Razlogi za uvedbo kompleksnih števil
Znate rešiti enačbo oziroma ?
Opazili ste, da takšna enačba nima realnih rešitev, zato uvedemo novo množico števil, in sicer kompleksna števila.
Uvedemo posebno enoto, ki ji pravimo imaginarna enota i, za katero velja
Množico kompleksnih števil zapišemo kot
Število je realna komponenta oziroma realni del števila , kar zapišemo kot . Število pa je imaginarna komponenta oziroma imaginarni del števila , kar zapišemo kot .
Naravna števila so števila, s katerimi štejemo. To so števila od 1 do neskončno. Množico celih števil dobimo tako, da množici naravnih števil dodamo vsa negativna cela števila in število 0. Množico racionalnih števil sestavljajo vsi okrajšani ulomki, množico realnih pa vsa neskončna decimalna števila. To lahko izrazimo tudi krajše, in sicer s simboli:
Kompleksno število je realno, če imaginarne komponente ni, torej, če velja, da je . Takrat je in število je realno. Npr. število je realno število.
Kompleksno število je čisto imaginarno, če nima realne komponente (). Velja in število je imaginarno. Npr. število je čisto imaginarno število.
Namesto števila lahko zapišete kar , saj velja, da je . Sledi . Rešitvi: .
Grafična upodobitev kompleksnih števil
Vsako kompleksno število lahko upodobimo v kompleksni ravnini na dva načina, s točkami ali s krajevnim vektorjem. S premikanjem rdeče obarvane točke lahko vidite spreminjanje krajevnega vektorja in s tem zapisa kompleksnega števila.
Upodobiti ste morali vsa kompleksna števila, kjer je realna komponenta enaka 3. Rešitev je prikazana na sliki.
|
Upodobiti ste morali vsa kompleksna števila, kjer je imaginarna komponenta manjša ali enaka 2. Rešitev je prikazana na sliki.
|
Računanje s kompleksnimi števili
Množenje kompleksnih števil z realnimi števili
Naj bo število in . Potem velja
Nasprotno število
Kompleksnemu številu nasprotno število je
Seštevanje in odštevanje kompleksnih števil
Imamo kompleksni števili in . Velja
Za seštevanje in odštevanje kompleksnih števil veljajo običajna računska pravila.
Množenje kompleksnih števil
Imamo kompleksni števili in . Velja
Za množenje kompleksnih števil veljajo običajna računska pravila.
Če imamo dve kompleksni števili in in ju seštejemo, dobimo . Podobno ju odštejemo. Dobimo .
Oglejte si seštevanje in odštevanje vektorjev še grafično, s premikanjem točk rdeče barve.
Če imamo dve kompleksni števili in in ju množimo, dobimo .
Potence števila i
Vemo, da velja . Z uporabo pravila za potence izračunajte, koliko je .
Konjugiranje
Vsakemu kompleksnemu številu lahko priredimo konjugirano število tako, da imaginarnemu delu spremenimo predznak.
|
Lastnosti konjugiranja:
Imamo števili in . Njun produkt je enak . Dobili smo obrazec za razcep vsote kvadratov dveh števil: .
Če konjugiramo število oziroma , dobimo isto število, . V tem primeru je , pri čemer je z realno število.
Če konjugiramo število oziroma , se imaginarnemu delu spremeni predznak in dobimo . V tem primeru je , pri čemer je z čisto imaginarno število.
Absolutna vrednost
Absolutno vrednost kompleksnega števila označimo z . Predstavlja dolžino vektorja kompleksnega števila ter razdaljo med izhodiščem in točko, ki predstavlja kompleksno število . Za absolutno vrednost velja:
je razdalja med številoma z in w in , če je | 
|
Množica kompleksnih števil je množica vseh števil, ki so od izhodišča oddaljene za 1. Ker pa iščemo tisto množico kompleksnih števil, za katero je , je to ravno krog brez krožnice s središčem v izhodišču in polmerom 1:
Podana je množica kompleksnih števil, ki je od določene točke odmaknjena za točno . Točka je središče krožnice, saj velja . Množica je torej krožnica s središčem v točki in polmerom :
Podana je množica kompleksnih števil, ki je od določene točke odmaknjena za več ali enako 1 in manj kot 2. Točka je središče krožnic, ki omejujeta množico. Množica števil je krožni kolobar s središčem , določen s polmeroma 1 in 2:
Deljenje kompleksnih števil
Kompleksna števila lahko delimo s kompleksnimi števili, ki so različna od 0. Recimo, da želimo deliti dve kompleksni števili, in . Potem je . Vsakemu od 0 različnemu kompleksnemu številu pripada inverzno število . Inverzno število pa dobimo tako, da števec in imenovalec pomnožimo s konjugirano vrednostjo imenovalca ali drugače:
Želimo deliti dve kompleksni števili in . Če zapišemo simbolično: ali . Upoštevajte, da se deljenje lahko zapiše tudi kot in z uporabo zgornjega obrazca za inverzno kompleksno število sami izpeljite obrazec za deljenje dveh kompleksnih števil.
Zgledi za deljenje kompleksnih števil
1. Številu poiščimo inverzno število .
Rešitev
2. Izračunajmo rezultat deljenja .
Rešitev
Uporaba kompleksnih števil v kvadratni enačbi
Na začetku obravnavanja kompleksnih števil smo rešili enačbo . Če napišemo splošno, so to enačbe oblike , kjer je realno število. Če zapišemo enačbo nekoliko drugače, dobimo , kar lahko razcepimo na obliko in dobimo rešitvi enačbe,
in
Podano imamo enačbo oblike . V poglavju Kvadratna funkcija ste izvedeli, da ima vsaka kvadratna enačba z realnimi koeficienti dve rešitvi. Vse pa je odvisno od diskriminante:
| dve različni realni rešitvi | |
| dve enaki realni rešitvi (oz. eno dvojna) | |
| dve konjugirano kompleksni rešitvi |
Zgleda
1. Razcepimo kvadratni tričlenik .
Rešitev
2. Rešimo enačbo .
Rešitev
