Bogataš
Bogataš, ki mesečno zasluži € je v sklad za raziskave HIV poklonil €. Sosed, ki mesečno zasluži približno € je v isti sklad za okužene z HIV daroval €. Čeprav je bogataš daroval krat več denarja, pa je relativno gledano njegov prispevek manjši od našega soseda. Bogataš je daroval
medtem, ko je relativni prispevek soseda enak
Bogataš je daroval pol stotine, sosed pa stotino svojega mesečnega dohodka.
Prirast in nova vrednost
Cena novega modela skuterja je za % višja od starega modela, ki je stal €. Za koliko € je novi model dražji od starega in kolikšna je cena novega skuterja?
Spomnimo se, da % pomeni in dobimo povečanje cene tako, da pomnožimo €.
Ceno novega skuterja torej dobimo kot €.
Če bi nas zanimala le končna cena novega skuterja bi lahko zapisali kar €, namreč, .
Faktor povečanja
Iz stare osnove dobimo novo tako, da staro pomnožimo s faktorjem. Če se osnova poveča za % potem faktor dobimo:
Enka v zapisu pomeni osnovo s katero smo začeli, drugi del pa pomeni za koliko se je ta osnova povečala. Na primer pri povečanju za % bo faktor enak . Pri povečanju za % bo faktor enak . Pri povečanju za % bo faktor .
Določi faktorje povečanja 1
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
% ustreza faktor povečanja .
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
% ustreza faktor povečanja .
Določi faktorje povečanja 2
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
% ustreza faktor povečanja .
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
% ustreza faktor povečanja .
Podražitev za koliko in na koliko?
Ko govorimo o spremembah v odstotkih se sprašuejemo za koliko in na koliko se je določena količina spremenila. Na spodnjem apletu spreminjaj velikost osnove in njeno povečanje v odstotkih. Opazuj za koliko in na koliko se spremeni osnova. Tako razmišljanje je predvsem pomembno, ko se sprašujemo za koliko se je podražil nek izdelek in na koliko, torej kolikšna je nova cena.
Športno kolo
Cena vrhunskega šprtnega kolesa, ki je stal € se je dvignila za %. Kolikšna je nova cena?
Ker je , je nova cena €.
Cena vrhunskega šprtnega kolesa, ki je stal € se je dvignila za %. Za koliko se je povečala cena?
Ker je , se je cena dvignila za €.
Seveda sta zgornji nalogi povezani in lahko končno ceno dobimo s prištevanjem podražitve začetni ceni. Tudi podražitev lahko izračunamo tako, da od nove cene odštejemo staro. Vendar je nujno, da razumemo pomen faktorja v prvi nalogi in pomen faktorja v drugi nalogi. Sicer ne bomo znali reševati bolj zapletenih nalog.
Delnica
Vrednost delnice N&N se je v prejšnjem mesecu iz € najprej dvignila za % v zadnjem mesecu pa še za %. Kolikšna je nova vrednost delnice?
Izračunamo . Nova vrednost delnice N&N je torej €.
Za koliko procentov se je v dveh mesecih dvignila vrednost delnice N&N iz prejšnje naloge?
Spomnimo se, da to že znamo izračunati. Ker je vemo, da se je vrednost delnice dvignila za € in dobimo relativni delež . Torej je skupni prirast vrednosti delnice enak %.
Nekoliko hitreje bi to izračunali, če bi kar novo vrednost delili s staro. Dobili bi . Število, ki ga dobimo je faktor med staro in novo vrednostjo. Enka pomeni osnovo, decimalni del pa pomeni, da je prirast %.
Še hitreje bi pa iskanih 9,2 % dobili tako, da bi pomnožili faktorja 1,04 in 1,05 iz prejšnje naloge. Dobili bi 1,092 in sklepali enako kot zgoraj.
Gorivo
Gorivo se je zaporedoma podražilo najprej za %, potem za % in končno za %. Koliko procentna je skupna podražitev?
V nalogi sploh ne poznamo cene goriva. Vendar nam naučeno hitro omogoča izračunati skupno podražitev. Če je bila začetna cena enaka C, bomo po treh podražitvah dobili ceno z zaporednim množenjem s faktorji, ki ustrezajo podražitvam. Ti faktorji so , in . Torej bo končna cena enaka . Ker vrstni red množenja ni pomemben lahko izračunamo , od koder sklepamo, da je skupna podražitev približno %.
