Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Definicija in lastnosti - racionalne funkcije

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Definicija racionalne funkcije

Racionalna funkcija je okrajšan kvocient polinomov $p$ in $q$ , kjer $q$ ni ničelni polinom. Zapišemo jo v obliki:

$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}.$

Primer racionalne funkcije

Na spodnji sliki je narisana funkcija

$f(x) = \frac{x^2(x-3)}{(x-1)^2}.$ (./datoteke/rac7.png)

Njen graf je krivulja, sestavljena iz dveh vej (črne barve). Modra in zelena premica pa sta asimptoti tega grafa. Iz slike grafa funkcije se vidi, da je njeno definicijsko območje množica vseh realnih števil brez $x=1$ .

Definicijsko območje racionalne funkcije

Premikaj točko $a$ na drsniku in opazuj, kako se spreminja definicijsko območje dane funkcije.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Ker je racionalna funkcija okrajšan kvocient dveh polinomov $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ , lahko na njo gledamo kot na okrajšan ulomek dveh izrazov. Vemo, da ulomek ni definiran, kadar ima v imenovalcu vrednost 0.

Podobno določimo definicijsko območje racionalni funkciji. Sprva rešimo enačbo $q(x)=0$ . Nato pa iz množice vseh realnih števil izvzamemo rešitve enačbe $q(x)=0$ .

Kako postopamo, če p in q nista tuja?

Če polinoma nista tuja, ju lahko okrajšamo in dobimo (skoraj isto) racionalno funkcijo takole:

$\frac{(x+1)(x+3)}{x^2-1} = \frac{(x+1)(x+3)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x+3}{x-1}.$

Definicijsko območje racionalne funkcije je množica realnih števil brez ničel imenovalca. To zapišemo:

$\mathbf{D_f}: \mathbb{R}\setminus \{ x; q(x)=0 \}.$

Naloga 1

Zapiši točke, v katerih racionalna funkcija ni definirana

$f(x) = \frac{x+1}{x^2+2x-3}$

Pomoč

Enačba $x^2+2x-3=0$ .

Rešitev:

$x_1$ =
$x_2$ =

Preveri

Odlično!

* $f(x) = \frac{x+1}{x^2+x+3}$	Preveri rezultat grafično
* $g(x) = \frac{1}{x^2-16}$	Preveri rezultat grafično
* $h(x) = \frac{(x-2)(x+3)}{(x^2+1)^2}$	Preveri rezultat grafično
* $i(x) = \frac{x+5}{1}$	Preveri rezultat grafično

Racionalna funkcija $y = \frac{(x-1)^2(x+2)}{x-2}$ ima za definicijsko območje množico:	$\mathbb{R}$ $\mathbb{R} \setminus \{ -2 \}$ $\mathbb{R} \setminus \{ 2 \}$ $\mathbb{R} \setminus \{ -2, 1 \}$
Racionalna funkcija $y = \frac{(x-1)^2(x+2)}{x-2}$ ima za ničle števila:	$-1, 2$ $2$ $-2, 1, 2$ $-2, 1$
Racionalna funkcija $y = \frac{(x-3)^2}{(x+1)(x-2)^3}$ ima v točki $2$ pol	lihe stopnje sode stopnje točka $2$ sploh ni pol hkrati ničlo in pol
Racionalna funkcija $y = \frac{x-2}{x^3-1}$	je brez polov ima en pol stopnje 1 ima en pol stopnje 2 ima en pol stopnje 3
Racionalno funkcijo $r$ dobiš, če do konca razstaviš in pokrajšaš izraz $\frac{x^3-1}{(x+2)^2} \cdot \frac{x^2+5x+6}{x^2+2x+3}.$	Funkcija $r$ ima realne ničle $-3, -2, 1$ Funkcija $r$ ima ničli $2, 3$ Funkcija $r$ je brez realnih ničel Funkcija $r$ ima edino ničlo $-1$
Racionalna funkcija $y = \frac{x^2+x}{x-2} + \frac{x}{x^2-4}$	ima eno realno ničlo ima dve realni ničli ima pol stopnje $2$ ima pol v točki $x=4$ .
Racionalna funkcija $y = \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}$	je definirana za vsa realna števila ni definirana v dveh točkah ni definirana v eni točki, tam ima pol stopnje $1$ ni definirana v eni točki, tam ima pol stopnje $2$

Definicija in lastnosti - racionalne funkcije

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Definicija in lastnosti - racionalne funkcije

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije