Kaj je igranje na klavir ali kitaro? Poenostavljeno bi lahko v obeh primerih rekli, da gre za ritmično udarjanje po skrbno uglašenih strunah. In kako so uglašene strune? Skozi zgodovino se je uglasitev spreminjala. Prvotno so uporabljali čisto uglasitev, do katere so prišli s posluhom. Pitagora je precej kasneje podal prvi matematični zapis lestvice. Od Pitagore naprej se je glasbena uglasitev razvijala s pomočjo matematike. Danes uporabljamo enako temperirano lestvico, pri kateri so vsi poltoni enaki. O tem bomo še govorili, tokrat bomo šli po Pitagorovih stopinjah in si ogledali njegovo lestvico.

Pitagora je izredno pomemben, saj je v matematiki na marsikaterem področju oral ledino. Rodil se je okrog 570 pr. n. št., umrl pa okrog 475 pr. n. št., torej je imel dolgo in plodno življenje. Za uvod lahko pokukaš v njegov življenjepis in se seznaniš z njegovimi dosežki.

Pitagorov življenjepis

Pitagora s Samosa je pogosto opisan kot prvi čisti matematik. V razvoju matematike je izredno pomemben, čeprav vemo o njegovih dosežkih razmeroma malo, saj nimamo nobenega njegovega dela. Avtorji zgodnjih biografij ga prikazujejo kot božje bitje z nadnaravno močjo. Njegov življenjepis se od vira do vira zelo razlikuje. Rodil se je okrog leta 570 pr. n. št. na otoku Samosu, od koder je bila njegova mati. Oče je bil trgovec iz Tyre in Pitagora ga je večkrat spremljal na potovanjih, kjer so ga poučevali različni učenjaki. Nanj so imeli največji vpliv trije filozofi: Perekid, Tales in Anaksimander. Slednja sta bila iz Mileta in sta ga vpeljala v matematiko.

Veliko je potoval po Egiptu in Babiloniji in povsod je skoraj požiral vse znanje, ki so ga imeli. Pitagorovo znanje je postalo tako rekoč popolno za tiste čase. Okrog 520 pr. n. št. se je vrnil na Samos in ustanovil šolo, imenovano 'polkrog'. Učil je po metodah, ki jih je spoznal v Egiptu. Prebivalci Samosa tega niso sprejeli, zato se je preselil v južno Italijo v mesto Kroton (danes Crotone). Tam je ustanovil filozofsko in versko šolo, ki je imela veliko privržencev, tako imenovanih pitagorejcev. Člani so se morali držati strogih pravil oziroma prepričanj:

• na najglobji ravni je realnost po naravi matematična,
• filozofija se lahko uporablja za duhovno očiščevanje,
• dušo lahko razvijemo do združitve z božanskim,
• določeni simboli imajo mističen pomen,
• vsi pitagorejci morajo ravnati pošteno in molčati o dogajanju v društvu.

Zaradi pravila molčečnosti je skorajda nemogoče vedeti, kaj je dognal Pitagora in kaj njegovi učenci, toda vsekakor je njegova šola naredila veliko prispevala k razvoju matematične znanosti. Umrl je okrog 475 pr. n. št.

Pitagora so zanimali zakoni matematike, pojem število, predstava trikotnika in drugih likov ter ideja o abstraktnem dokazu. Naredil je ogromen korak od 2 hruški + 2 hruški = 4hruške do za kar koli. Verjel je, da je vse število, celo vesolje je bilo zanj razmerje in število. Do tega je prišel s svojimi opažanji v glasbi, matematiki in astronomiji. Ugotovil je, da nihajoči struni zvenita ubrano, če je razmerje njunih dolžin enostavno in da ta razmerja lahko uporabimo tudi za druga glasbila. S tem je podal osnovo za matematično teorijo glasbe. Bil je odličen glasbenik, igral je liro. Glasbo je uporabljal tudi za pomoč bolnim.

