Sorazmerja

Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Sorazmerja

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Pilot potniškega letala

Pri besedilnih nalogah je posebej pomembno, da pazljivo in natančno preberemo vprašanje. Po končanem razmišljanju moramo jasno povedati, kaj smo ugotovili. Tako se izognemo mnogim napakam. Pazimo, da je naš zaključek smiseln odgovor na zastavljeno vprašanje. Prva naloga naj bo malo za šalo malo zares:

Milan je pilot potniškega letala, star je let. Povprečna starost njegovih potnikov je let, njegovih stevardes pa let. Leti na različnih razdaljah, včasih let traja le dve uri, včasih ur. Z njim sodeluje stevardes. Koliko prstov ima?

Ne moremo izračunati, koliko prstov ima.

Milan ima 22 prstov.

Če mu noben ne manjka, ima Milan 20 prstov.

Rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo. Pravilna rešitev je:
Če mu noben ne manjka, ima Milan 20 prstov.

Sončnice

(soncnica.jpg)

Štiri sončnice imajo skupaj cvetnih listkov. Koliko cvetnih listkov je v šopku s tremi sončnicami?

V šopku s tremi sončnicami je cvetnih listkov.

V šopku s tremi sončnicami je cvetnih listkov.

V šopku s tremi sončnicami je cvetnih listkov.

Rešitev je pravilna!

Štiri sončnice imajo 220 cvetnih listkov. Ena sončnica jih ima štirikrat manj:

Ena sončnica ima torej 55 cvetnih listkov. Tri sončnice jih imajo trikrat več:

Odgovor: V šopku s tremi sončnicami je 165 cvetnih listkov.

Kaj smo naredili? Iz podatka smo izračunali, koliko cvetnih listkov ima ena sončnica, in nato rezultat pomnožili s tri. Več sončnic ima več cvetnih listkov.

To pa ne bo držalo.

Kako bi se lotili take naloge?
Štiri sončnice imajo 220 cvetnih listkov. Ena sončnica jih ima štirikrat manj:

Ena sončnica ima torej 55 cvetnih listkov. Tri sončnice jih imajo trikrat več:

Odgovor: V šopku s tremi sončnicami je 165 cvetnih listkov.

Kaj smo naredili? Iz podatka smo izračunali, koliko cvetnih listkov ima ena sončnica, in nato rezultat pomnožili s tri. Več sončnic ima več cvetnih listkov.

Babica in rože

(vrtnica.jpg)

Babica ima zelo rada rože, vsak dan se ukvarja z njimi. Za nego osmih rož porabi povprečno minut. Povprečno koliko časa se babica dnevno ukvarja z rožami, če jih ima ?

Babica se dnevno z rožami ukvarja povprečno minut.

Babica se dnevno z rožami ukvarja povprečno minut.

Babica se dnevno z rožami ukvarja povprečno minut.

Rešitev je pravilna!

Najprej izračunamo, koliko časa se povprečno zadrži pri eni roži, in nato rezultat pomnožimo s . Več rož ji vzame več časa.

Odgovor: Babica se dnevno z rožami ukvarja povprečno minut.

To pa ne bo držalo.

Najprej izračunamo, koliko časa se povprečno zadrži pri eni roži, in nato rezultat pomnožimo s . Več rož ji vzame več časa.

Odgovor: Babica se dnevno z rožami ukvarja povprečno minut.

Vrtnarji

(rumenke.jpg)

Vrtnarji urejajo park. Deset vrtnarjev bi za urejanje porabilo dvanajst ur. V kolikšnem času bi park uredilo osem vrtnarjev?

Osem vrtnarjev bi park uredilo v dvajsetih urah.

Osem vrtnarjev bi park uredilo v trinajstih urah.

Osem vrtnarjev bi park uredilo v petnajstih urah.

Rešitev je pravilna!

Količine so v drugačnem razmerju; več vrtnarjev pomeni manj časa.

Reševanje je podobno: Najprej izračunamo, koliko časa bi potreboval en vrtnar, nato rezultat delimo z osem.

