Ker so ničle racionalne funkcije enake ničlam polinoma v števcu, se graf racionalne funkcije v okolici ničle obnaša podobno kot graf polinoma v števcu.
Graf 1 - racionalne funkcije
Graf 1 - racionalne funkcije
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Ničle racionalne funkcije in obnašanje grafa v okolici ničel
Zgled 1
Premikaj točko na drsniku in opazuj od česa je odvisno, da graf funkcije seka abscisno os oziroma se jo je le dotakne. Pravtako opazuj, kdaj funkcija spremeni predznak.
Če je ničla polinoma lihe stopnje, graf racionalne funkcije seka abscisno os, funkcija pa v taki ničli spremeni predznak.
Nasprotno, če je ničla polinoma sode stopnje, se graf racionalne funkcije dotakne abscisne osi, funkcija pa v taki ničli ne spremeni predznaka.
Podrobnejša razlaga
Naj bo ničla polinoma . Ker sta si polinoma in tuja, nobena ničla polinoma ne more biti hkrati pol. Zato je in polinom je neničeln tudi v dovolj majhni okolici točke . Zato ima v tej okolici konstanten predznak in menjavo predznaka narekuje le morebitna zamenjava predznaka polinoma v okolici ničle.
Naloga 1a
Določi ničle racionalni funkciji. Ali v ničlah funkcija spremeni predznak?
Najprej rešimo enačbo .
, 1. stopnje
, 1. stopnje
Ker sta ničli stopnje, funkcija v svojih ničlah predznak.
Odlično!
Narobe!
, 1. stopnje
, 1. stopnje
Ker sta ničli lihe stopnje, funkcija v svojih ničlah spremeni predznak.
Naloga 1b
Določi ničle racionalni funkciji. Ali v ničlah funkcija spremeni predznak?
Najprej rešimo enačbo .
, 2. stopnje
Ker je ničla stopnje, funkcija v svoji ničli predznak.
Odlično!
Naloga 2a
Zapiši ničle racionalne funkcije in njihove stopnje. Ali funkcija v ničli spremeni predznak?
Reši enačbo .
Odlično!
Naloga 2b
Zapiši ničle racionalne funkcije in njihove stopnje. Ali funkcija v ničli spremeni predznak?
Reši enačbo .
Odlično!
Naloga 2c
Zapiši ničle racionalne funkcije in njihove stopnje. Ali funkcija v ničli spremeni predznak?
Reši enačbo .
Odlično!
Naloga 2d
Zapiši ničle racionalne funkcije in njihove stopnje. Ali funkcija v ničli spremeni predznak?
Reši enačbo .
Odlično!
Poli racionalne funkcije in obnašanje grafa v okolici polov
Racionalna funkcija je definirana povsod, razen v ničlah polinoma . Tam smo rekli, da ima racionalna funkcija svoje pole. Graf racionalne funkcije ima v polu navpično asimptoto. Vrednosti racionalne funkcije v bližini pola rastejo preko vse meje (v pozitivno ali negativno neskončnost).
Podrobnejša razlaga
Najprej se spomnimo, da smo v definiciji racionalne funkcije zahtevali, da sta si polinoma in tuja. To posebej pomeni, da nobena ničla polinoma ne more biti hkrati ničla polinoma (sicer bi bil skupni faktor polinomov in in polinoma zato ne bi bila tuja). To pomeni, da je vrednost , torej neko strogo pozitivno ali strogo negativno število . Če ostanemo torej zelo blizu točke (bodisi z leve ali desne), polinom v tako majhni okolici še ne sme zamenjati predznaka (v tem zadnjem argumentu smo potihem sicer uporabili zveznost polinomov). Torej je vrednost polinoma v dovolj majhni okolici točke še vedno ali strogo pozitivna ali strogo negativna, ne more pa biti enaka . To bi s simboli napisali takole: za dovolj majhno pozitivno število je in .
