S pomočjo naslednjih trditev ponovi nekaj pomembnih dejstev za nadaljevanje te snovi.
Pojem realnega števila
Pojem realnega števila
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Ponovi
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
| Število, ki ima končno število decimalk, lahko zapišemo z ulomkom. | Pravilno. |
| Če ima število neskončno decimalk, ki se periodično ponavljajo, ga ne moremo zapisati z ulomkom. | Napačno. |
| Število lahko zapišemo z ulomkom. | Napačno. |
| Število ima več decimalnih približkov. | Pravilno. |
| Iracionalna števila so neskončna neperiodična decimalna števila. | Pravilno. |
Ponovi
Realna števila zapišemo z zapisom, v katerem lahko decimalni vejici sledi neskončno zaporedje števk:
Pri zgornjih dveh številih je zaporedje števk neperiodično. Poznaš tudi primere, ko se števke za vejico periodično ponavljajo:
Takšna števila lahko zapišemo z ulomki. V decimalnem zapisu se lahko od nekega mesta naprej pojavljajo same ničle:
Ta zapis je končen, zato ničel ne pišemo. Tudi ta števila lahko zapišemo z ulomki.
Razmisli
Ali držijo naslednje trditve?
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
| Ulomka in predstavljata isto racionalno število. | Pravilno. |
| Zapisa in ne predstavljata istega racionalnega števila. | Napačno. |
| Število lahko zapišemo kot . | Pravilno. |
| Vsako realno število je tudi racionalno število. | Napačno. |
| Vsako racionalno število je tudi realno število. | Pravilno. |
Razmisli
Ulomki , ali predstavljajo število . Seveda lahko najdemo še več ulomkov za to število: , ...
Tudi število 2 lahko zapišemo z različnimi ulomki: , , in podobno.
Lahko pa ga na več načinov zapišemo z decimalkami: - , - , - , - .
Prva dva zapisa imata končno število decimalk, zadnja dva pa neskončno.
Bi znal dokazati, da je zadnje število res enako ?
Rešitev
Racionalno število ima v zapisu z ulomki ali decimalnem zapisu več predstavnikov .
Podobno je pri realnih številih. Isto realno število, ki je končno ali neskončno, ima v decimalnem zapisu več predstavnikov.
Recimo, da je . Izračunajmo . Pomnožimo enakost z :
V obeh enakostih imamo za decimalno vejico popolnoma enake števke. Zato pri odštevanju ta del odpade. Od prve odštejemo neko drugo enakost: . Izrazimo: .
Primer
Število ima več predstavnikov v decimalnem zapisu. Recimo:
Takoj je jasno, da sta prvi in drugi predstavnik enaka. Kaj pa tretji? Poskusi pokazati sam.
Rešitev
Število je periodično decimalno število, zato ga lahko zapišemo z ulomkom.
Recimo, da je . Izračunajmo . Pomnožimo enakost z , da perioda stoji takoj za vejico. Nato pa še enkrat z .
V obeh enakostih imamo za decimalno vejico popolnoma enake števke. Zato pri odštevanju ta del odpade. Od prve enakosti odštejemo neko drugo: . Izrazimo: .
Število pi
Število pi je konstanta, ki je razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom. Označimo jo s . Število je iracionalno, saj ga ne moremo zapisati z ulomkom, čeprav so se skozi zgodovino uporabljali različni približki.
Ponavadi za števili uporabljamo Ludolfov približek . Zelo redko se uporablja Arhimedov približek . Kalkulator nam izpiše približek .
Še dva približka
Babilonci so kot približek za uporabljali .
Do števila so prišli iz razmerja med obsegom pravilnega 6-kotnika in obsegom očrtane krožnice temu 6-kotniku.
Pod sliko je razlaga.
Obseg pravilnega -kotnika meri , obseg očrtane krožnice pa , kjer je polmer krožnice oziroma dolžina stranice šestkotnika. Primerjajmo števili razmerja z njunim približkom. Dobimo: . Levi ulomek krajšamo z , desnega pa s : . Če izrazimo, dobimo približek .
Še dva približka
Približek za so poznali tudi že Egipčani, ki so ploščino kroga računali na povsem svoj način. Za ploščino kroga so uporabili njegov premer. Predvidevali so, da je ploščina kroga kvadrat osmih devetin premera:
Izračunaj njihov približek.
Približek je:
Odlično, rešitev je pravilna.