Odgovor: Osem vrtnarjev bi park uredilo v petnajstih urah.

To pa ne bo držalo.

Tokrat je naloga drugačna, količine so v drugačnem razmerju; več vrtnarjev pomeni manj časa.

Reševanje je podobno: Najprej izračunamo, koliko časa bi potreboval en vrtnar, nato rezultat delimo z osem.

Odgovor: Osem vrtnarjev bi park uredilo v petnajstih urah.

Povezava med količinami

Med reševanjem smo opazili, da količine niso vedno v enakem sorazmerju. Pri prvih dveh nalogah smo računali enako. Poskusi zapisati splošno povezavo med številom sončnic in številom cvetnih listkov za prvo nalogo ter povezavo med številom rož in časom za negovanje za drugo nalogo.

Prva naloga

Druga naloga

Vrnimo se še k tretji nalogi. V kakšni zvezi je število vrtnarjev s časom, potrebnim za ureditev parka?

Tretja naloga

Če število sončnic označimo s in če število cvetnih listkov označimo s , dobimo povezavo .

Če število rož označimo z , čas za negovanje pa s , dobimo povezavo .

Čim več je sončnic (rož), tem več je cvetnih listkov (potrebnega časa).

Če število vrtnarjev označimo z in čas, potreben za ureditev, s , dobimo:

Čim več je vrtnarjev, tem manj časa potrebujejo za ureditev.

Račke

(racke.jpg)

Nadaljujmo s pticami. Pozorno preberi spodnjo nalogo in jih poskusi rešiti. Zapiši tudi, kako so povezane količine iz naloge.

Štirje račji pari imajo v povprečju mladičkov. Koliko majhnih račk raca za devetimi račjimi pari?

Za devetimi račjimi pari raca majhniih račk.

Za devetimi račjimi pari raca majhniih račk.

Za devetimi račjimi pari raca majhniih račk.

Rešitev je pravilna!

Štirje pari imajo 12 mladičkov. En par ima štirikrat manj mladičkov. Torej ima en par mladičke. Devet parov ima devetkrat več mladičkov kot en par. Devet parov ima torej mladičkov.

Odgovor: Za devetimi račjimi pari raca majhniih račk.

Povezava: Če število račjih parov označimo z in število mladičkov z , dobimo povezavo . Več parov ima več mladičkov.

To pa ne bo držalo.

Štirje pari imajo 12 mladičkov. En par ima štirikrat manj mladičkov. Torej ima en par mladičke. Devet parov ima devetkrat več mladičkov kot en par. Devet parov ima torej mladičkov.

Odgovor: Za devetimi račjimi pari raca majhniih račk.

Povezava: Če število račjih parov označimo z in število mladičkov z , dobimo povezavo . Več parov ima več mladičkov.

Krmljenje

(cipili.jpg)

Preberi spodnjo nalogo in jih poskusi rešiti. Zapiši tudi, kako so povezane količine iz naloge.

Ana pozimi hrani ptice. V petih dneh porabi en kilogram sončničnih semen. Koliko sončničnih semen porabi v decembru, januarju in februarju v neprestopnem letu?

Ana v decembru, januarju in februarju porabi kg sončničnih semen.

Ana v decembru, januarju in februarju porabi kg sončničnih semen.

Ana v decembru, januarju in februarju porabi kg sončničnih semen.

Rešitev je pravilna!

V neprestopnem letu je v decembru, januarju in februarju 0 dni. Najprej izračunamo, koliko semen porabi v enem dnevu, in dobljen rezultat pomnožimo z 90:

Odgovor: Ana v decembru, januarju in februarju porabi kg sončničnih semen.

Povezava: Če število dni označimo z in porabljena semena (v kg) s , dobimo povezavo . Več dni pomeni več sončničnih semen.

Mimogrede: Pri nalogah iz sklepnega računa je vedno več poti do rešitve. V tem primeru bi lahko razmišljali tudi tako: December, januar in februar imajo skupaj dni. To je -krat po pet dni. Ana v petih dneh porabi kg semen, torej v teh treh mesecih porabi kg semen.

