Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Geometrijski pomen odvoda

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

V tem poglavju boš spoznal diferenčni količnik, limito diferenčnega količnika v konkretni točki, sekanto, tangento in normalo funkcije.

Pregledal si že definicijo odvoda in tam spoznal diferenčni količnik zato najprej odgovori na naslednja vprašanja.

Diferenčni količnik

Diferenčni količnik sem razen pri definiciji odvoda srečal še pri

kvadratni funkciji

polinomih

linearni funkciji

Diferenčni količnik je enak

$\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}$

$\frac{y_2-y_1}{x_1-x_2}$

$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Diferenčni količnik funkcije za izbrani dve točki na njenem grafu je enak

vodilnemu koeficientu sekante skozi izbrani točki

smernemu kazalcu sekante skozi izbrani točki

smernem koeficientu sekante skozi izbrani točki

Preveri

Pravilno

Pravilno si odgovoril na vsa tri vprašanja.

Napačno

Pravilno si odgovoril na od treh vprašanj.

Diferenčni količnik

Vzemi dve točki $A(x_1,x_2)$ in $B(x_2,y_2)$ . Diferenčni količnik je enak $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ .

Vaja

Dana je točka $A(-2,3)$ in $B(4,-5)$ . Določi diferenčni količnik.

$-\frac{3}{4}$

$\frac{4}{3}$

$-\frac{4}{3}$

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Diferenčni količnik

Ponovitev s sliko

Pravilno si opazil, da je diferenčni količnik smerni količnik premice. Na spodnji sliki ena izmed teh premic. Primi točke in se malo igraj. Opazuj, kaj se dogaja.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Na sliki je del premice, ki ji rečemo . Ko točko premikamo proti drugi točki, se spreminja tudi naša premica in s tem tudi diferenčni količnik. Ko pa točki preideta ena v drugo naša premica postane .

Preveri

Pravilno

Napačno

Poskusi še enkrat.

Rešitev

Na sliki je del premice, ki ji rečemo sekanta. Ko točko premikamo proti drugi točki, se spreminja tudi naša premica in s tem tudi diferenčni količnik. Ko pa točki preideta ena v drugo naša premica postane tangenta.

Ponovitev premice

Za nadaljevanje potrebuješ linearno funkcijo in kako se jo izračuna in zapiše. Označi kaj vse potrebuješ za njeno določitev. Možnih je več odgovorov.

potrebuješ $k$ (smerni količnik) in $n$ (začetna vrednost)

potrebuješ točko in $k$ (smerni količnik)

potrebuješ točko in $n$ (začetna vrednost)

potrebuješ dve točki

potrebuješ $k$ (smerni količnik) ali $n$ (začetna vrednost)

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Potrebuješ $k$ (smerni količnik) in $n$ (začetna vrednost)
Potrebuješ točko in $k$ (smerni količnik)
Potrebuješ točko in $n$ (začetna vrednost)
Potrebuješ dve točki

Enačba sekante

Dana je funckija $f(x)$ in dve točki $A(x_0,y_0)$ in $B(x_1,y_1)$ , ki ležita na funkciji. kako se glasi enačba sekante, ki gre skozi dani točki $A$ in $B$ .

$y-f(x_0)=\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)}(x-x_0)$

$y-f(x_0)=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$

$y-f(x_0)=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0)$

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Sekanta, tangenta, odvod

Premikaj toki $A$ in $B$ in opazuj diferenčni količnik. Kaj opaziš, ko sta točki dovolj skupaj?

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Sekanta, tangenta, odvod

Zgoraj si opazoval količnik sekante, hkrati si pošiljal točko $A$ proti $B$ in obratno. Pri tem si opazil, da se sekanta spremeni v tangento, ko točko $A$ pošljemo (limitiramo) proti točki $B$ . Smerni količnik sekante je v dovolj majhni okolici točke $A$ ali $B$ konstanten in je enak smernemu količniku tangente. Torej je diferenčni količnik, ki je enak smernemu količniku sekante v limiti enak smernemu količniku tangente, če le ta obstaja.

Odvod v dani točki je enak smernemu koeficientu tangente v tej točki.

$k=f´(x_0)=\lim_{x_1 \to x_0}\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},$

kjer je točka $A(x_0,y_0)$ in $B(x_1,y_1)$ .

Sekanta, tangenta, odvod

Na grafu spodaj lahko premikaš tangento na krivuljo in opazuješ njeno gibanje.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Enačba tangente

Dana je funkcija $f(x)$ . Napiši enačbo tangente, ki gre skozi točko $A(x_0,y_0)$ .

$y-f(x_0)=f(x_0)(x-x_0)$

$y=f´(x_0)(x-x_0)$

$y-f(x_0)=f´(x_0)(x-x_0)$

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Vaja

1. naloga

Dana je funkcija $f(x)=x^3-3x$ in točki $A(1,y_0)$ in $B(-2,y_1)$ .

