Računanje s polinomi

Računanje s polinomi

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Uvod

V tem poglavju si bomo pogledali računske operacije med polinomi. Polinome bomo seštevali, odštevali, množili s številom, prav tako se bomo naučili zmnožiti dva polinoma.

Operacije med polinomi, ki si jih bomo podrobneje ogledali v tem gradivu, so vse notranje operacije, kar pomeni, da bo rezultat vedno polinom.

Seštevanje polinomov

Imamo polinoma
in
.

Dopolni izraz, ki predstavlja vsoto teh dveh polinomov tako, da v drugi vrstici vstaviš koeficiente vsote .

=
= 1 2 3 4 5 + 1 2 3 4 5 + -2 -1 0 1 2 + -2 -1 0 1 2 + -2 -1 0 1 2 + -2 -1 0 1 2

Preveri odgovor




Kako si seštel polinoma? Na katero pravilo o seštevanju potenc si se spomnil?

Odgovor poišči tukaj

Polinome seštejemo tako, da seštejemo koeficiente polinomov pri enakih potencah. Uporabimo pravilo, da lahko seštevamo le potence z enakimi osnovami in enakimi eksponenti.

Odlično! Odgovor je popolnoma pravilen.

Napačno

Vsaj en dogovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

REŠITEV

= 2+1+1-1-1+1

Odštevanje polinomov

Odštej polinoma
in
.

V drugi vrstici izraza vstavi predznak oziroma , v tretji vrstici pa dopolni koeficiente razlike teh dveh polinomov.

=
= - + - + - + - +
= -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 + -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 + -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 + -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 + -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 + -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Preveri odgovore




S pomočjo zgornjih dveh primerov razmisli, kaj lahko poveš o stopnji vsote in razlike polinomov.

Stopnja vsote in razlike polinomov

Stopnja vsote oziroma razlike dveh polinomov je kvečjemu enaka višji od stopenj polinomov, lahko pa je nižja.

Odlično! Vsi odgovori so pravilni.

Napačno

Vsaj en dogovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

REŠITEV

= -+++
= 0+0+0+1+3+1

Množenje polinoma s številom

Polinom množimo z realnim številom tako, da z njim pomnožimo vse njegove koeficiente:



Razmisli, kako je s stopnjo polinoma, pomnoženega s številom in dopolni besedilo.

Pri množenju polinoma z neničelnim realnim številom se stopnja polinoma ne ohrani včasih ohrani vedno ohrani , če pa pomnožimo polinom z 0, pa dobimo ničelni polinom nični polinom , ki ima stopnjo -1 0 1 .

Preveri odgovore

Odlično! Vsi odgovori so pravilni.

REŠITEV

Pri množenju polinoma z neničelnim realnim številom se stopnja polinoma vedno ohrani, če pa pomnožimo polinom z 0, pa dobimo ničelni polinom, ki ima stopnjo 0.

Napačno

Vsaj en odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Množenje polinomov na primeru

Navidez bolj zapleteno je množenje. Množimo tako, kot smo navajeni, pri tem pa upoštevamo distributivnostni zakon.

Zmnoži polinoma in . Koliko so stopnje posameznih členov produkta polinomov, v nalogi označene s črkami , , , , in ?

=
=



Odgovor: Izračunam, da = -1 0 1 4 5 9 20 , = -3 -2 3 5 7 10 , = -4 -1 1 4 5 , = -2 -1 1 2 3 , = -4 -1 0 1 4 5 , = -1 0 1 2 3 .
Preveri odgovore

Odlično! Vsi odgovori so pravilni.

REŠITEV

Izračunam, da je , , , , , .

Napačno

Vsaj en dogovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Množenje polinomov v splošnem

Zmnožimo še v splošnem dva polinoma in premislimo o stopnji, vodilnem koeficientu in prostem členu produkta dveh polinomov.

Vzemimo dva poljubna polinoma in in izračunajmo njun produkt.

=
=



Zapomnimo si:

Stopnja produkta dveh polinomov je enaka vsoti stopenj posameznih polinomov.
Vodilni koeficient produkta dveh polinomov je enak produktu vodilnih koeficientov posameznih polinomov.
Prosti člen produkta dveh polinomov je enak produktu prostih členov posameznih polinomov.

Naloge

1. naloga

  1. So spodnje trditve pravilne ali napačne?

    Vsota poljubnih dveh polinomov stopnje dva je spet polinom stopnje dva.PravilnoNapačno
    Produkt polinoma stopnje in polinoma stopnje je polinom stopnje .PravilnoNapačno
    Produkt polinoma stopnje in polinoma stopnje je polinom stopnje .PravilnoNapačno
  2. Izberi izraz, ki predstavlja poenostavitev polinoma :

  3. Dana sta polinoma in . Izberi izraz, ki predstavlja poenostavitev polinoma .

Preveri odgovora

Odlično! Obe nalogi si rešil pravilno.

REŠITEV

Tretjo nalogo si rešil pravilno, drugo pa poskusi še enkrat.

Drugo nalogo si rešil pravilno, tretjo pa poskusi še enkrat.

Napačno

Odgovora sta napačna. Poskusi še enkrat.

To pa ne bo držalo! Seštej na primer .

Odlično! Seštej na primer .

To pa ne bo držalo!

Odlično!

Odlično!

To pa ne bo držalo!

Naloge

2. naloga

Dana imaš polinoma
in
.

  1. Kateremu od naštetih polinomov je enak polinom ?

  2. Kateremu od naštetih polinomov je enak polinom ?

Preveri

Odlično! Lahko nadaljuješ na naslednjo nalogo.

REŠITEV



Prvo nalogo si rešil pravilno, drugo poskusi še enkrat.

Drugo nalogo si rešil pravilno, prvo poskusi še enkrat.

Odgovora nista pravilna. Poskusi še enkrat.

REŠITEV

1.
2.

Naloge

3. naloga

Zmnoži polinome in izberi pravilno rešitev.

Preveri

Odlično! Lahko nadaljuješ na naslednjo nalogo.

Napačno

Vsaj en odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

REŠITEV

Naloge

4. naloga

Dani so polinomi , in . Kolikšne so stopnje in vodilni koeficienti naslednjih polinomov.

PolinomStopnja polinomaVodilni koeficient


Preveri

Odlično! Lahko nadaljuješ na naslednjo nalogo.

Napačno

Vsaj en odgovor je napačen. Poskusi znova.

REŠITEV

PolinomStopnja polinomaVodilni koeficient
1564
7-4
71



Naloge

5. naloga

Za katero naravno število in realno število bo imel polinom stopnjo 14 in prosti člen enak -64?

Odgovor: Izračunam, da = in =.

Preveri

Odlično!

Napačno

Vsaj en odgovor je napačen. Poskusi znova.

REŠITEV

Odgovor: Izračunam, da =6 in =-1.
0%
0%