To pa ne bo držalo.

V neprestopnem letu je v decembru, januarju in februarju 0 dni. Najprej izračunamo, koliko semen porabi v enem dnevu, in dobljen rezultat pomnožimo z 90:

Odgovor: Ana v decembru, januarju in februarju porabi kg sončničnih semen.

Povezava: Če število dni označimo z in porabljena semena (v kg) s , dobimo povezavo . Več dni pomeni več sončničnih semen.

Mimogrede: Pri nalogah iz sklepnega računa je vedno več poti do rešitve. V tem primeru bi lahko razmišljali tudi tako: December, januar in februar imajo skupaj dni. To je -krat po pet dni. Ana v petih dneh porabi kg semen, torej v teh treh mesecih porabi kg semen.

Krmljenje

Malo se ustavimo pri krmljenju. Na spodnji sliki lahko z modro točko določiš porabo semen, s premikanjem rdeče točke pa lahko spremljaš porabo semen po dnevih. Začetna slika je narejena s podatki iz naloge. Spremeni lego točk in razišči različne možnosti.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Opazimo, da je graf porabe semen v vseh primerih del premice, ki poteka iz izhodišča koordinatnega sistema skozi izbrano točko (modro). Iz oblike grafa je sorazmerje 'več - več' dobilo ime premo sorazmerje.

Zaloga krme

(golobi.jpg)

Preberi spodnjo nalogo in jih poskusi rešiti. Zapiši tudi, kako so povezane količine iz naloge.

Janez ima gosk. Zanje je kupil zalogo krme za dni. Čez dni je kupil še dve goski. V kolikšnem času od nakupa bo porabil zalogo krme?

Janez bo zalogo krme porabil v petdesetih dneh.

Janez bo zalogo krme porabil v sedeminpetdesetih dneh.

Janez bo zalogo krme porabil v dvainpetdesetih dneh.

Rešitev je pravilna!

Janezu je po dvajsetih dnevih ostalo krme za dni za osem gosk. Toda kupil je še dve. Izračunati moramo, za koliko dni bo imel krmo za gosk. Najprej izračunamo, koliko dni bi lahko hranil eno samo gosko, in nato dobljen rezultat delimo z deset. Na koncu prištejemo še prvih dvajset dni.

Odgovor: Janez bo zalogo krme porabil v dvainpetdesetih dneh.

Povezava: Tukaj je povezava bolj zapletena. Pomembno je, da več gosk pomeni, da bo zaloga trajala manj dni.

To pa ne bo držalo.

Janezu je po dvajsetih dnevih ostalo krme za dni za osem gosk. Toda kupil je še dve. Izračunati moramo, za koliko dni bo imel krmo za gosk. Najprej izračunamo, koliko dni bi lahko hranil eno samo gosko, in nato dobljen rezultat delimo z deset. Na koncu prištejemo še prvih dvajset dni.

Odgovor: Janez bo zalogo krme porabil v dvainpetdesetih dneh.

Povezava: Tukaj je povezava bolj zapletena. Pomembno je, da več gosk pomeni, da bo zaloga trajala manj dni.

Zaloga krme

Pri zadnji nalogi smo rekli le, da je povezava precej zakomplicirana. S takim odgovorom se ne smemo zadovoljiti. Na spodnji sliki lahko raziščeš povezavo med številom gosk in časom, kolikor bo zdržala zaloga. Modra točka določa dano zalogo krme in lahko jo spreminjaš. Z rdečo točko nato lahko spreminjaš število gosk. Razišči različne možnosti.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Opazimo, da je graf tokrat del neke krivulje, ki okoli izhodišča strmo narašča oziroma strmo pada proti desni. Veliko gosk bo lahko jedlo malo dni in malo gosk bo lahko jedlo veliko dni. Vse je ravno obratno. Tako je sorazmerje 'več - manj' dobilo ime obratno sorazmerje.