Nekako nasproten premislek naredimo o tem, kako se polinom obnaša v okolici svoje ničle. Jasno je, da morajo biti vrednosti polinoma v točkah, ki so zelo blizu približno enake . Iz razdelka o polinomih že vemo, da v svoji ničli ali zamenja ali ohrani predznak odvisno od tega, ali je bila njegova ničla lihe ali sode stopnje.
Sedaj pa si poglejmo kvocienta in .
Ugotovili smo, da je vrednost števca neko neničelno število, vrednost imenovalca pa je približno enaka . Če vrednost odmika dodatno manjšamo, se vrednost števca ne bo bistveno spremenila, vrednost imenovalca pa bo še bližja ničli. Če delimo neničelno število s številom, ki je zelo majhno, dobimo po absolutni vrednosti zelo veliko število.
Zgled 2
Dana je potenčna funkcija . Potenčna funkcija je poseben primer racionalne funkcije, saj nima ničel. S premikanjem točke na drsniku opazuj, od česa je odvisno, da funkcija pri prehodu čez pol spremeni predznak.
Potenčna funkcija je racionalna funkcija brez ničel. Pri ima pol, zato je os navpična asimptota. Pri prehodu čez pol funkcija bodisi spremeni predznak bodisi ga ohrani. To je odvisno od sodosti oziroma lihosti potence .
Če je liho število, funkcija pri prehodu čez pol spremeni predznak, in obratno funkcija pri prehodu čez pol predznak ohrani, če je sodo število.
Zgled 3
Premikaj točko na drsniku in opazuj od česa je odvisno, da funkcija pri prehodu čez pol spremeni predznak. Ali ničla funkcije kaj vpliva na spremembo predznaka funkcije pri prehodu čez pol?
S premikanjem točke na drsniku v resnici spreminjamo stopnjo polinoma v imenovalcu racionalne funkcije. Funkcija ima pol v ničli imenovalca, torej pri . Če je pol lihe stopnje, funkcija pri prehodu čez pol spremeni predznak. Če je pol sode stopnje, funkcija pri prehodu čez pol ohrani predznak. Iz primera se vidi, da ničla ne vpliva na spremembo predznaka funkcije pri prehodu čez pol.
Če je ničla polinoma (pol) lihe stopnje, funkcija pri prehodu čez pol spremeni predznak.
Nasprotno, če je ničla polinoma (pol) sode stopnje, funkcija pri prehodu čez pol ne spremeni predznaka.
Naloga 3a
Določi pole racionalni funkciji. Ali funkcija spremeni predznak pri prehodu čez pol?
Pola: , . Funkcija pri prehodu čez pol (spremeni/ohrani) predznak.
Odlično!
Naloga 3b
Določi pole racionalni funkciji. Ali funkcija spremeni predznak pri prehodu čez pol?
Pol: . Funkcija pri prehodu čez pol (spremeni/ohrani) predznak.
Odlično!
Naloga 4
Odlično!
Kaj smo se naučili?
Presečišče grafa racionalne funkcije z ordinatno osjo
Graf racionalne funkcije seka ordinatno os v začetni vrednosti funkcije, ki jo izračunamo . Presečišče grafa z ordinatno osjo označimo s točko oziroma .
Zgled 4a
Naloga 5a
Dani funkciji določi ničle in pole ter presečišče grafa z ordinatno osjo. Ničlam in polom določi še stopnjo.
Ničla: , . stopnje.
Pola: , . stopnje,
, . stopnje.
Presečišče: .
Odlično!
Naloga 5b
Dani funkciji določi ničle in pole ter presečišče grafa z ordinatno osjo. Ničlam in polom določi še stopnjo.
Ničla: , . stopnje.
Pola: , . stopnje,
, . stopnje.
Presečišče: .
Odlično!
Naloga 5c
Dani funkciji določi ničle in pole ter presečišče grafa z ordinatno osjo. Ničlam in polom določi še stopnjo.