Kaj je več?
Vrednost delnice Hibiskus se je v januarju dvignila za % v februarju pa še za %. Vrednost delnice IronMade, ki je bila ob novem letu enaka vrednosti delnice Hibiskus, pa se je v januarju dvignila za %, v februarju pa za %. Katera delnica je ob koncu februarja vredna več?
Naloga se zdi težka in se izmika lahkemu premisleku. Delnica Hibiskus je v prvem mesecu narasla za %, delnica IronMade pa za enak relativni delež v drugem mesecu. Torej so bili prirasti vrednosti različni, saj so se nanašali na drugačne osnove. Namreč, delnici IronMade se je vrednost dvignila za % od že prej za % povečane osnove. Račun s faktorji pa nam nalogo zelo poenostavi. Račun za delnico Hibiskus se glasi: , za delnico IronMade pa: . Ker je in sta bili delnici enako vredni ob novem letu, zaključimo, da sta tudi ob koncu februarja obe delnici enako vredni.
Izračunaj
Letos se je na naravoslovni študij vpisalo % več študentov kot lani. Lani se je na naravoslovni študij vpisalo študentov. Koliko študentov se je na naravoslovni študij vpisalo letos?
Preveri
Letos se je na študij novinarstva vpisalo % več študentov kot lani. Lani se je na študij novinarstva vpisalo študentov. Koliko več študentov se je na študij novinarstva vpisalo letos kot lani?
Preveri
Število gostov v prenovljenem hotelu je prvo leto naraslo za %, naslednje leto pa še za %. Koliko odstotno je skupno dvoletno povečanje števila gostov v hotelu?
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
, saj je
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
, saj je
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Pocenitev in nova vrednost
Ob plasiranju novega modela skuterja na tržišču so se cene preostalih starih modelov znižale za % glede na staro ceno, ki je znašala €. Za koliko € je star model skuterja sedaj cenejši in kolikšna je sedaj cena starega modela skuterja?
Podobno kot prej vemo, da % pomeni in dobimo znižanje cene tako, da pomnožimo €.
Novo ceno starega skuterja torej dobimo kot €.
Če bi nas zanimala le končna cena starega modela skuterja bi lahko zapisali kar €, namreč, .
Faktor pomanjšanja
Iz stare osnove dobimo novo tako, da staro pomnožimo s faktorjem. Če se osnova zmanjša za % potem faktor dobimo:
Enka v zapisu pomeni osnovo s katero smo začeli, drugi del pa pomeni za koliko se je ta osnova zmanjšala. Na primer pri zmanjšanju za % bo faktor enak . Pri zmanjšanju za % bo faktor enak . Pri zmanjšanju za % bo faktor .
Določi faktorje pomanjšanja 1
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Faktor pomanjšanja dobiš tako, da izračunaš .
Odlično, rešitev je pravilna.
Določi faktorje pomanjšanja 2
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Faktor pomanjšanja dobiš tako, da izračunaš .
Pravilno, čeprav se mogoče zdi čudno.
Namreč, . Da količino zmanjšamo za %, je mogoče smiselno razumeti samo v posebnih situacijah. Na primer, nemogoče je iz košare vzeti več jabolk, kot jih je v košari. Lahko pa iz tekočega računa dvignemo % denarja, ki ga imamo na računu. To pomeni, da dvignemo vse kar imamo in 'pridelamo še minusa' za % vsote, ki smo jo imeli na računu. Zato je v tem primeru faktor pomanjšanja negativen.
Pocenitev za koliko in na koliko?
Tudi ko govorimo o spremembah v odstotkih pri pocenitvah se sprašuejemo za koliko in na koliko se je določena količina spremenila. Na spodnjem apletu spreminjaj velikost osnove in njeno zmanjšanje v odstotkih. Opazuj za koliko in na koliko se spremeni osnova.
Na borzi
Kaj se zgodi z vrednostjo delnice, kateri se vrednost v treh zaporednih mesecih zaporedoma zmanjša za %, za % in še za %?
