Maja se odpravlja na počitnice. Turistična agencija ponuja počitnice po različnih cenah, za vse ponudbe pa velja, da pri nakupu sedem in večdnevnega paketa dva dneva počitnic podarijo. Če se Maja odpravi na $n$ dnevni dopust ($n$ je vsaj $7$), plača le $n–2$ dni. Izhodiščna cena enega dneva je odvisna od kraja bivanja in izbire hotela. Maja je izbrala hotel za 50 € na dan. Maja bo za $n$ dni počitnic plačala $50(n–2)$, se pravi, da bo za vsak dan počitnic v resnici plačala le $\frac{50(n-2)}{n}$. Po temeljitem razmisleku je Maja sklenila, da bo za vsak dan počitnic namenila točno 40 €. Koliko dni počitnic si bo Maja privoščila?

Rešiti moramo enačbo $\frac{50(n-2)}{n} = 40$.

V dobljeni enačbi nastopa algebrski ulomek.

Poskusi rešiti to enačbo.

Rešitev: n = .

Potrebuješ pomoč?

Lahko bi poiskali še veliko podobnih primerov, vendar moramo prej izpopolniti znanje o reševanju enačb. Pri reševanju enačb, v katerih nastopajo algebrski ulomki, upoštevamo enaka pravila kot pri reševanju navadnih enačb.

Imenovalec ulomka ne sme biti $0$. Enačba ima pomen le, če je $x$ neničelno število. V tem primeru smemo enačbo pomnožiti z $2x$.

Člene s spremenljivko prenesemo na levo, druge pa na desno stran.

Obe strani delimo z $–7$ in dobimo rešitev $x=-1$. Rešitev ni v nasprotju s pogojem, da je $x$ neničelno število.

Ugotovi, za katere vrednosti spremenljivke $x$ enačba

ni smiselna. V okvirčke vpiši dobljene vrednosti po velikosti od najmanjše do največje.

Enačba ni smiselna za vrednosti (piši od najmanjše do največje) , , , , in .

Preveri

x =

Preveri

Enačba ima pomen le v primeru, ko imenovalec ulomka ni enak $0$, torej ko $x$ ni $–4$.

Ulomek zavzame vrednost $0$, ko je $0$ njegov števec. Do enakega rezultata pridemo, če enačbo pomnožimo z $x+4$.

Izraz na levi razstavimo in upoštevamo, da je produkt dveh faktorjev enak $0$ natanko tedaj, ko je $0$ eden od faktorjev.

Možnosti sta torej dve:

kar da rešitvi $x=1$ ali $x=-1$. Nobena od rešitev ni v nasprotju z začetnim pogojem.

$x_1 =$ $x_2 =$

Preveri

Enačba ima smisel le, če sta oba imenovalca različna od nič, torej če $x$ ni $3$ ali $4$.

V tem primeru lahko obe strani pomnožimo z $(x-3)(2x-8)$, s čimer se znebimo ulomkov. Po krajšanju dobimo:

Odpravimo oklepaj na levi in enačbo preuredimo:

$3x=13$, kar da rešitev $\frac{13}{3}$, ki ni v protislovju z začetnim pogojem.

Enačba ima smisel, če je $x$ različen od $–3$. Če razstavimo imenovalec ulomka na desni, dobimo

Obe strani enačbe pomnožimo s $3(x+3)$ in dobimo

Odpravimo oklepaje in enačbo preuredimo:

Rešitev ni v nasprotju z začetnim pogojem.

Imenovalec ulomka lahko razstavimo $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Imenovalec bo nič v primeru, ko bo $x=1$ ali $x=–1$. V teh primerih je enačba nesmiselna.

Če enačbo pomnožimo z $x^2-1$, dobimo

Enačbo preuredimo in levo stran razstavimo.

Rešitev $x=–1$ ni možna, saj je v nasprotju z začetnimi omejitvami. Enačba nima rešitve.

Enačba rešitve.

Preveri

Reši enačbe na levi. Na desni poišči pravo rešitev in jo poveži z enačbo.

Preveri

Včasih v enačbi poleg neznanke nastopa še eden ali več parametrov. V teh primerih je rešitev po navadi odvisna od parametrov. Pri reševanju takšnih enačb je največkrat potrebna obravnava. Oglejmo si primer.

Za $m=1$ in $m=–1$ enačba ni smiselna, saj imenovalci ne smejo biti enaki $0$. Sicer pa enačbo pomnožimo z $(m–1)(m+1)$, da se znebimo ulomkov.

Odpravimo oklepaje in enačbo preuredimo.

Če hočemo izraziti neznanko, moramo obe stani enačbe deliti z $2m$. Tega ne smemo storiti, če je $m=0$. V tem primeru imamo v resnici enačbo

Ta enačba nima rešitve.

Če je $m$ neničelno število, pa lahko enačbo delimo z $2m$ in dobimo rešitev.

Če strnemo vse ugotovitve, dobimo:

• za $m=1$ in $m=-1$ enačba ni smiselna;
• za $m=0$ enačba nima rešitve;
• v drugih primerih je rešitev enačbe $x=- \frac{1}{m}$.

V vseh enačbah je neznanka x.

Za kateri $x$ enačba $\frac{x}{x-4} = \frac{3}{x^2-9} + \frac{x}{x^2-x-6}$ ni smiselna?

Reši enačbo $\frac{x-3}{x+1} = 3$.

Rešitev te enačbe je:

Reši enačbo $\frac{x-1}{x+2} + \frac{3-x}{x+4} = 0$.

Rešitev je:

Reši enačbo $\frac{x}{x-1} = \frac{x-1}{x}$.

Rešitev te enačbe je:

Reši enačbo $\frac{x}{x-4} = \frac{x-2}{x-8} + \frac{2}{x-4}$.

Rešitev te enačbe je:

Reši enačbo $\frac{x^2-x+13}{x-5} + \frac{3x+9}{x+2} + x = \frac{3x-15}{x^2-3x-10}$.

Katera od naštetih možnosti ni rešitev te enačbe?

Obravnavaj enačbo $\frac{ax}{a-3} - 1 = \frac{4x+6}{a-3}$.

Med spodnjimi trditvami označi nepravilno.

Ugotovi, za katere vrednosti parametra $a$ enačba ni smiselna.

Ugotovi, za katere vrednosti parametra $m$ enačba ni smiselna.

Ugotovi, za katere vrednosti parametrov $a$ in $m$ enačba ni smiselna.

Reši enačbo.

x =

Naprej

Reši enačbo.

x =

Naprej

Reši enačbo.

$x_1$ =

$x_2$ =

Naprej

Reši enačbo.

$x$ =

Naprej

Reši enačbo.

Enačba rešitve.

Naprej

Reši enačbo.

$x$ =

Naprej

Reši enačbo.

Enačba rešitve.

Naprej

Reši enačbo.

Rešitve so vsa od različna realna števila.

Naprej

Obravnavaj enačbe. V vseh enačbah je neznanka $x$.

Preveri