se Domen spomni, da bi lahko zapisal tudi takole:
$\Delta \longrightarrow (\Delta+3) \longrightarrow (\Delta+3)^2$

„Ha, ha, ha...” se smeje Tadej, „Kaj pa ta trikotnik dela tukaj?” „Ah, saj veš. To je lahko katero koli število,” povesi glavo Domen. „Lahko pa namesto njega napišem tudi $x$, če ti je to bolj všeč.”
$x \longrightarrow (x+3) \longrightarrow (x+3)^2$

„Saj res!” se nenadoma razveselita. „Zato pa sva dobila same kvadrate. In tudi to veva, kako se iz začetnih števil takoj dobijo tista iz razpredelnice.”

Fanta iz zgodbe sta osnovnošolca in o funkcijah nimata dosti pojma. Zato pa se mi potrudimo in zapišimo zadeve matematično. Če spremenljivko x preslikam najprej z eno funkcijo, potem pa dobljeni rezultat še z drugo, rečem, da imam sestavo dveh funkcij. Pri tem moramo paziti, da je druga funkcija definirana na množici slik oziroma funkcijskih vrednosti prve funkcije. Najlažje je, če narišemo kar diagram oziroma sliko:
$x \longrightarrow g(x) \longrightarrow f(g(x))$

Dani sta funkciji $f(x)=3x+1$ in $g(x)=5x$. Sestavimo obe funkciji tako, da bo $f(x)$ zunanja, $g(x)$ pa notranja. To pomeni, da se bo najprej zgodila $g$, potem pa še $f$.

Sestavljena funkcija se zapiše takole: $f(g(x))=f(5x)=3 \cdot (5x)+1=15x+1$

Poskusimo razložiti še z besedami. Preslikava $g$ deluje prva in spremenljivko $x$ pomnoži s $5$. Nato pa se dobljeni rezultat preslika še s funkcijo $f$. Ta ga najprej pomnoži s $3$ in nato poveča za $1$.

Tvoja naloga je, da sestaviš funkciji $f$ in $g$ v drugačnem vrstnem redu. Izračunaj novo formulo oziroma predpis, ugotovi tudi, kam se preslikajo števila $1$, $3$ in $5$.

Nov predpis sestavljenih funkcij $f$ in $g$ se glasi

Število $1$ se preslika v .
Število $3$ se preslika v .
Število $5$ se preslika v .

Preveri

Imamo še eno nalogo zate. Oglej si sliko.

Prikazali smo sestavo dveh preprostih funkcijskih predpisov. Ali ju prepoznaš?

Označi predpis za $f(x)$ in $g(x)$ pa tudi za sestavljeno funkcijo $f(g(x))$.

Preveri

Pričnimo s tistim, kar nam je obljubljal naslov. Vzemimo funkcijo $h(x)=(3x–2)^{14}$. Pošteno bi se namučili z računanjem njenega odvoda! Še najlažje bi bilo, če bi izraz najprej potencirali in nato odvajali, toda kaj, ko mi morali izračunati kar $15$ členov. Tukaj se bomo naučili izračunati tak odvod na kratko.

Naša funkcija je sestavljena iz dveh funkcij. Spremenljivka $x$ se najprej preslika v $3x–2$ (notranja funkcija), nato pa se to število še potencira s potenčnim eksponentom $14$ (zunanja funkcija). Odvod začnemo računati pri zunanji funkciji, nato pa primnožimo še odvod notranje funkcije. Poglej:

$h´(x)=14 \cdot (3x-2)^{13} \cdot 3$.

Pokažem ti še en primer. Naj bo funkcija sedaj $m(x)=(x^2+x+5)^4$. Tudi ta je sestavljena iz dveh funkcij. Tokrat se x najprej preslika v $x^2+x+5$, nato pa se ta izraz potencira še s stopnjo $4$. Odvajajmo tako kot prej:

$m´(x)=4(x^2+x+5)^3 \cdot (2x+1)$.

Preizkusi se

Odvajaj funkcijo $h(x)=(x^3-2x)^7$.

Zdaj je čas, da pravilo za odvod sestavljene funkcije zapišemo, kot se spodobi. Naj bo $g(x)$ funkcija, ki deluje prva, njen rezultat pa naj se nato preslika še s funkcijo $f(x)$. Sestavljeno funkcijo označimo s $h(x)=f(g(x))$. Pravilo za odvod take funkcije se glasi:

Če te ta zapis ni preveč razveselil, ti svetujem, da se takega odvajanja naučiš ob primerih. Boljši dijaki pa naj se potrudijo in dokaz te formule poiščejo v šolski knjigi.

Preizkusi se 1

Odvod funkcije $f(x)=(3x^2-4)^2$ je enak:

Preveri

Preizkusi se 2

Odvod funkcije $g(x)=3 \cdot (x^{-1}+x^{-2})^4$ je enak:

Preveri

Na levi strani so zapisane tri funkcije. Prepiši jih v zvezek in odvajaj. Vsako od teh treh funkcij poveži z njenim odvodom, ki je skrit med funkcijami na desni strani.

Riš datoteka

Tukaj bomo končali. Predlagam ti, da za utrjevanje in ponavljanje narediš še naslednje dodatne naloge.

Odvajaj naslednje funkcije. Upoštevaj pravila za odvajanje, ki si jih doslej spoznal, nato pa rezultat poenostavi, kolikor se da. (izpostavi skupni faktor, uredi člene ...). Nekatere funkcije lahko poenostaviš že pred odvajanjem.
Označi pravilen rezultat in rešitev preveri.

Preveri

Nadaljuj kot na prejšnji strani.

Preveri

Dani sta funkciji $f(x) = x^2 + 3$ in $g(x) = 4x − 2$. Izpelji predpis za naslednje funkcije:
Nato izračunaj za vsako posebej, kam preslika število $4$.

$f(g(x))$ preslika število $4$ v .
$g(f(x))$ preslika število $4$ v .
$g(g(x))$ preslika število $4$ v .
$f(f(x))$ preslika število $4$ v .

Preveri

Kam se preslikajo števila $1$, $2$, $3$, če najprej uporabimo funkcijo $g(x)= 4x − 2$ in potem $f(x)=x^2 + 3$ ali pa obratno?

Diagram s puščicami

$f(g(x))$

$1 \longrightarrow$ $\longrightarrow$ .
$2 \longrightarrow$ $\longrightarrow$ .
$3 \longrightarrow$ $\longrightarrow$ .

$g(f(x))$

$1 \longrightarrow$ $\longrightarrow$ .
$2 \longrightarrow$ $\longrightarrow$ .
$3 \longrightarrow$ $\longrightarrow$ .

Komponiranje splošno ni je komutativno.

Preveri