Malo prej je šla Petra mimo mojega računalnika. Ko je videla naslov, mi je takoj rekla, da sem se zmotila; naslov bi se moral glasiti Ulomki so racionalna števila. Potem je pogledala, kaj se prikazuje pod naslovom, in izdavila le: „Aja!″ Nato se je zasukala na peti in odšla iz sobe. Sploh ji nisem uspela odgovoriti. Ali veš, kaj je ugotovila?

Razlika med ulomki in racionalnimi števili

Kdaj sta dve količini (števili) soizmerljivi? Kadar lahko obe količini (števili) razdelimo na enako velike dele. Predstavimo prvo količino s številom a in drugo s številom b. Količini sta soizmerljivi, če obstajata taki celi števili m in n, da velja a : m = b : n. Dve palici sta na primer soizmerljivi, če najdemo neko tretjo palico (manjšo), s katero lahko izmerimo dolžini prvotnih palic.

Še eno vprašanje za razmislek: zakaj smo pri racionalnem številu napisali, da ga običajno zapišemo z ulomkom s celim števcem in imenovalcem?

Odgovor je...

Pri racionalnih številih ni nujno, da sta števec in imenovalec celi števili? Ali nista števec in imenovalec pri racionalnih številih vedno celi števili? Odgovora ne povem takoj, ker bo mnogo več vreden, če ga najde vsak sam. Dobro si oglej številke, ki se prikazujejo pod naslovom, in zapiši, katere od njih so ulomki. Ker so zdaj že precej visoko, ti jih še enkrat napišem:

Ulomki so...

In katere od teh številk predstavljajo racionalno število?

Preveri

Krajšanje in razširjanje nam je prineslo nekaj novega, z njuno pomočjo lahko vsako racionalno število napišemo z neskončno različnimi ulomki. Oglejmo si primer. Za racionalno število, ki predstavlja razmerje 1:2, dobimo ulomke

Seveda nam je najbolj všeč najenostavnejši zapis, zato vedno vse rezultate okrajšamo. Hitro naredimo nekaj primerov. Okrajšaj ulomke

Preveri

Sedaj lahko odgovorimo na vprašanje, ali sta števec in imenovalec pri racionalnih številih vedno celi števili. Na primerih smo videli, da ni nujno. Res pa je nekaj drugega. Ulomek predstavlja racionalno število, če sta po krajšanju števec in imenovalec celi števili.

Videli smo tudi, da ima vsako racionalno število neskončno možnih zapisov. Torej bi bilo zelo dobro vedeti, kdaj dva ulomka predstavljata isto racionalno število. Zanima nas torej, kdaj velja . Vemo, da sta b in c različna od nič, torej smemo prvi ulomek razširiti z , drugega pa z . Tako dobimo:

V tej enakosti sta imenovalca enaka, zato morata biti enaka tudi števca:

Ugotovi, ali veljajo dane enakosti.

Preveri

Skozi naše razmišljanje smo se veliko ukvarjali tudi s koreni, čeprav smo raziskovali racionalna števila. Če po (delnem) korenjenju in krajšanju v ulomku ostane kakšen koren, ulomek predstavlja iracionalno število! Vsako racionalno število lahko zapišemo z ulomkom s celim števcem in imenovalcem. Vsi koreni, katerih vrednost ni celo število (če ga lahko le delno korenimo), so iracionalna števila. Spodaj si lahko ogledaš dokaz, da ni racionalno število.

Kvadratni koren iz dve je iracionalno število:
Privzemimo, da je racionalno število. Torej ga lahko zapišemo z okrajšanim ulomkom, katerega števec in imenovalec sta naravni števili:

b ne more biti 1, ker bi moral biti v tem primeru a , kar pa ni celo število. Torej b ni enak 1. Kvadrirajmo enakost:

je okrajšan ulomek. Ulomek je sestavljen iz istih faktorjev kot ulomek , le da je vse podvojeno. Ker pri števec in imenovalec nimata skupnih faktorjev (ulomek je okrajšan), tudi števec in imenovalec ulomka nimata skupnih faktorjev. Torej je tudi okrajšan ulomek. To pa pomeni, da iz njega nikakor ne moremo dobiti števila , saj je b različen od 1. Prišli smo v protislovje s predpostavko, da je racionalno število. Torej je iracionalno število.

Za dane ulomke preveri, ali predstavljajo racionalna števila:

Preveri

Okrajšaj dane ulomke.

Preveri

Okrajšaj dane ulomke.

Preveri

Preveri, ali veljajo dane enakosti.

Preveri