Racionalne enačbe

Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Racionalne enačbe

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Počitnice

Maja se odpravlja na počitnice. Turistična agencija ponuja počitnice po različnih cenah, za vse ponudbe pa velja, da pri nakupu sedem in večdnevnega paketa dva dneva počitnic podarijo. Če se Maja odpravi na dnevni dopust ( je vsaj ), plača le dni. Izhodiščna cena enega dneva je odvisna od kraja bivanja in izbire hotela. Maja je izbrala hotel za € na dan. Maja bo za dni počitnic plačala , se pravi, da bo za vsak dan počitnic v resnici plačala le . Po temeljitem razmisleku je Maja sklenila, da bo za vsak dan počitnic namenila točno €.

(potovanja.png)

Koliko dni počitnic si bo Maja privoščila?

Rešiti moramo enačbo .

V dobljeni enačbi nastopa algebrski ulomek.

Poskusi rešiti to enačbo. Rešitev, ki jo dobiš je:

Maja si bo privoščila dni počitnic.

Maja si bo privoščila dni počitnic.

Maja si bo privoščila dni počitnic.

Odlično, rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo.

Najprej odpravimo ulomek tako, da pomnožimo obe strani enačbe z .

Odpravimo oklepaj in prenesemo člene z neznanko na eno stran, druge člene pa na drugo.

Rešitev je .

Maja si bo privoščila dni počitnic.

Lahko bi poiskali še veliko podobnih primerov, vendar moramo prej izpopolniti znanje o reševanju enačb. Pri reševanju enačb, v katerih nastopajo algebrski ulomki, upoštevamo enaka pravila kot pri reševanju navadnih enačb.

Pri reševanju enačb poskušamo izraziti neznanko. Največkrat enačbo preuredimo tako, da neznanka nastopi le enkrat, in sicer na svoji strani enačaja. Pri tem ne smemo vplivati na rešitev enačbe, zato upoštevamo naslednja pravila.

Člene enačbe smemo prenašati na drugo stran enačaja, pri čemer jim moramo spremeniti predznak.
Obe strani enačbe smemo pomnožiti ali deliti z istim neničelnim številom ali izrazom.
Na obeh straneh enačbe smemo prišteti ali odšteti isto število ali izraz.

Primer 1

Imenovalec ulomka ne sme biti . Enačba ima pomen le, če je neničelno število. V tem primeru smemo enačbo pomnožiti z .

Člene s spremenljivko prenesemo na levo, druge pa na desno stran.

Obe strani delimo z in dobimo rešitev . Rešitev ni v nasprotju s pogojem, da je neničelno število.

Kdaj je enačba nesmiselna?

Ugotovi, za katere vrednosti spremenljivke enačba

ni smiselna. V okvirčke vpiši dobljene vrednosti po velikosti od najmanjše do največje.

Enačba ni smiselna za , , , , in .

Ugotovi, za katere so imenovalci ulomkov enaki .

Odlično, rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Enačba ni smiselna za -5, -2, 0, 1, 3 in 5.

Reši enačbo 1

Rešitev zgornje enačbe je:

Odlično, rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo.

Možnih je več poti. Oglejmo si eno od njih. Enačba je smiselna le, če je različen od . Najprej enačbo preuredimo.

Obe strani pomnožimo z .

Člene z neznanko prenesemo na levo, druge pa na desno stran enačaja.

Rešitev je , kar ni v nasprotju z začetnim pogojem.

Primer 2

Enačba ima pomen le v primeru, ko imenovalec ulomka ni enak , torej ko ni .

Ulomek zavzame vrednost , ko je njegov števec. Do enakega rezultata pridemo, če enačbo pomnožimo z .

Izraz na levi razstavimo in upoštevamo, da je produkt dveh faktorjev enak natanko tedaj, ko je eden od faktorjev. ali

Možnosti sta torej dve: ali

kar da rešitvi ali . Nobena od rešitev ni v nasprotju z začetnim pogojem.

Reši enačbo 2

Rešitev zgornje enačbe je:

,

,

,

Odlično, rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo.

Enačba ni smiselna, če je . Sicer lahko enačbo pomnožimo z .

Odpravimo oklepaj in dobljen izraz razstavimo:

ali .

Dobimo dve rešitvi ali . Rešitvi nista v nasprotju z začetnim pogojem.

Primer 3

Enačba ima smisel le, če sta oba imenovalca različna od nič, torej če ni ali .

V tem primeru lahko obe strani pomnožimo z , s čimer se znebimo ulomkov. Po krajšanju dobimo:

Odpravimo oklepaj na levi in enačbo preuredimo:

, kar da rešitev , ki ni v protislovju z začetnim pogojem.

Reši enačbo 3

Rešitev zgornje enačbe je:

Odlično, rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo.

Enačba ima smisel, če je različen od . Če razstavimo imenovalec ulomka na desni, dobimo

Obe strani enačbe pomnožimo s in dobimo

Odpravimo oklepaje in enačbo preuredimo:

Rešitev ni v nasprotju z začetnim pogojem.

Primer 4

Imenovalec ulomka lahko razstavimo . Imenovalec bo nič v primeru, ko bo ali . V teh primerih je enačba nesmiselna.

Če enačbo pomnožimo z , dobimo

Enačbo preuredimo in levo stran razstavimo.

