Vrstni red operacij
Kalkulator nam pri računanju zelo pomaga, vendar moramo biti zelo pozorni. Saj kalkulatorji računajo tako kot so sprogamirani. Največ težav pri uporabi kalkulatorja je z vrstnim redom operacij.
Izračunaj .
Preveri
Izračunaj .
Množenje in deljenje imata prednost pred seštavnjem ali odštevanjem.
Vrstni red operacij:
1. množenje in deljenje
2. seštevanje in odštevanje
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Uporaba kalkulatorja
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Najprej izračunaš , nato pa še . Dobljena vmesna rezultatata odšteješ in dobiš:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Podobno kot zgoraj posebej izračunaš: .
Nato izračunaš . Odšteješ in dobiš: . Za konec deliš s in dobiš: .
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Vmesni rezultati so: , kjer naprej izračunaš . Naslednji vmesni rezultat je: .
Na koncu izračunaš: in dobiš .
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Oba korena najprej izračunaš posebej in si rezulata zapišeš.
Odšteješ ta dva rezultata in dobiš: .
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Najprej vneseš , potem pritisneš tipko za potenco "x^y", nato vneseš in zaključiš s tipko "=".
Rezultat:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Rezultat:
Uporaba kalkulatorja
7. Izračunaj .
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Brez vmesnih rezultatov tudi tokrat ne bi šlo. Zapisani so spodaj.
Zadnja dva sešteješ in dobiš rezultat:
Poskusi sam
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Ponovi
Z zaokroževanjem števil si se že srečal v osnovni šoli, kjer ste zaokroževali na desetice, stotice,... Spomni se tega s pomočjo naslednjega primera.
Število zaokroži na:
a) desetice
b) stotice
c) tisočice
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
a) , saj je na mestu enic cifra večja od .
b) , saj na mestu desetic stoji cifra manjša od .
c) , na mestu stotic stoji cifra večja od .
Zaokroževanje števil
Pri zaokroževanju raje govorimo o zakroževanju na , , ,... mest. Ko smo zgornje števili zaokrožili na tisočice, smo ga zaokrožili na mesta. To pomeni, da smo bili natančni za prva tri mesta, naprej pa so same ničle. Podobno smo ga zakrožili na stotice in sicer smo v zapisu obdržali prva štiri mesta, ostalo pa so same ničle. Torej smo to število zaokrožili na mesta.
Takšno zaokroževanje lahko prikažemo z naslednjo sliko.
Preveri
Na spodnjem apletu je prikazano zaokroževanje na mesta. Premikaj piko po drsniku in opazuj, kako se spreminja število.
Zaokroževanje na n decimalk
Podobno zaokrožujemo na decimalk, in sicer v decimalnem zapisu obdržimo števk za decimalno vejico.
Če je prva izpuščena števka manjša od , ostanejo vse, ki jih obdržimo nespremenjene.
Če je prva izpuščena števka večja ali enaka , potem k zadnji števki, ki jo obdržimo, prištejemo .
Na spodnji sliki je število zaokroženo na različno število decimalk.
Posledice zaokroževanja
Zaradi zaokroževanja pride lahko do precejšnih napak. V naslednjih nalogah si pomagaj s svojim kalkulatorjem.
1. Izračunaj tako, da
a) v kalkulator vtipkaš vse decimalke
b) prvi faktor zaokrožiš na decimalko
c) prvi faktor zaokrožiš na decimalki
Preveri
2. Izračunaj :
a) brez zaokroževanja
b) s podatki zaokroženimi na 1 deceimalko
c) s podatki zaokroženimi na 2 decimalki.
Preveri
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
a)
b)
c)
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
a)
b)
c)
Primer
Izračunaj na tri načine.
a) Uporabi čim bolj natančne vmesne rezultate in nato končni rezultat zaokroži na 2 decimalki.
b) Vse vmesne rezultate zaokroži na 2 decimalki in zapiši rezultat.
c) Vse vmesne rezultate zaokroži na 3 decimalke in zapiši rezultat.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
a)
b)
c)
Primer
Recimo, da za ulomek v zgorjem primeru vzamemo približek na decimalk: . Vse ostale vmesne rezultate pa zakrožimo na tri decimalke:
in
Seštejemo ta dva vmesna rezultat in dobimo . To je pa že zelo dober približek za rezultat prvega računa.