Raziskoval je lastnosti števil, kot so sodost ali lihost, trikotniška števila, popolna števila in tako naprej. Številom je pripisoval človeške lastnosti, na primer spol, popolnost ali nepopolnost, lepo ali grdo. Deset je bilo najlepše število: vsebuje prva štiri naravna števila (1+2+3+4=10) in zapisano s pikami tvori enakostranični trikotnik. Seveda je danes najbolj znan izrek za pravokotni trikotnik, ki nosi njegovo ime, ker ga je prvi dokazal (Babiloncem je bil namreč znan že tisoč let pred tem).

Pitagori oziroma pitagorejcem pripada mnogo odkritij.

1. Vsota notranjih kotov trikotnika je dvakratnik pravega kota. Poznali so tudi posplošitev – vsota notranjih kotov -kotnika je pravih kotov.
2. Pitagorov izrek: V pravokotnem trikotniku velja, da je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet.
3. Konstrukcija likov z dano ploščino in geometrijska algebra (enačbo so rešili geometrijsko).
4. Odkritje iracionalnih števil. Zaradi Pitagorovega prepričanja, da je vse število, kjer število pomeni razmerje dveh celih števil, so to odkritje dolgo skrivali.
5. Pet pravilnih teles (telesa, ki so sestavljena iz pravilnih n-kotnikov) vključno z njihovo konstrukcijo.
6. Pitagora je učil, da je Zemlja krogla v središču vesolja. Ugotovil je, da je Lunina orbita nagnjena k Zemljinemu ekvatorju in da je Venera kot večerna zvezda isti planet kot zvezda danica.

Legenda pravi, da je Pitagora dobil navdih za svoje raziskovanje glasbene lestvice, ko je nekega lepega dne šel mimo kovačnice. Slišal je, da različno težka kovala različno zvenijo in da tista, katerih teža je v enostavnem razmerju, zvenijo ubrano. Začel je raziskovati v tej smeri, najprej s struno, nato je dognanja posplošil še na druga glasbila. Tako je prišel do prve matematično podane glasbene lestvice.

S struno je začel, ker je igral liro (predhodnica harfe). Ugotovil je, da dve struni zvenita ubrano, če sta njuni dolžini v razmerju 1:2, pri čemer zazveni oktava, 2:3, pri čemer zazveni kvinta, ter 3:4, pri čemer zazveni kvarta. Na več kot štiri dele strune ni delil. Lestvico je sestavil s kvintnimi skoki, in sicer za en navzdol in pet navzgor, ker je tako dobil vse ubrane intervale.

Pojdimo po njegovih stopinjah. Kvinto je dobil pri razmerju 2:3, torej je krajša struna dolga dve tretjini daljše (osnovne). Dolžina strune je v obratnem sorazmerju s frekvenco tona, ki ga ustvari; daljša struna (večja dolžina) pomeni nižjo frekvenco. Torej dobimo frekvenco kvinte z množenjem osnovne frekvence z obratno vrednostjo ulomka, ki predstavlja razmerje dolžin, v tem primeru množimo s tremi polovicami. Če hočemo za kvinto navzdol, moramo frekvenco deliti s tremi polovicami. Za lestvico osnovna frekvenca ni pomembna, pomembna so razmerja med toni. Osnovni ton predstavimo z 1.

Naredimo Pitagorove kvintne skoke:

• enega navzdol:
• prvega navzgor:
• drugega navzgor:
• tretjega navzgor:
• četrtega navzgor:
• petega navzgor:

Skupaj z osnovnim tonom smo prišli do zaporedja

Zdaj moramo te vrednosti spraviti v okvir ene oktave in dobili bomo Pitagorovo lestvico. Spomnimo se, da je Pitagora do oktave prišel pri razmerju 1:2. To pomeni, da moramo osnovno frekvenco pomnožiti z 2, če želimo dobiti oktavo. Pri sestavljanju lestvice za zdaj frekvenc ne potrebujemo, opazujemo le razmerja. Oktava bo torej predstavljena s številko 2. Vrednosti kvintnih skokov moramo spraviti med vrednosti 1 in 2. Pri tem je dovoljeno deljenje in množenje z 2, saj nas to prestavlja za oktavo navzdol oziroma navzgor. Gremo kar po vrsti. je manjše od , zato moramo to vrednost pomnožiti z . Dobimo , kar je med in , torej smo s to vrednostjo končali.

