Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Odvod inverzne funkcije

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Osvežili bomo znanje o inverzni in sestavljeni funkciji. Spoznali bomo formulo za odvod inverzne funkcije in z njo odvajali korenske funkcije.

Preslikava

Preslikavo natanko opišemo, če povemo, kaj preslikuje, kam in kako. V matematičnem jeziku bi rekli, da moramo natančno definirati množico iz katere slika (definicijsko območje), množico, v katero slika (del te je zaloga vrednosti), in pa predpis, ki pove, kako originalu priredimo sliko. Kadar imamo opravka s števili, namesto teh izrazov govorimo o FUNKCIJAH, FORMULAH in njihovih REZULTATIH.

$f:A \longrightarrow B$
$a \longrightarrow b=f(a)$

Bijektivna preslikava

Kar nekajkrat doslej smo se že srečali s pojmom INVERZNA preslikava oziroma funkcija. Ta deluje v nasprotni smeri in vsaki sliki priredi njen original. Obstaja natanko tedaj, ko je opazovana preslikava BIJEKTIVNA.

Malo za šalo, malo zares: slika prikazuje, v katero dekle je zaljubljen kateri fant. Preslikava je bijektivna, saj je v vsako od deklet zaljubljen natanko en fant. Inverzna preslikava zato obstaja in vsakemu dekletu priredi tistega fanta, ki je vanjo zaljubljen. Če so zaljubljena tudi dekleta, pa je povsem druga zgodba. Pet srečnih parov bi dobili le, če je vsaka od njih zaljubljena v ravno pravega.

Kaj pomeni BIJEKTIVNOST preslikave?

To pomeni, da se poljubna dva različna elementa iz množice A preslikata vselej v dva različna (INJEKTIVNOST) in da je vsak element iz B slika vsaj kakšnega elementa iz A (SURJEKTIVNOST). Lahko bi torej zapisali:

INJEKTIVNOST + SURJEKTIVNOST = BIJEKTIVNOST.

Lahko pa povemo tudi preprosteje. Preslikava je bijektivna, če ustvari med elementi množic A in B pare (en par je original in njegova slika) in pri tem uporabi elemente obeh množic, vsakega natanko enkrat.

Vaja 1

Spomnimo se inverznih preslikav nekaterih znanih funkcij iz nižjih letnikov gimnazije. Najprej poišči manjkajoče besede, nato pa ob vsaki omenjeni funkciji v zvezek napiši kakšen konkreten primer. Ne pozabi na definicijsko območje in zalogo vrednosti. Na primer: $f(x)=x^3$ je potenčna funkcija, ki preslika realna števila v realna.

Inverzna funkcija linearne funkcije je funkcija. Inverzne funkcije funkcij so korenske funkcije. Inverzne funkcije kotnih funkcij se imenujejo funkcije, inverzne funkcije eksponentnih funkcij pa so .

Preveri

Pravilno

Napačno

Nekje si se zmotil. Poskusi še enkrat.

Rešitev

Inverzna funkcija linearne funkcije je linearna funkcija. Inverzne funkcije potenčnih funkcij so korenske funkcije. Inverzne funkcije kotnih funkcij se imenujejo krožne funkcije, inverzne funkcije eksponentnih funkcij pa so logaritemske.

Vaja 2

Oglej si sliko in poskusi določiti predpis (formulo) za preslikavo $f(x)$ , ki slika realna števila v realna. Naj ti pomagam: preslikava je linearna ( $1$ se slika v $–1$ , $2$ v $–4$ , število $3$ pa v $–7$ ).

$f(x)=x-2$

$f(x)=x-2x$

$f(x)=-3x+2$

Preveri

Pravilno

Napačno

Namig:
Formula bo oblike $f(x)=kx+n$ . Najlažje nalogo rešimo tako, da s pomočjo sistema dveh enačb določimo neznanki $k$ in $n$ . Pa poglejmo. Ker se $1$ preslika v $–1$ , število $2$ pa v $–4$ , velja:
$-1=k+n$
$-4=2k+n$

Rešitev

$f(x)=-3x+2$

Vaja 2

Upam, da ti je uspelo. Določi še njej inverzno preslikavo.