Rešitev ni možna, saj je v nasprotju z začetnimi omejitvami. Enačba nima rešitve.

Reši enačbo 4

Rešitev zgornje enačbe je:

Enačba nima rešitve.

Odlično, rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo.

Da ugotovimo, kdaj enačba ni smiselna, moramo razstaviti imenovalce.

Enačba ni smiselna za in .

Enačbo pomnožimo z .

Preuredimo:

Rešitev bi bila , vendar zaradi začetnih pogojev ni možna. Enačba nima rešitve.

Kaj spada skupaj?

Reši spodnje enačbe in nato rešitve poveži z ustreznimi rezultati.

Odlično, rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Enačba	Rešitev

Obravnavanje enačb

Včasih v enačbi poleg neznanke nastopa še eden ali več parametrov. V teh primerih je rešitev po navadi odvisna od parametrov. Pri reševanju takšnih enačb je največkrat potrebna obravnava. Oglejmo si primer.

Za in enačba ni smiselna, saj imenovalci ne smejo biti enaki . Sicer pa enačbo pomnožimo z , da se znebimo ulomkov.

Odpravimo oklepaje in enačbo preuredimo.

Če hočemo izraziti neznanko, moramo obe stani enačbe deliti z . Tega ne smemo storiti, če je . V tem primeru imamo v resnici enačbo

Ta enačba nima rešitve.

Obravnavanje enačb

Če je neničelno število, pa lahko enačbo delimo z in dobimo rešitev.

Če strnemo vse ugotovitve, dobimo:

za in enačba ni smiselna;
za enačba nima rešitve;
v drugih primerih je rešitev enačbe .

Obravnavaj enačbe

V vseh enačbah je neznanka .

Prva enačba

Druga enačba

Tretja enačba

Najprej enačbo preuredimo.

Izpostavimo neznanko.

Če je , dobimo . Vsako število je rešitev te enačbe.
Če je , dobimo . Enačba nima rešitve.
Če in , pa lahko enačbo delimo z in dobimo rešitev .

Enačba ni smiselna za in . Najprej seštejemo člena na vsaki strani.

Ker smo predpostavili, da ni , enačbo pomnožimo z , razstavimo imenovalec na desni in na levi izpostavimo .

Če je , dobimo enačbo in je rešitev vsako število .
Če ni , na obeh straneh delimo z in dobimo rešitev .

Enačba je smiselna le, če sta in različna od nič. V tem primeru enačbo pomnožimo z .

Na levi izpostavimo neznanko in dobimo .

Če je , dobimo . Ta enačba nima rešitve, saj je produkt različen od (zahtevali smo, da sta in različna od ).
Če , dobimo rešitev .

Naloga 1

Za kateri enačba ni smiselna?

Za .

Za .

Za .

Odlično, rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Za .

Naloga 2

Reši enačbo .

Rešitev te enačbe je:

Odlično, rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Naloga 3

Reši enačbo .

Rešitev te enačbe je:

Odlično, rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Naloga 4

Reši enačbo .

Rešitev te enačbe je:

Enačba nima rešitve.

Enačbo rešijo vsa realna števila.

Odlično, rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Naloga 5

Reši enačbo .

Rešitev te enačbe je:

Odlično, rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Naloga 6

Reši enačbo .

Katera od naštetih možnosti ni rešitev te enačbe?

Odlično, rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Naloga 7

Obravnavaj enačbo .

Med spodnjimi trditvami označi nepravilno.

Za enačba ni smiselna.

Če in , je rešitev .

Za enačba nima rešitve.

Odlično, rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Za enačba nima rešitve.

1. dodatna naloga

Ugotovi, za katere vrednosti parametrov in enačbe niso smiselne.

ali

ali

ali

Odlično, rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Odlično, rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Odlično, rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo. Rešitev je:
ali

2. dodatna naloga

Reši enačbi.

1.

Rešitev enačbe je:

2.

Rešitev enačbe je:

Odlično, rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

3. dodatna naloga

Reši enačbi.

1.

Rešitev enačbe je:

,

,

,

2.

Rešitev enačbe je:

Odlično, rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

,

4. dodatna naloga

Reši enačbi.

1.

Rešitev enačbe je:

Ni rešitve.

2.

Rešitev enačbe je:

Odlično, rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Ni rešitve.

5. dodatna naloga

Reši enačbi.

1.

Rešitev enačbe je:

Ni rešitve.

2.

Rešitev enačbe je:

Ni rešitve.

Vsa od različna realna števila.

Odlično, rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Ni rešitve.
Vsa od različna realna števila.

6. dodatna naloga

Obravnavaj enačbe. V vseh enačbah je neznanka .

1.	Obravnava prve enačbe
2.	Obravnava druge enačbe
3.	Obravnava tretje enačbe
4.	Obravnava četrte enačbe

Enačba ni smiselna za , za je rešitev vsako realno število, če , je .

Enačba ni smiselna za , za je rešitev vsako realno število, če , je .

Enačba ni smiselna za , za je rešitev vsako realno število, če , je .

Enačba ni smiselna za in , če sta in neničelni števili, je za rešitev vsako realno število, za ni rešitve, če a in in in , je .

Rezultati

Zapri

Pomoč
Komentarji
Velikost črk
Zapiski
Za učitelja
Natisni

Natisni trenutno prosojnico
Natisni celotno gradivo

0%