• Vrednost je že ustrezna.
• Vrednost je večja od dve, zato jo moramo deliti z dve. Dobimo , kar je med in .
• Vrednost je tudi prevelika. Po deljenju z dobimo , kar je med in .
• Po deljenju z dobimo , kar je še večje od . Zato delimo še enkrat in dobimo .
• Iz vrednosti po istem postopku dobimo .

Dobljene vrednosti uredimo po velikosti in na koncu dodamo dvojko (oktava) za ponovitveni ton. Dobimo:

Tako smo po Pitagorovih stopinjah prišli do njegove lestvice. Spodaj lahko poslušaš Pitagorovo lestvico, ki se začne na komornem A (440 Hz). To je nota, po kateri se uglašuje orkester.

Kako izračunamo frekvence tonov Pitagorove lestvice, če imamo dano frekvenco osnovnega tona? Spodaj te čaka slika s klaviaturo, na kateri lahko premikaš točko . S premikanjem točke na ustrezne točke (tipke) se bo izpisovalo, kakšna je frekvenca izbranega tona in kako jo dobimo.

Še enkrat se ozrimo na dobljeno lestvico.

Vidimo, da so z enostavnimi razmerji (majhne vrednosti) izraženi le štirje intervali – prima, kvarta, kvinta in oktava. Po Pitagorovi lestvici sta terca in seksta disonantna intervala, iz glasbe pa vemo, da sta konsonantna. Napaka, ki jo je naredil naš vodnik, je, da je struno razdelil na največ štiri dele. Terco in seksto dobimo iz razmerij in , torej z delitvijo strune na pet delov. Napako je okrog leta 20 pr. n. št. popravil Didimos in dobil je lestvico čiste uglasitve (naravno lestvico):

Toda zaradi Pitagorovega ugleda sta terca in seksta še cel srednji vek veljali za disonantna intervala.

Spodaj lahko poslušaš Didimovo lestvico, ki se začne na komornem A (440 Hz).

Za konec poglejmo, kakšni so intervali med sosednjimi toni v Pitagorovi lestvici. Naučili smo se, da množenje z nekim intervalom predstavlja skok za ta interval navzgor, deljenje pa skok navzdol. Nas zanimajo razdalje med sosednjimi toni, zanima nas, kolikšen je skok z enega tona lestvice na naslednjega. Gremo kar po vrsti.

Med prvim in drugim tonom Pitagorove lestvice je razdalja kar , saj moramo enko pomnožiti z , da dobimo .

Interval med drugim in tretjim tonom ni tako očiten. Zanima nas, krat koliko je ali zapisano drugače:

To pa znamo rešiti.

Ugotovili smo, da je tudi interval med drugim in tretjim tonom . Določimo naslednjega.

Ta je pa drugačen, manjši od prejšnjega, saj velja:
in

Poglejmo še naprej. Smo pri intervalu med in . Glede na zgornje računanje lahko sklepamo, da se interval med dvema tonoma izračuna tako, da preprosto višjo vrednost delimo z nižjo.

No, pa smo spet pri prvem skoku. Bi naprej šlo samostojno? Poskusi poiskati še manjkajoče intervale.