Pi kot obseg
Na spodnjem apletu je prikazano, kako dobimo število iz razmerja med obsegom kroga in premerom. Na apletu je krog s premerom . Ko celoten krog zakotališ po številski premici, dobiš število , saj je obseg kroga enak .
Zakotali krog s premikanjem točke na drsniku levo-desno.
Pi kot ploščina
Število pa lahko dobimo tudi iz razmerja med ploščino kroga in kvadrata, ki ima za rob polmer kroga. Spomnimo se, da ploščino kroga izračunamo s formulo .
S premikanjem točke na krožnici spreminjaj izsek kroga. Rdeča pika prikazuje razmerje ploščine izseka in zelenega kvadrata. Ko izsek zavzame celoten krog, rdeča pika prikazuje vrednost .
Še nekaj o potencah
Za zaključek realnih števil poglejmo, ali znamo izračunati poljubno potenco. Ali je osnova potence lahko poljubno realno število? Kaj pa eksponent? Izkaže se, da tako osnova kot eksponent potence ne moreta biti poljubni števili.
Primeri
S kalkulatorjem izračunaj naslednje račune in jih ustrezn poveži.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Zapomni si: za smo uporabili samo približek. Če vzameš več ali manj decimalk, se rezultat spremeni.
Ali drži?
S kalkulatorjem preveri pravilnost naslednjih trditev in ustrezno poveži.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
| Napačno. | |
| Pravilno. | |
| Napačno. | |
| ne znamo izračunati | Napačno. |
| ne znamo izračunati | Pravilno. |
| Pravilno. |
Negativna števila
Negativna števila lahko potenciramo s poljubnim celim številom in samo nekaterimi racionalnimi števili.
Pri potenciranju z racionalnimi števili si pomagamo s koreni. Zgoraj si videl, da lahko negativna števila potenciramo z ulomki, kot so: , , , ,..., saj dobimo korene z lihim korenskim eksponentom.
Ulomki: , , ,... pomenijo sode korenske eksponente, zato negativnih števil s takimi eksponenti ne znamo potencirati.
Izkaže se, da lahko negativna števila potenciramo tudi z ulomki, kot so: , , , .
Razmisli, zakaj.
Rešitev
Zgornje ulomke lahko okrajšaš. Prva dva ulomka sta enaka , zadnja dva pa .
Negativna števila
Še več težav je pri potenciranju negativnih števil z decimalnimi števili.
Eksponent lahko zapišemo z okrajšanim ulomkom , kar bi pomenilo, da lahko negativna števila potenciramo z . Vendar se izkaže, da je to odvisno od kalkulatorja. Zato se bomo takim potencam izogibali.
Eksponent zapišemo z okrajšanim ulomkom kot , kar pomeni kvadratni koren. Kvadratnega korena negativnih števil seveda ne znamo izračunati.
Primer:
Bi znal izračunati ?
Rešitev
Zaključimo:
pozitivna števila lahko potenciramo s poljubnim realnim številom.
Pri potenciranju negativnih števil obstaja nekaj omejitev:
- negativna števila lahko potenciramo s poljubnim celim številom;
- lahko jih potenciramo z nekaterimi racionalnimi števili; to so ulomki, ki pomenijo lihe korenske eksponente: , , ,...;
- z ulomki, ki pomenijo sode korenske eksponente, jih ne znamo potencirati; recimo: , , ,...; - potenciranju z decimalnimi in iracionalnimi števili se izogibamo.
Zgoraj si že videl, da ne moreš izračunati . Pri eksponentu, kot je , pa imamo še več težav. Spomni se, da za zapis iracionalnih števil z decimalnim zapisom uporabljamo približke.
Če v kalkulator vtipkaš , kalkulator tega ne zna izračunati. Tu smo uporabili kot približek za .
Test
Izračunaj račune in jih ustrezno poveži.
Odlično, rešitev je pravilna.
1. naloga
Katero število predstavljajo naslednji zapisi?
Odlično, rešitev je pravilna.
2. naloga
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
| in | Ne. |
| in | Ne. |
| in | Ne. |
| in | Ne. |
| in | Da. |
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
| Je na decimalki natančen približek števila . | |
| Je na decimalko natančen pribižek števila . | |
| Je na decimalk natančen približek števila . | |
| Je na decimalke natančen približek števila . | |
| Zapisano za ulomkom . |
3. naloga
Ustrezno poveži.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
| Nemogoče smiselno povedati, kaj naj bi to bilo. Zadevi je nemogoče dati pomen. |
Rezultati