$f^{-1}(x)=\frac{x-2}{3}$

$f^{-1}(x)=x-2$

$f^{-1}(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$

Preveri

Pravilno

Napačno

Namig:
Inverzno preslikavo pa najlažje dobimo tako, da zamenjamo vlogi neodvisne in odvisne spremenljivke (torej $x$ in $y$ ) ter nato izrazimo $y$ .

Predpis za inverzno preslikavo lahko poiščemo tudi drugače, to je s sistemom enačb, podobno kot smo iskali predpis za $f(x)$ , le da so podatki zamenjani ( $–1$ se slika v $1$ , ...).

Rešitev

$f^{-1}(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$

Odvod inverzne funkcije

Naj bo $f$ bijektivna preslikava, $f^{-1}$ pa njej inverzna. Potem zagotovo velja naslednje: če spremenljivko $x$ najprej preslikam s prvo, nato pa še z drugo preslikavo, dobim za rezultat število, s katerim smo začeli. Tudi če bi zamenjali vrstni red preslikav, bi dobili isto. To ugotovitev lahko zapišemo takole:

$(f \circ f^{-1})(x)=f(f^{-1}(x))=x$

$(f^{-1} \circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=x$

Odvajajmo funkcijo na skrajni levi po pravilu za odvod sestavljene funkcije in dobimo:

$(f(f^{-1}(x)))´=f´(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1}(x))´=1$

Odvod inverzne funkcije

Od tod brez težav izrazimo odvod inverzne funkcije.

$(f^{-1}(x))´=\frac{1}{f´(f^{-1}(x))}$

Tole pravilo zate morda ni preveč privlačno. Ti kar povem, da ga v običajnih nalogah ne boš uporabljal. Toda potrebujemo ga za izpeljavo odvajanja korenskih, logaritemskih in krožnih funkcij. Take pa nate čakajo skoraj za vsakim vogalom.

Odvod korenske funkcije

Recimo, da želimo za začetek odvajati preprosto korensko funkcijo $g(x)=\sqrt{x}$ . Ta je inverzna funkciji $h(x)=x^2$ , torej je $g(x)=h^{-1}(x)$ . Potem pa je

$g´(x)=(h^{-1}(x))´$ .

Pa izračunajmo tale odvod. Uporabili bomo pravilo za odvod inverzne funkcije in že znano dejstvo, da je $h´(x)=2x$ . Dobimo:

$g´(x)=(h^{-1}(x))´=\frac{1}{h´(h^{-1}(x))}=\frac{1}{h´(g(x))}=\frac{1}{2 \cdot g(x)}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Pa nam je uspelo. Na podoben način se preizkusimo še s korensko funkcijo višje stopnje. Naj bo sedaj $g(x)=\sqrt[n]{x}$ . Ker je njena inverzna funkcija $x^n$ , dobimo po pravilu za inverzno funkcijo naslednje:
$g´(x)=\frac{1}{g^{-1}(g(x))}=\frac{1}{n \cdot (\sqrt[n]{x})^{n-1}}$ .

Odvod korenske funkcije

Izpeljani formuli spremenimo v zapis z racionalnimi potenčnimi stopnjami. Ali opaziš kaj zanimivega?

$(\sqrt{x})´=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}$ lahko zapišemo tudi drugače: $(x^{\frac{1}{2}})´=\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}}$ .

$(\sqrt[n]{x})´=\frac{1}{n \cdot (\sqrt[n]{x})^{n-1}}$ in še drugače $(x^{\frac{1}{n}})´=\frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n}-1}$ .

Najlažje odvajamo korenske funkcije tako, da jih zapišemo v obliki potenc in jih nato odvajamo kot potence. Kako preprosto! Torej velja naslednja formula za vsa racionalna števila:

$(x^n)´=n \cdot x^{n-1}$ , $n$ je poljubno racionalno število.