Povzetek

Veliko smo se naučili, strnimo naše ugotovitve:

Pri nalogah smo opazili dve možnosti.

Prva možnost: Če prvo količino povečamo, se tudi druga količina poveča. V tem primeru smo dobili povezavo oblike prva količina () je nekajkrat druga količina (), . Takemu razmerju med količinama rečemo premo sorazmerje.

Druga možnost: Če prvo količino povečamo, se druga količina zmanjša. V tem primeru smo dobili povezavo oblike prva količina () je nekaj, ulomljeno z drugo količino (), . Takemu razmerju med količinama rečemo obratno sorazmerje.

Kure

Tri kure v treh dneh znesejo tri jajca. Koliko jajc znese šest kur v šestih dneh?

V šestih dneh šest kur znese jajc.

V šestih dneh šest kur znese jajc.

V šestih dneh šest kur znese jajc.

Rešitev je pravilna!

Šest kur v šestih dneh znese jajc.

Kako? Vemo, da tri kure v treh dneh znesejo tri jajca. Šest kur je dvakrat več kur, zato v treh dneh šest kur znese dvakrat toliko jajc kot tri kure, to je šest jajc. V šestih dneh znese šest kur dvakrat toliko jajc, kot jih znesejo v treh dneh.

Odgovor: Torej v šestih dneh šest kur znese jajc.

To pa ne bo držalo.

Šest kur v šestih dneh znese jajc.

Kako? Vemo, da tri kure v treh dneh znesejo tri jajca. Šest kur je dvakrat več kur, zato v treh dneh šest kur znese dvakrat toliko jajc kot tri kure, to je šest jajc. V šestih dneh znese šest kur dvakrat toliko jajc, kot jih znesejo v treh dneh.

Odgovor: Torej v šestih dneh šest kur znese jajc.

Jajca

2 trdo kuhani jajci se kuhata deset minut. Koliko minut se kuha deset trdo kuhanih jajc?

Deset trdo kuhanih jajc se kuha minut.

Deset trdo kuhanih jajc se kuha minut.

Deset trdo kuhanih jajc se kuha minut.

Rešitev je pravilna!

Odgovor: Deset trdo kuhanih jajc se kuha minut.

Pazi: Preden začneš računati, ugotovi, v kakšnem razmerju oziroma v kakšni odvisnosti so količine iz naloge.

To pa ne bo držalo.

Odgovor: Deset trdo kuhanih jajc se kuha minut.

Pazi: Preden začneš računati, ugotovi, v kakšnem razmerju oziroma v kakšni odvisnosti so količine iz naloge.

1. naloga

Mami porabi za peko osmih palačink 16 minut. Koliko časa porabi za peko trinajstih palačink?

Mami za peko trinajstih palačink porabi minut.

Mami za peko trinajstih palačink porabi minut.

Mami za peko trinajstih palačink porabi minut.

Rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo.

Mami za peko trinajstih palačink porabi minut.

2. naloga

Janez in Marija pospravita stanovanje v eni uri. V kolikšnem času bi bilo pospravljeno stanovanje, če bi jima pomagal še njun sin? (Vsi pospravljajo enako hitro.)

Če bi jima pomagal še sin, bi bilo stanovanje pospravljeno v petintridesetih minutah.

Če bi jima pomagal še sin, bi bilo stanovanje pospravljeno v petinštiridesetih minutah.

Če bi jima pomagal še sin, bi bilo stanovanje pospravljeno v štiridesetih minutah.

Rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo.

Če bi jima pomagal še sin, bi bilo stanovanje pospravljeno v štiridesetih minutah.

3. naloga

Mojca si lakira nohte. Za lakiranje štirih nohtov porabi dve minuti. Koliko časa bo porabila za lakiranje nohtov na rokah? Koliko časa bi porabila, če bi si polakirala tudi nohte na nogah, če si te nohte lakira dvakrat hitreje?

Mojca bo za lakiranje nohtov na rokah porabila šest minut. Če bi si polakirala tudi nohte na nogah, bi porabila osem minut in pol.