Enačba sekante skozi ti dve dani točki je

$y=2x$

$y=x+2$

$y=x-2$

Enačba tangente skozi točko $A$ je

$y=3x^2$

$y=3x^2-2x$

$y=x-2$

Preveri

Pravilno

Napačno

Drugi odgovor je napačen.

Pomoč: Odvod funkcije je enak $f´(x)=3x^2-2x$ in $k_t=f´(1)=1$ .

Napačno

Prvi odgovor je napačen.

Pomoč: $A(1,-1)$ in $B(-2,-4)$ .

Napačno

Še enkrat poskusi.

Namig:
$A(1,-1)$ in $B(-2,-4)$
Odvod funkcije je enak $f´(x)=3x^2-2x$ in $k_t=f´(1)=1$ .

Vaja

2. naloga

Dana je funkcija $f(x)=x^2-2x+1$ in točki $A(1,y_0)$ in $B(x_1,4)$ . Določi enačbo sekante skozi ti dve točki.

$y=-\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}$

$y=\frac{5}{3}x-\frac{8}{3}$

$y=-\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}$ in $y=\frac{5}{3}x-\frac{8}{3}$

Pravilno

Napačno

Poskusi še enkrat.

Pomoč:
Preveri vmesne rezultate: $A(1,-1)$ , $B_1(-1,4)$ in $B_2(3,4)$ .

Normala

Normala je premica, ki je pravokotna na tangento funkcije v dani točki.

Premikaj dotikališče in opazuj količnika tangente in normale.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Normala

KOLIČNIK NORMALA

Dan je količnik linearne funkcije, ki znaša $4$ . Koliko znaša količnik normale?

$y=4$

$y=\frac{1}{4}$

$y=-\frac{1}{4}$

Pravilno

Napačno

Poskusi še enkrat.

Normala

Opazoval si zgornjo sliko. Ali lahko določiš kakšen odnos imata količnik normale in količnik tangente? Količnik normale je

obraten količniku tangente

enak količniku tangente

nasproten količniku tangente

nasprotno obraten količniku tangente

Pravilno

Napačno

Glej sliko.

Normala

Količnik normale je nasprotno obraten od količnika tangente skozi isto točko $k_s=-\frac{1}{k_t}$ .

Dana je funkcija $f(x)=x^4-2x^2+1$ in točka $A(2,y)$ , ki leži na tej funkciji.

Enačba tangente na to funkcijo, ki gre skozi točko $A$ je

$y=24x$

$y=4x^3-4x$

$y=24x-39$

Enačba normale na to funkcijo, ki gre skozi točko $A$ je

$y=\frac{1}{24}x-\frac{109}{12}$

$y=-\frac{1}{14}x+\frac{109}{12}$

$y=-\frac{1}{24}x+\frac{109}{12}$

Preveri

Pravilno

Napačno

Drugi odgovor je napačen.

Pomoč: Količnik normale je enak $k_n=-\frac{1}{24}$ .

Napačno

Prvi odgovor je napačen.

Pomoč:
$A(1,-1)$
$f´(x)=4x^3-4x$ ,
$f´(2)=k_t=24$ .

Napačno

Še enkrat poskusi.

Namig:
$A(1,-1)$
$f´(x)=4x^3-4x$ ,
$f´(2)=k_t=24$ .

Količnik normale je enak $k_n=-\frac{1}{24}$ .

Dodatne naloge 1

Dokaži, da se tangenti funkcije $f(x) =\frac{2x^2+1}{x^2+2}$ v točkah z ordinato $y = 1$ sekata na ordinatni osi.

Najprej izračunamo točki $T_1(1,$ $)$ in $T_2(−1,$ $)$ . Potrebujemo še odvod funkcije, ki je enak $f´(x) =\frac{6x}{(x^2+2)^2}$ . Količniki tanget so potem enaki $k_1 =$ in $k_2 =$ . Prva tangenta je enaka $y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}$ , druga pa $y =-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}$ . Presečišče imata nimata na ordinatni osi.

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Najprej izračunamo točki $T_1(1,1)$ in $T_2(−1,1)$ . Potrebujemo še odvod funkcije, ki je enak $f´(x) =\frac{6x}{(x^2+2)^2}$ . Količniki tanget so potem enaki $k_1 =2/3$ in $k_2 =-2/3$ . Prva tangenta je enaka $y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}$ , druga pa $y =-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}$ . Presečišče imata na ordinatni osi.

Dodatne naloge 2

Določi $a$ , da bo imel polinom $p(x) = −x^3 +ax^2 −4x+4$ v točki $T(1, y)$ normalo z naklonskim koeficientom $k_n = −\frac{1}{3}$ .

$a=$

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

$k_t=3$
$p´(x)=-3x^2+2ax-4$
$-3=-3+2aa-4$

$a=2$

Geometrijski pomen odvoda

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Geometrijski pomen odvoda

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Pravilno

Napačno

Vaja

Pravilno

Napačno

Ponovitev s sliko

Pravilno

Napačno

Rešitev

Pravilno

Napačno

Rešitev

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

1. naloga

Pravilno

Napačno

Napačno

Napačno

2. naloga

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Rešitev

Pravilno

Napačno

Rešitev