Oglejmo si kakšen primer

Kako naj odvajam funkcijo $f(x)=\sqrt[4]{x}$ ? Najprej spremenim zapis, nato pa odvajam.
$f(x)=\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}$
$f´(x)=\frac{1}{4} \cdot x^{\frac{1}{4}-1}=\frac{1}{4} \cdot x^{-\frac{3}{4}}$

Če želim, rezultat spremenim nazaj v zapis s koreni.
$f´(x)=\frac{1}{4} \cdot \sqrt[4]{x^{-3}}=\frac{1}{4 \cdot \sqrt[4]{x^3}}$

Zgled

Pri računanju odvoda na primer funkcij $f(x)=x \cdot \sqrt[3]{6x}$ in $g(x)=\frac{x^2+4}{\sqrt{x}}$ imamo ponavadi dve možnosti: funkcije lahko takoj odvajamo in nato rezultat uredimo, lahko pa zapis funkcije najprej primerno uredimo in šele nato odvajamo. Z vajo običajno pridobimo občutek za to, kaj je bolje. Poleg tega se lahko vedno odločimo za zapis s koreni ali pa z racionalnimi potenčnimi eksponenti. Pa poglejmo.

Prvo funkcijo bomo najprej zapisali kot potenco in nato odvajali.
$f(x)=\sqrt[3]{6x^4}=(6x^4)^{\frac{1}{3}}$
$f´(x)=\frac{1}{3} \cdot (6x^4)^{-\frac{2}{3}} \cdot 24x^3=\frac{8x}{\sqrt[3]{36x^2}}$

Drugo funkcijo poskusimo odvajati kar kot kvocient in nato izraz poenostavimo.
$g´(x)=\frac{2x \cdot \sqrt{x}-(x^2+4) \cdot (\sqrt{x})´}{x}$
Vstavimo odvod kvadratnega korena in izraz še polepšamo. Dobimo:
$g´(x)=\frac{3x^2-4}{2x \cdot \sqrt{x}}$
Poskusi do teh rezultatov priti še po drugi poti. Funkcijo $f(x)$ najprej odvajaj kot produkt in nato odvod uredi, funkcijo $g(x)$ pa najprej zapiši kot vsoto dveh potenc in nato odvajaj ter uredi.

Preizkusi se

Odvod funkcije $f(x)=\sqrt[3]{5x+7}$ je enak:

$3\cdot \sqrt[3]{5x+7}$

$3\cdot (\sqrt[3]{5x+7})^{2}\cdot 5$

$\frac{1}{3}\cdot (5x+7)^{-\frac{2}{3}}\cdot 5$

Odvajaj funkcij0 $g(x)=x^2 \cdot \sqrt{3x}$ . Kateri od spodnjih izrazov je iskani odvod?

$2x \cdot \frac{3}{2\sqrt{3x}}$

$\frac{13x^2}{2\sqrt{3x}}$

$\frac{15x^2}{2\sqrt{3x}}$

Preveri

Pravilno

Zaslužiš si počitek! Ko zbereš nove moči, pa hitro reši še dodatne naloge na naslednji strani.

Napačno

Drugi primer je napačen.

Napačno

Prvi primer je napačen.

Napačno

Oba odgovora sta napačna.

Rešitev

$f´(x)=\sqrt[3]{5x+7}=\frac{1}{3}\cdot (5x+7)^{-\frac{2}{3}}\cdot 5$

$g(x)=x^2 \cdot \sqrt{3x}=\frac{15x^2}{2\sqrt{3x}}$

Dodatne naloge 1

Pravilno

Narobe

Pravilno si odgovoril na od 4 vprašanj.

Rešitev

$f´_1(x)=\frac{11}{3} \cdot x^2 \cdot \sqrt[3]{x^2}$

$f´_2(x)=\frac{(10x+1) \cdot \sqrt[4]{x}}{4x}$

$f´_3(x)=\frac{-1}{(1+\sqrt{x})^2 \cdot 2\sqrt{x}}$

$f´_4(x)=\frac{3x^2-1}{4x\sqrt{x}}$

Dodatne naloge 2

Pravilno

Narobe

Pravilno si odgovoril na od 5 vprašanj.

