Najprej ponovimo, kaj vemo o decimalnem zapisu. Pozorno preberi spodnje povedi in vpiši manjkajoče besede.

Poljubno številoje sestavljeno iz enic, , stotic in tako naprej (celi del) ter , stotin, in tako naprej (del, ki je manjši od ena). Stotice, desetice, enice, desetine, stotine ... so desetiške enote. Celi del in del, ki je manjši od ena, sta v decimalnem zapisu ločena z ali piko. Števke, ki so za decimalno vejico, imenujemo . Številko preberemo cele stotin. Številko preberemo ena dvesto štiriintrideset . Izgovorjeno lahko zapišemo tudi z in tako decimalni zapis pretvorimo v ulomek. V dobljenega ulomka je toliko ničel, kolikor je decimalk v decimalnem zapisu. Ulomek na koncu okrajšamo.

Preveri

Super! V eno smer že znamo, decimalno število z lahkoto zapišemo z ulomkom.

Oglejmo si še en primer:

Na vrsti je malo samostojnega dela. Poveži števila z zapisom z ulomkom.

Preveri

Joj, prehitro smo se veselili. Na eno obliko decimalnih števil smo pozabili. Se mogoče spomniš katero?

Pozabili smo na periodična decimalna števila. To so tista števila, pri katerih se ena ali več decimalk stalno ponavlja (v neskončnost). Decimalke, ki se ponavljajo, se imenujejo perioda. Periodo označimo tako, da nad decimalke, ki se ponavljajo, narišemo črto.

Pa se spomnimo, kako se periodično decimalno število zapiše z ulomkom. Spodaj te čaka prvi primer.

Skupaj naredimo še en podoben primer. Z ulomkom zapišimo število . Pri zgornjem primeru smo videli, da najprej vpeljemo neznanko, imenujmo jo (kot ulomek).

Nato dobljeno enačbo pomnožimo z deset, da se ena perioda prestavi pred decimalno vejico.

Dobili smo dve enačbi. Ti dve enačbi zdaj odštejemo, saj se tako znebimo periode. Zgornjo enačbo odštejemo od spodnje in dobimo:

Čisto počasi naredimo skupaj še en težji primer. Z ulomkom zapišimo . Ta primer je malo drugačen, saj je perioda šele na tretjem decimalnem mestu. Pri takih primerih enačbo najprej pomnožimo s tako potenco števila , da se perioda prestavi tik za decimalno vejico.

Nadaljujemo kot v prejšnjem primeru – enačbo pomnožimo s tako potenco števila , da se ena perioda prestavi pred decimalno vejico.

Nato zadnji dve enačbi odštejemo:

in rešimo dobljeno enačbo.

Prišli smo do zapisa z ulomkom.

Z ulomkom zapiši .

Potek reševanja:

Odštejemo dobljeni enačbi in izračunamo .

Dobili smo: . Te rezultat preseneča? Do njega bi lahko prišli tudi z drugačnim razmišljanjem.

Za decimalno vejico je neskončno devetk. Lahko si določimo poljubno natančnost, recimo na milijon decimalk. Tisti hip, ko začnemo zaokroževati, se vse devetke spremenijo v ničle in trojka iz celega dela v štiri. Verjetno je koga zmotilo, da začnemo zaokroževati in da s tem izgubimo natančnost. V tem primeru ni tako, saj je natančnost poljubna, lahko si izberemo celo neskončno natančnost in rezultat bo vedno isti:

Upoštevaj zgornje korake in z ulomkom zapiši .

Ulomek, ki ga dobimo je:

Preveri

Po zgornjih korakih z ulomkom zapiši še .

Ulomek, ki ga dobimo je:

Preveri

Smo morda spet pozabili na kakšne decimalne številke? Poglejmo raje v drugo smer, premislimo, kako ulomke zapišemo v decimalni obliki in kakšne decimalke dobimo pri tem.

Kakšen decimalni zapis imata ulomka in ?

lahko preoblikujemo na dva načina:

1. način: Ulomek razširimo tako, da v imenovalcu dobimo potenco števila , in ga nato zapišemo z decimalkami. V tem primeru ulomek razširimo s .

2. način: Števec zdelimo z imenovalcem.

Za lahko uporabimo le drugi način, saj tega ulomka ne moremo razširiti tako, da bi v imenovalcu dobili potenco števila (noben večkratnik števila tri ni enak potenci števila ). Z deljenjem dobimo:

Drugi način lahko uporabimo za vsak ulomek. Kdaj pa lahko uporabimo prvi način? Kadar je kakšen večkratnik imenovalca potenca števila . Ker je večkratnikov neskončno, je lažje opazovati potence števila .

Aha, torej mora biti imenovalec oblike , pri čemer sta in lahko tudi .

Za konec je ostalo še eno vprašanje: Kakšen decimalni zapis imajo ulomki?

In odgovor: Če je imenovalec oblike , je decimalni zapis končen; ima toliko decimalk, kolikor je ničel v imenovalcu razširjenega ulomka (po prvem načinu). Če je imenovalec drugačne oblike, je decimalni zapis neskončen, a vedno periodičen.

Zakaj je neskončen decimalni zapis ulomka vedno periodičen?

In odgovor: Pri deljenju je ostanek vedno manjši od delitelja. V našem primeru je delitelj imenovalec ulomka, kar pomeni, da je možnih različnih ostankov manj, kot je imenovalec. To pa pomeni, da se morajo ostanki slej ko prej začeti ponavljati.

Pri vsem skupaj ne smemo pozabiti, o kakšnih ulomkih smo razmišljali. To so bili seveda ulomki, ki predstavljajo racionalna števila. Od prej vemo, da obstajajo tudi iracionalni ulomki, ki jih ne moremo zapisati z ulomkom s celim števcem in imenovalcem. Iracionalna števila imajo neskončen neperiodičen decimalni zapis. Povedano v drugo smer: Neskončnih neperiodičnih decimalnih števil ne moremo zapisati z ulomkom s celim števcem in imenovalcem. V resnici se večina iracionalnih števil prav elegantno izmuzne vsem ulomkom.

Dodatne naloge

Zapiši kot ulomek naslednja števla. Nato jih poveži med seboj, da preveriš svojo rešitev.

Preveri

Zapiši kot ulomek naslednja števla. Nato jih poveži med seboj, da preveriš svojo rešitev.

Preveri

Preoblikuj v decimalni zapis. Nato poveži med seboj, da preveriš svojo rešitev.

Preveri

Izračunaj.

a)

Rezultat je:

b)

Rezultat je:

Preveri