Mojca bo za lakiranje nohtov na rokah porabila osem minut. Če bi si polakirala tudi nohte na nogah, bi porabila dvanajst minut.

Mojca bo za lakiranje nohtov na rokah porabila pet minut. Če bi si polakirala tudi nohte na nogah, bi porabila sedem minut in pol.

Rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo.

Mojca bo za lakiranje nohtov na rokah porabila pet minut. Če bi si polakirala tudi nohte na nogah, bi porabila sedem minut in pol.

4. naloga

Trije kuharji olupijo krompir v pol ure. V kolikšnem času bi isto količino krompirja olupilo pet kuharjev, če vsi lupijo enako hitro?

Pet kuharjev bi isto količino krompirja olupilo v dvajsetih minutah.

Pet kuharjev bi isto količino krompirja olupilo v petnajstih minutah.

Pet kuharjev bi isto količino krompirja olupilo v osemnajstih minutah.

Rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo.

Pet kuharjev bi isto količino krompirja olupilo v osemnajstih minutah.

5. naloga

Mami in babi sta včeraj sadili rože. Za šest rož sta porabili pol ure. Potem sem jima priskočila na pomoč in z delom smo končale v pol ure. Koliko rož je bilo posajenih na koncu, če za sajenje ene rože vse porabimo enako časa?

Posajenih je bilo sedemnajst rož.

Posajenih je bilo trinajst rož.

Posajenih je bilo petnajst rož.

Rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo.

Posajenih je bilo petnajst rož.

6. naloga

Maratonec preteče polmaraton ( km) v eni uri in osemnajstih minutah. V kolikšnem času preteče maraton, če teče s konstantno hitrostjo? Koliko kilometrov preteče v eni uri in -tih minutah?

Maraton preteče v treh urah in -tih minutah. V eni uri preteče kilometrov.

Maraton preteče v eni uri in pol. V eni uri in pol preteče kilometrov.

Maraton preteče v dveh urah in -tih minutah. V eni uri in -tih minutah preteče kilometrov.

Rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo.

Maraton preteče v dveh urah in -tih minutah. V eni uri in -tih minutah preteče kilometrov.

7. naloga

Flavtistka neko skladbo zaigra v pol ure. V kolikšnem času zaigra to skladbo stočlanski orkester?

V eni uri in pol, saj dolžina skladbe ni odvisna od števila izvajalcev.

V eni uri, saj dolžina skladbe ni odvisna od števila izvajalcev.

V pol ure, saj dolžina skladbe ni odvisna od števila izvajalcev.

Rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo.

V pol ure, saj dolžina skladbe ni odvisna od števila izvajalcev.

8. naloga

Dva pleskarja barvata eno sobo dve uri. V kolikšnem času pobarva pet pleskarjev štirisobno stanovanje?

Pet pleskarjev bi štirisobno stanovanje pobarvalo v -tih minutah, to je h.

Pet pleskarjev bi štirisobno stanovanje pobarvalo v -tih minutah, to je h min.

Pet pleskarjev bi štirisobno stanovanje pobarvalo v -tih minutah, to je h min.

Rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo.

Pet pleskarjev bi štirisobno stanovanje pobarvalo v -tih minutah, to je h min.

9. naloga

Reditelja pospravita razred v petih minutah. V kolikšnem času bi bil pospravljen razred, če bi pospravljali vsi dijaki (v razredu je običajno dijakov)?

Če bi pospravljalo dijakov, bi bil razred pospravljen v sekunde.

Če bi pospravljalo dijakov, bi bil razred pospravljen v sekunde.

Če bi pospravljalo dijakov, bi bil razred pospravljen v sekunde (vsak bi pospravil za sabo).

Rešitev je pravilna!

To pa ne bo držalo.

Če bi pospravljalo dijakov, bi bil razred pospravljen v sekunde (vsak bi pospravil za sabo).

Rezultati

Zapri

Pomoč
Komentarji
Velikost črk
Zapiski
Za učitelja
Natisni

Natisni trenutno prosojnico
Natisni celotno gradivo

0%