Zanimiva naloga
Milijonar položi €. Letna obrestna mera je %.
Koliko obresti dobi v enem letu?
V enem letu dobi € obresti.
Koliko obresti dobi miljonar od v enem dnevu?
V enem dnevu dobi € obresti.
V enem dnevu dobi € obresti? Ali jih bo dobil v enem tednu z €? Ne. Da.
Kaj pa po enem mesecu z 31 dnevi? €
Koliko obresti dobi v enem letu?
V enem letu dobi € obresti.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Po enem letu bo imel . Torej dobi v enem letu dobi € obresti.
Faktor bomo imenovali letni obrestovalni faktor.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Milijonar ima po enem letu €. Kako pa izračunamo stanje po enem mesecu? € pomnožimo z nekim številom - mesečnim obrestovalnim faktorjem, recimo . Stanje po mesecih izračunamo tako, da zopet vse množimo z . Kar je isto, če € pomnožimo z . Za mesecev je potrebno vse skupaj množiti z :
. Torej je .
Ko računamo, koliko denarja ima milijonar po enem dnevu, upoštevamo dejstvo, da ima leto dni. Torej bi moramo € pomnožiti z . Tako izračunamo dnevni obrestovalni faktor, če poznamo letnega. Zaokrožimo rezultat 5 decimalk: .
Po enem dnevu bo imel milijonar €, torej dobi v enem dnevu € obresti.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Spomni se, da poleg obresti od milijona dobi tudi obresti od obresti. Zato je potrebno izračunati:
Pomnožimo:
Torej dobi po enem tednu € obresti. Zaradi zaokroževanja na decimalk je to še vedno €.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Izračunamo .
Po dneh ima milijonar €, torej je dobil € obresti.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Najprej izračunamo . Pomnožimo to z in dobimo €. V enem letu tako dobi € obresti.
Zanimiva naloga
Če primerjamo rešitvi prvega in zadnjega primera, opazimo, da je nekaj zelo narobe. Po enem izračunu naj bi dobil v enem letu € obresti, po drugem pa €. To je pa zelo velika razlika.
Razmisli, zakaj?
Do taka velike napake je prišlo zaradi zaokroževanja.
Najprej smo izračunali, koliko obresti mora dobiti v enem dnevu, tako da smo korenili letni obrestovalni faktor: . Tako smo dobili dnevni obrestovalni faktor in ga zaokrožili na decimalk z .
Če želimo s tem faktorjem izračunati obresti po enem letu, ga je potrebno potencirati s , saj le tako iz dnevnega dobimo letni obrestovalni faktor: . Če primerjamo ta faktor z začetnim , vidimo, da sta različna.
Če bi podatek zaokrožili na decimalk in nato potencirali, bi dobili: , kar je že bližje .
Z zaokroževanjem na decimalk bi dobili: . Tako bi bili pa že zelo natančni.
Torej zaokroževanje v tem primeru na pet decimalk ni dovolj natančno.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
a)
b)
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
c)
d)
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
e)
f)
2. naloga
Odlično, rešitev je pravilna.
3. naloga
Število zaokroži na:
a) decimalko
b) decimalki
c) decimalke
d) decimalke
e) decimalk
f) decimalk
g) decimalk
Odlično, rešitev je pravilna.
4. naloga
Na banko položimo €. Letna obrestna mera je %. Določi višino obresti:
a) po letu
b) po letih
c) po dnevu (zaokrožuj na decimalk)
d) po dnevu (zaokrožuj na decimalk)
e) po dnevih (zaokrožuj na decimalk)
f) po dnevih (zaokrožuj na decimalk)
Odlično, rešitev je pravilna.
Rezultati