Rešitev

$f_1(x)=x^{\frac{11}{3}}$

$f_2(x)=2 \cdot x^{\frac{5}{4}}+x^{\frac{1}{4}}$

$f_3(x)=(1+x^{\frac{1}{2}})^{-1}$

$f_4(x)=\frac{1}{2} \cdot x^{3}{2}+\frac{1}{2} \cdot x^{\frac{-1}{2}}$

Dobljeni odvodi so enaki.

a) $f_1(x)=x^3 \cdot \sqrt[3]{x^2}$ Pokaži $f´_1(x)=\frac{11}{3} \cdot x^2 \cdot \sqrt[3]{x^2}$ $f´_1(x)= x^2 \cdot \sqrt[3]{x^2}$ $f´_1(x)=\frac{11}{3} \cdot x \cdot \sqrt[3]{x^2}$	b) $f_2(x)=(2x+1) \cdot \sqrt[4]{x}$ Pokaži $f´_2(x)=\frac{(10x+1) \cdot \sqrt[4]{x}}{4x}$ $f´_2(x)=\frac{(10x+1)}{4x}$ $f´_2(x)=\frac{(10x) \cdot \sqrt[4]{x}}{4x}$
c) $f_3(x)=\frac{1}{1+\sqrt{x}}$ Pokaži $f´_3(x)=\frac{-1}{(1+\sqrt{x})^2 \cdot 2\sqrt{x}}$ $f´_3(x)=\frac{1}{(1+\sqrt{x})^2 \cdot 2\sqrt{x}}$ $f´_3(x)=\frac{-1}{(1+\sqrt{x})^2 \cdot \sqrt{x}}$	d) $f_4(x)=\frac{x^2+1}{2 \cdot \sqrt{x}}$ Pokaži $f´_4(x)=\frac{3x^2-1}{4x\sqrt{x}}$ $f´_4(x)=\frac{3x^2}{4x\sqrt{x}}$ $f´_4(x)=\frac{3x^2-1}{\sqrt{x}}$

a) $f_1(x)=x^3 \cdot \sqrt[3]{x^2}$ Pokaži $f_1(x)=x^{\frac{11}{3}}$ $f_1(x)= x^{11}$ $f_1(x)=x^{\frac{5}{3}}$	b) $f_2(x)=(2x+1) \cdot \sqrt[4]{x}$ Pokaži $f_2(x)=2 \cdot x^{\frac{5}{4}}+x^{\frac{1}{4}}$ $f_2(x)=x^{\frac{5}{4}}+x^{\frac{1}{4}}$ $f_2(x)=2 \cdot x^{\frac{5}{4}}$
c) $f_3(x)=\frac{1}{1+\sqrt{x}}$ Pokaži $f_3(x)=(1+x^{\frac{1}{2}})^{-1}$ $f_3(x)=(1+x^{\frac{1}{2}})$ $f_3(x)=(1-x^{\frac{1}{2}})^{-1}$	d) $f_4(x)=\frac{x^2+1}{2 \cdot \sqrt{x}}$ Pokaži $f_4(x)=\frac{1}{2} \cdot x^{3}{2}+\frac{1}{2} \cdot x^{\frac{-1}{2}}$ $f_4(x)=\frac{1}{2} \cdot x^{3}{2}+\frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}$ $f_4(x)=\frac{1}{2} \cdot x^{\frac{-3}{2}}+\frac{1}{2} \cdot x^{\frac{-1}{2}}$

Odvod inverzne funkcije

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Odvod inverzne funkcije

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Pravilno

Napačno

Rešitev

Pravilno

Napačno

Rešitev

Pravilno

Napačno

Rešitev

Pravilno

Napačno

Napačno

Napačno

Rešitev

Pravilno

Narobe

Rešitev

Pravilno

Narobe

Rešitev