Procentom zmanjšanja zaporedoma pripadajo faktorji , in . Zato bo nova vrednost delnice glede na staro vrednost D enaka , kar pomeni, da je v treh mesecih vrednost delnice padla za približno %.
Izračunaj 1
Letos se je na študij medicine vpisalo % manj študentov kot lani. Lani se je na študij medicine vpisalo študentov. Koliko študentov se je na študij medicine vpisalo letos?
Preveri
Letos se je na študij računalništva vpisalo % manj študentov kot lani. Lani se je na študij računalništva vpisalo študentov. Koliko manj študentov se je na študij računalništva vpisalo letos kot lani?
Pravilno!
To pa ne bo držalo.
Vpisalo se jih je manj kot lani, kar pomeni, da se je vpisalo študentov.
Pravilno!
Izračunaj 2
V slabo razviti državi je nastopila desetletna politična kriza in državljanska vojna, ki je vsako leto nacionalni dohodek zmanjšala za približno %. Za koliko procentov je v državi padel dohodek v teh desetih letih?
Preveri
Če je bil bruto nacionalni dohodek na prebivalca v državi iz zgornjega vprašanja pred krizo enak €, kolikšen je približno dohodek po desetletni krizi?
Pravilno!
Namreč faktor pomanjšanja je vsako leto . Po desetih letih dobimo zato . Torej se je dohodek zmanjšal skoraj za %.
To pa ne bo držalo.
Namreč faktor pomanjšanja je vsako leto . Po desetih letih dobimo zato . Torej se je dohodek zmanjšal skoraj za %.
Pravilno!
Večanje in manjšanje vrednosti
Na spodnjem apletu spreminjaj velikost osnove in njeno spremembo v odstotkih. Opazuj za koliko in na koliko se spremeni osnova.
Primer 1
Ob začetku sezone se hotelska nočitev podraži za %. Ob koncu sezone pa se poceni za %. Ali je cena na koncu enaka kot je bila na začetku?
Izračunajmo.
Faktor podražitve je enak , faktor pocenitve pa . Zato dobimo končno ceno . Končna cena je torej manjša od začetne in sicer za %. Končno ceno lahko zapišemo na dolgo s pomočjo začetne cene , kar pomeni, da je cena padla za stotino ali %.
Primer 2
Vrednost delnice SIX je v zadnje pol leta zelo nihala. Zaporedoma je v šestih zaporednih mesecih najprej pridobila %, nato pridobila %, naslednji mesec je padla za %, zatem pridobila %, pa spet padla kar za % in v zadnjem mesecu spet padla za %. Lastnika delnic SIX zelo zanima, kaj se je zgodilo z vredenostjo njegove investicije v pol leta.
Hitro si pomagamo s faktorji povečanja in pomanjšanja. Zaporednim spremembam pripadajo faktorji: , , , , , . Če vse te faktorje zmnožimo, dobimo , kar pomeni, da je v pol leta vrednost delnice padla za približno %.
Primer 3
Na % razprodaji stane kolo €. Kolikšna je bila cena pred razprodajo?
Stare cene ne poznamo, zato napišemo . Faktor ustreza znižanju cene za %. Izračunamo . Cena pred razprodajo je bila torej €.
Pozor: Rezultat ni enak, kot če bi znesek € povečali za %. Namreč znižanje za % se je nanašalo na prvotno, torej višjo osnovo.
Primer 4
Po % podražitvi bencina je cena za liter enaka €. Kolikšna je bila cena pred podražitvijo?
Podobno kot zgoraj zapišemo in izračunamo . Torej je bila cena pred podražitvijo enaka €.
Reši 1
Investitor je kupil za € delnic. Njihova vrednost je prvi mesec narasla za %, naslednji mesec je narasla za %, še naslednji mesec je narasla za %. Koliko so vredne delnice investitorja po treh mesecih?
Preveri
Cena nafte na svetovnih trgih je nihala takole: povečanje za %, povečanje za %, zmanjšanje za %, zmanjšanje za %, povečanje za %. Za koliko procentov se je spremenila cena nafte po petih spremembah?
Pravilno!
To pa ne bo držalo.
Saj je .
Pravilno!
Reši 2
Pravilno!
To pa ne bo držalo.
Saj je in zato izračunamo .