Preveri

Na klaviaturi so označeni dobljeni rezultati. Vidimo, da so manjši intervali ravno tam, kjer ni črne tipke. In točno tako mora biti, saj med tona z večjim intervalom lahko vrinemo še enega in tako dobimo črne tipke pri klavirju. Med vsemi sosednjimi tipkami na klavirju je enak interval. Trenutno se nam zdi, da je ta interval , vendar to ni res. Pravi interval bomo našli kasneje. Če te zanima že ta hip, si oglej gradivo Iracionalna števila.

Čisto za konec še preverimo, ali smo dobili prave rezultate. Če smo vse prav premislili, bi morali dobiti enako, če se za oktavo prestavimo v enem koraku (to pomeni krat 2) ali če se prestavimo po tonih lestvice. Če se prestavljamo po tonih lestvice, se bomo petkrat prestavili za in dvakrat za , skupno se bomo prestavili za:

Krasno, vse se ujema. Zdaj lahko svoje razmišljanje mirno končamo ...

Glasbena lestvica je dvigajoče se in padajoče sosledje tonov v okviru ene oktave. Večinoma se uporabljajo diatonične, ki so sestavljene iz sedmih tonov v poltonskem ali celotonskem razmerju (na primer dur in mol), in kromatične tonske lestvice, ki so zgrajene na dvanajstih poltonskih razmerjih.

Disonanca je napeto, neprijetno sozvočje, nasprotje konsonance.

Interval je višinska razdalja med dvema tonoma, ki sledita drug drugemu (melodični interval) ali zvenita sočasno (harmonični interval). Interval izrazimo z razmerjem frekvenc opazovanih tonov. Pri durovi ali molovi lestvici dobimo iz osnovnega tona osem različnih intervalov: prima je ponovitev osnovnega tona, sekunda je sestavljena iz prvega in drugega tona lestvice, terca iz prvega in tretjega, kvarta iz prvega in četrtega, kvinta iz prvega in petega, seksta iz prvega in šestega, septima iz prvega in sedmega, oktava pa je nekakšna ponovitev osnovnega tona. Imena za intervale izhajajo iz latinščine.

Konsonanca je ubrano dvo- ali večzvočje. Konsonanca so intervali prime, oktave, kvinte, kvarte, terce in sekste (našteto od najbolj konsonantnega k manj konsonantnim), disonanca pa intervali sekunde, septime in zvečane kvarte. Vendar danes ostre meje med konsonanco in disonanco ni, določanje je odvisno od muzikalnega skladja.

Ton je fizikalno zvok z enim samim sinusnim nihanjem z dano frekvenco. Zven je sestavljen iz sinusnih nihanj z različnimi frekvencami, njegov spekter je črtast (navpične črte pri frekvencah, ki ga sestavljajo). Obstaja še šum, ki je sestavljen iz vseh frekvenc (ima zvezen spekter). V glasbi je ton fizikalno gledano zven ali ton, sestavljen je iz osnovnega tona in alikvotnih tonov. Določamo mu barvo (timbre), višino, jakost, trajanje in mesto (razmerje do drugih tonov).

Tonaliteta ali tonski način je vrsta tonov, ki so osnova kaki melodiji ali celi skladbi in so vezani na posebni osnovni ton. Spoznamo jih po predznakih (višajih ali nižajih) na začetku skladbe. Osnovna sta C-dur (C-D-E-F-G-A-H-C) in a-mol (a-h-c-d-e-f-g-a naravni, a-h-c-d-e-f-gis-a harmonični in a-h-c-d-e-fis-gis-a melodični), druge oblikujemo po njunem zgledu (enaki intervali oziroma razmerja).

Izračunaj frekvence tonov lestvice čiste uglasitve, ki se začne s komornim A-jem (ima frekvenco Hz).

Preveri

Izračunaj intervale med sosednjimi toni lestvice čiste uglasitve (Didimova lestvica).

Preveri

Kakšen je interval med tretjim in petim tonom Pitagorove lestvice?

Kakšen je isti interval v Didimovi lestvici?

Preveri