Ničla: , . stopnje,
, . stopnje.
Pola: , . stopnje,
, . stopnje.
Presečišče: .
Odlično!
Nekje si se zmotil.
Ničle: , 2. stopnje,
, 1. stopnje.
Pola: , 1. stopnje,
, 1. stopnje.
Presečišče: .
Dodatne naloge - 1a
Dodatne naloge - 1b
Dodatne naloge - 1c
Dodatne naloge - 1d
Dodatne naloge - 1e
Odlično!
Ker je ena ničla 1. stopnje, graf seka abscisno os v točki . Ostali dve ničli sta 2. stopnje, zato tam graf ne seka abscisne osi.
Narobe!
Ker je ena ničla 1. stopnje, graf seka abscisno os v točki . Ostali dve ničli sta 2. stopnje, zato tam graf ne seka abscisne osi.
Dodatne naloge - 2a
Dani funkciji določi ničle in pole ter presečišče grafa z ordinatno osjo. Ničlam in polom določi še stopnjo.
Funkcija ničel.
Pol: , . stopnje.
Presečišče: A(, ).
Odlično!
Dodatne naloge - 2b
Dani funkciji določi ničle in pole ter presečišče grafa z ordinatno osjo. Ničlam in polom določi še stopnjo.
Ničla: , . stopnje.
Pol: , . stopnje.
Presečišče: A(, ).
Odlično!
Dodatne naloge - 2c
Dani funkciji določi ničle in pole ter presečišče grafa z ordinatno osjo. Ničlam in polom določi še stopnjo.
Ničla: , . stopnje.
Pola: , . stopnje;
, . stopnje.
Presečišče: A(, ).
Odlično!
Dodatne naloge - 2d
Dani funkciji določi ničle in pole ter presečišče grafa z ordinatno osjo. Ničlam in polom določi še stopnjo.
Ničla: , . stopnje.
Pol: , . stopnje.
Presečišče: A(, ).
Odlično!
Dodatne naloge - 2e
Dani funkciji določi ničle in pole ter presečišče grafa z ordinatno osjo. Ničlam in polom določi še stopnjo.
Ničla: , . stopnje.
Funkcija polov.
Presečišče: A(, ).
Odlično!
Dodatne naloge - 2f
Dani funkciji določi ničle in pole ter presečišče grafa z ordinatno osjo. Ničlam in polom določi še stopnjo.
Ničla: , . stopnje.
Pola: , . stopnje;
, . stopnje.
Funkcija (seka/ne seka) ordinatne osi.
Odlično!
Dodatne naloge - 2g
Dani funkciji določi ničle in pole ter presečišče grafa z ordinatno osjo. Ničlam in polom določi še stopnjo.
Ničla: , . stopnje;
, . stopnje.
Pol: , . stopnje.
Presečišče: A(, ).
Odlično!
- Ničle racionalne funkcije in obnašanje grafa v okolici ničel
- Zgled 1
- Podrobnejša razlaga
- Naloga 1a
- Naloga 1b
- Naloga 2a
- Naloga 2b
- Naloga 2c
- Naloga 2d
- Poli racionalne funkcije in obnašanje grafa v okolici polov
- Podrobnejša razlaga
- Zgled 2
- Zgled 3
- Naloga 3a
- Naloga 3b
- Naloga 4
- Kaj smo se naučili?
- Presečišče grafa racionalne funkcije z ordinatno osjo
- Zgled 4a
- Naloga 5a
- Naloga 5b
- Naloga 5c
- Dodatne naloge - 1a
- Dodatne naloge - 1b
- Dodatne naloge - 1c
- Dodatne naloge - 1d
- Dodatne naloge - 1e
- Dodatne naloge - 2a
- Dodatne naloge - 2b
- Dodatne naloge - 2c
- Dodatne naloge - 2d
- Dodatne naloge - 2e
- Dodatne naloge - 2f
- Dodatne naloge - 2g
