Uf, na kaj vse se lahko spomnimo ob tej besedi! O tem so bili napisani že celi romani, posneti filmi (na primer Nevarna razmerja) in še kaj. In kaj bi lahko bilo matematično razmerje? Gre za isto stvar kot je med ljudmi – razmerje je odnos med dvema količinama (človekoma), le da nas pri matematiki zanima številčno razmerje. Za začetek si oglejmo nekaj preprostega, in sicer razmerje med dolžinama dveh daljic. Na spodnji sliki lahko premikaš točki B in C in sproti se ti bo izpisovalo, v kakšnem razmerju sta dolžini rdeče in zelene daljice.

Razmerja smo šele začeli raziskovati. Pri zgornji konstrukciji imata zato daljici celoštevilski dolžini, saj si taka razmerja lažje predstavljamo. Vmes je seveda še neskončno možnosti in s tem neskončno razmerij. Eno od teh vmesnih razmerij je še posebej lepo, to je zlati rez. Zlati rez je gotovo najpomembnejše razmerje, saj ga najdemo povsod – v umetnosti, glasbi, arhitekturi, naravi ... Daljica je razdeljena v zlatem rezu, če velja, da je razmerje med večjim in manjšim delom daljice enako kot razmerje med celotno daljico in večjim delom.

S svetlo modro barvo je označen poseben primer ( in dolžina celotne daljice je ). Dolžina celotne daljice bo torej večja od , .

Izberi enakost razmerij za ta primer:

Preveri

Ali lahko iz dobljene enakosti izračunamo dolžino daljice ?

Preveri

Svetlo moder primer nas je pripeljal do enačbe , ki ima rešitvi

Ker je večji od , je druga rešitev negativna, zato vzamemo le prvo, pozitivno ( predstavlja dolžino daljice). Dobljeno število ima toliko lepih lastnosti, da je dobilo svoje ime – je zlato število, ki se označi z grško črko . Dobili smo:

Leonardo da Vinci je med drugim raziskoval, v kakšnih razmerjih so deli telesa. Ugotovil je, da se velikokrat pojavi zlati rez. S pomočjo njegovih ugotovitev lahko priredimo matematično lepotno tekmovanje. Na spodnji sliki so trije znani obrazi. Pri vsakem obrazu je napisano, koliko milimetrov je od brade do oči in koliko od oči do vrha čela. Zraven je zapisano tudi razmerje med tema dolžinama. Po Leonardovih ugotovitvah se vrti okoli zlatega reza.

Kateri obraz je matematično najlepši?

Preveri

Drugo tako razmerje je višina telesa do popka proti višini od popka do vrha glave. Na spodnji sliki te čaka indijska igralka Mallika Sherawat.

Izračunaj njeno razmerje za telo in obraz. Njeno razmerje je:

Preveri

Zdaj lahko izračunaš še svoje telesno razmerje. Za konec teh razmerij le še komentar. Vidimo, da se dobljeno Mallikino telesno razmerje kar precej razlikuje od zlatega števila. Meritve s slikami niso preveč natančne, ker je slika običajno narejena pod kotom. V živo so meritve precej natančnejše, vendar dvomim, da bi se osebe s slik udeležile našega matematičnega tekmovanja ... Lahko pa priredite razredno lepotno tekmovanje.

Oglejmo si še, kakšno je razmerje med diagonalo in stranico v kvadratu. Na spodnji sliki lahko premikaš točko in s tem spreminjaš velikost kvadrata.

Kaj opaziš?

Preveri

Oglejmo si še razmerje med diagonalo in stranicama v pravokotniku. Na spodnji sliki lahko premikaš točko in s tem spreminjaš dolžino stranice ter točko in dolžino stranice .

Kdaj je razmerje lepo, celoštevilsko?

Preveri

Povedati moramo še, kaj so racionalna števila. Racionalno pomeni v razmerju. Izraz izhaja iz grščine še iz časov, ko so verjeli, da se da vse izraziti s celoštevilskimi razmerji. Zato racionalno dejansko pomeni v celoštevilskem razmerju.

Danes smo si ogledali različna razmerja. Najprej smo opazovali razmerje med dolžinama dveh daljic. Opazovali smo le daljice s celoštevilskimi dolžinami, torej smo dobili racionalna razmerja. Nato smo precej podrobno spoznali zlati rez. Ugotovili smo, da je to razmerje predstavljeno s številom

V števcu je koren iz pet, ki ni celo število. Tega ulomka nikakor ne moremo preoblikovati tako, da bi bila števec in imenovalec celoštevilska. Zlati rez zato ni racionalno razmerje.

Sledil je skok v geometrijo. Najprej smo ugotovili, da je razmerje med obsegom in premerom kroga konstantno in enako številu . Tudi tega števila ne moremo zapisati s celoštevilskim ulomkom; taki ulomki so le njegovi približki (omenili smo ), zato je tudi razmerje med obsegom in premerom kroga iracionalno. Enako je pri razmerju med diagonalo in stranico kvadrata. Za razmerje v pravokotniku pa smo že pri konstrukciji napisali, kdaj je celoštevilsko, to je racionalno.

Kasneje bomo videli, da racionalno število predstavlja razmerje dveh soizmerljivih količin. Količini sta soizmerljivi, če obstaja neka dolžinska enota, s katero lahko izmerimo obe. Na primer: dve palici sta soizmerljivi, če obstaja neka tretja palica, s katero lahko izmerimo obe (tako da se izide). Racionalno število običajno zapišemo z ulomkom s celoštevilskim števcem in imenovalcem. O tem bomo še govorili.

Ob desetih je bilo na neki zabavi deklet in fantov. Ob enajstih je prišlo še pet deklet in osem fantov.

Kakšno je bilo razmerje med dekleti in fanti ob desetih?

Kakšno je bilo končno razmerje med dekleti in fanti?

Preveri

Kakšno je razmerje med premerom in polmerom v krogu?

Kakšno pa med obsegom in polmerom?

Sta razmerji racionalni?

Preveri

Kakšno je razmerje med ploščino in obsegom kvadrata?

Ali je racionalno?

Preveri