Pravilno!
Zanimiva naloga
V podjetju so lani porabili trikrat več denarja za plače kot za surovine. V zadnjem letu so se plače znižale za %, skupni stroški so se pa na račun podražitve surovin povečali za %. Koliko odstotna je bila podražitev surovin?
Napišimo podatke v tabelo. V prvi vrsti zapišemo lansko stanje, ko vemo, da so za plače porabili trikrat več denarja kot za surovine. V drugo vrsto pa z uporabo faktorjev napišemo spremenjene vrednosti za plače in skupne stroške letos. Neznani faktor nam bo povedal, kaj se je zgodilo s surovinami.
| Plače | Surovine | Skupaj | |
| Lani | |||
| Letos |
Enačba za 'lansko leto' je preprosta: . Iz enačbe za letošnje leto pa izračunamo
. Pokrajšamo in dobimo enakost , od koder izračunamo . Torej so se surovine podražile kar za %.
1. naloga
Kakšni faktorji pripadajo naslednjim spremembam? Ustrezno poveži.
Pravilno!
To pa ne bo držalo.
| Povečanju za %. | |
| Pomanjšanju za %. | |
| Povečanju za %. | |
| Pomanjšanju za %. | |
| Povečanju za %. | |
| Pomanjšanju za %. |
2. naloga
Pravilno!
3. naloga
Pravilno!
4. naloga
Izdelek, ki stane € se podraži na €. Za koliko procentov se je podražil?
Izdelek se je podražil za:
Pravilno!
5. naloga
Izdelek, ki stane € se poceni na €. Za koliko procentov se je pocenil?
Izdelek se je pocenil za:
Pravilno!
6. naloga
Izdelek, ki stane € se najprej podraži za €, potem pa poceni za %. Kolikšna je skupna sprememba cene v procentih?
Skupna sprememba cene je:
Pravilno!
To pa ne bo držalo.
Ker je je bila prva podražitev %. Faktor, ki pripada tej podražitvi je .
Faktor pocenitve je . Če zmnožimo dobimo . Torej je skupna sprememba % podražitev.
Nalogo lahko rešimo tudi drugače. Po podražitvi za € je cena enaka €. Po pocenitvi za % pa je cena €. Končno ceno delimo z začetno in dobimo , od koder razberemo, da se je izdelek podražil za %.
7. naloga
Po % podražitvi stane izdelek €. Kolikšna je bila cena pred podražitvijo?
Cena pred podražitvijo je bila:
Pravilno!
8. naloga
Na % razprodaji stane plašč €. Kolikšna je bila cena pred razprodajo?
Cena pred razprodajo je bila:
Pravilno!
9. naloga
Polletna nihanja vrednosti delnic J&J in Z&Z so prikazana v tabeli:
| Jan | Feb | Mar | Apr | Maj | Jun | |
| J&J | % | % | % | % | % | % |
| Z&Z | % | % | % | % | % | % |
Izračunaj spremembo vrednosti obeh delnic in njuni vrednosti v začetku julija, če je bila vrednost delnice J&J v začetku januarja enaka € vrednost delnice Z&Z pa €.
Vrednost delnice J&J se je zmanjšala povečala ostala nespremenjena za približno %, vrednost delnice Z&Z pa zmanjšala povečala ostala nespremenjena za približno %.
V začetku julija je vrednost delnice J&J enaka €, vrednost delnice Z&Z pa enaka €.
Pravilno!
To pa ne bo držalo.
Izračunamo in
Torej se je vrednost delnice J&J povečala za približno %, vrednost delnice Z&Z pa zmanjšala za približno %.
V začetku julija je vrednost delnice J&J enaka €, vrednost delnice Z&Z pa enaka €.
10. naloga
V podjetju so lani porabili pet krat več denarja za plače kot za surovine. V zadnjem letu so se plače znižale za %, skupni stroški so se pa na račun podražitve surovin povečali za %. Koliko odstotna je bila podražitev surovin?
Pravilno!
To pa ne bo držalo.
Iz tabele:
| Plače | Surovine | Skupaj | |
| Lani | |||
| Letos |
dobimo enačbo . Okrajšamo in izračunamo , kar pomeni, da so se surovine podražile za %.
Rezultati
