V tem poglavju si bomo pogledali računske operacije med polinomi. Polinome bomo seštevali, odštevali, množili s številom, prav tako se bomo naučili zmnožiti dva polinoma.
Operacije med polinomi, ki si jih bomo podrobneje ogledali v tem gradivu, so vse notranje operacije, kar pomeni, da bo rezultat vedno polinom.
Računanje s polinomi
Računanje s polinomi
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Uvod
Seštevanje polinomov
Imamo polinoma
in
.
Dopolni izraz, ki predstavlja vsoto teh dveh polinomov tako, da v drugi vrstici vstaviš koeficiente vsote .
| = | |
| = 1 2 3 4 5 + 1 2 3 4 5 + -2 -1 0 1 2 + -2 -1 0 1 2 + -2 -1 0 1 2 + -2 -1 0 1 2 |
Kako si seštel polinoma? Na katero pravilo o seštevanju potenc si se spomnil?
Odlično! Odgovor je popolnoma pravilen.
Napačno
Vsaj en dogovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
REŠITEV
= 2+1+1-1-1+1
Odštevanje polinomov
Odštej polinoma
in
.
V drugi vrstici izraza vstavi predznak oziroma , v tretji vrstici pa dopolni koeficiente razlike teh dveh polinomov.
| = | |
| = - + - + - + - + | |
| = -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 + -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 + -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 + -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 + -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 + -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 |
S pomočjo zgornjih dveh primerov razmisli, kaj lahko poveš o stopnji vsote in razlike polinomov.
Odlično! Vsi odgovori so pravilni.
Napačno
Vsaj en dogovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
REŠITEV
| = -+++ | |
| = 0+0+0+1+3+1 |
Množenje polinoma s številom
Polinom množimo z realnim številom tako, da z njim pomnožimo vse njegove koeficiente:
Razmisli, kako je s stopnjo polinoma, pomnoženega s številom in dopolni besedilo.
Pri množenju polinoma z neničelnim realnim številom se stopnja polinoma ne ohrani včasih ohrani vedno ohrani , če pa pomnožimo polinom z 0, pa dobimo ničelni polinom nični polinom , ki ima stopnjo -1 0 1 .
Odlično! Vsi odgovori so pravilni.
REŠITEV
Pri množenju polinoma z neničelnim realnim številom se stopnja polinoma vedno ohrani, če pa pomnožimo polinom z 0, pa dobimo ničelni polinom, ki ima stopnjo 0.
Napačno
Vsaj en odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Množenje polinomov na primeru
Navidez bolj zapleteno je množenje. Množimo tako, kot smo navajeni, pri tem pa upoštevamo distributivnostni zakon.
Zmnoži polinoma in . Koliko so stopnje posameznih členov produkta polinomov, v nalogi označene s črkami , , , , in ?
| = | |
| = |
Odgovor: Izračunam, da =
-1
0
1
4
5
9
20
, =
-3
-2
3
5
7
10
, =
-4
-1
1
4
5
, =
-2
-1
1
2
3
, =
-4
-1
0
1
4
5
, =
-1
0
1
2
3
.
Preveri odgovore
Odlično! Vsi odgovori so pravilni.
REŠITEV
Izračunam, da je , , , , , .
Napačno
Vsaj en dogovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Množenje polinomov v splošnem
Zmnožimo še v splošnem dva polinoma in premislimo o stopnji, vodilnem koeficientu in prostem členu produkta dveh polinomov.
Vzemimo dva poljubna polinoma in in izračunajmo njun produkt.
| = | |
| = |
Zapomnimo si:
| Stopnja produkta dveh polinomov je enaka vsoti stopenj posameznih polinomov. Vodilni koeficient produkta dveh polinomov je enak produktu vodilnih koeficientov posameznih polinomov. Prosti člen produkta dveh polinomov je enak produktu prostih členov posameznih polinomov. |
Naloge
1. naloga
So spodnje trditve pravilne ali napačne?
Vsota poljubnih dveh polinomov stopnje dva je spet polinom stopnje dva. Pravilno Napačno Produkt polinoma stopnje in polinoma stopnje je polinom stopnje . Pravilno Napačno Produkt polinoma stopnje in polinoma stopnje je polinom stopnje . Pravilno Napačno Izberi izraz, ki predstavlja poenostavitev polinoma :
Dana sta polinoma in . Izberi izraz, ki predstavlja poenostavitev polinoma .
Odlično! Obe nalogi si rešil pravilno.
REŠITEV
Tretjo nalogo si rešil pravilno, drugo pa poskusi še enkrat.
Drugo nalogo si rešil pravilno, tretjo pa poskusi še enkrat.
Napačno
Odgovora sta napačna. Poskusi še enkrat.
To pa ne bo držalo! Seštej na primer .
Odlično! Seštej na primer .
To pa ne bo držalo!
Odlično!
Odlično!
To pa ne bo držalo!
Naloge
2. naloga
Dana imaš polinoma
in
.
Kateremu od naštetih polinomov je enak polinom ?
Kateremu od naštetih polinomov je enak polinom ?
Odlično! Lahko nadaljuješ na naslednjo nalogo.
REŠITEV
Prvo nalogo si rešil pravilno, drugo poskusi še enkrat.
Drugo nalogo si rešil pravilno, prvo poskusi še enkrat.
Odgovora nista pravilna. Poskusi še enkrat.
REŠITEV
1.
2.
Naloge
Odlično! Lahko nadaljuješ na naslednjo nalogo.
Napačno
Vsaj en odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
REŠITEV
Naloge
4. naloga
Dani so polinomi , in . Kolikšne so stopnje in vodilni koeficienti naslednjih polinomov.
| Polinom | Stopnja polinoma | Vodilni koeficient |
Odlično! Lahko nadaljuješ na naslednjo nalogo.
Napačno
Vsaj en odgovor je napačen. Poskusi znova.
REŠITEV
| Polinom | Stopnja polinoma | Vodilni koeficient |
| 15 | 64 | |
| 7 | -4 | |
| 7 | 1 |
Naloge
5. naloga
Za katero naravno število in realno število bo imel polinom stopnjo 14 in prosti člen enak -64?
Odgovor: Izračunam, da = in =.
Odlično!
Napačno
Vsaj en odgovor je napačen. Poskusi znova.
REŠITEV
Odgovor: Izračunam, da =6 in =-1.
Odgovor: Izračunam, da =6 in =-1.
