Urejenost in intervali

Urejenost in intervali

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Več o projektu...

Urejanje po velikosti

Za vsaki dve števili lahko vedno povemo, katero je manjše in katero večje. Rečemo lahko, da so števila lepo urejena, kar lahko predstavimo na številski premici. Število, ki leži desno, je vedno večje od tistega na levi. Tudi če imamo več števil, lahko vedno povemo, kako so urejena po velikosti.

Podana števila: ; ; ; ; ; ; ; uredi po velikosti od najmanšega do največjega in izberi pravilno rešitev.

Preveri

Primeri urejanja po velikosti z uporabo simbolov ali -->:

a) je manjše od s simboli zapišemo:
b) je večje od zapišemo:
c) je večje od zapišemo:
č) je manjše od zapišemo kot:

Odlično, rešitev je pravilna.

To pa ne bo držalo. Rešitev je:
; ; ; ; ; ; ;

Vstavi simbole

V okvirček vpiši ustrezen simbol: , --> ali .

Preveri

 
Primerjamo dve števili in po velikosti. Kakšne so naše možnosti? 1. Števili sta lahko enaki: . Tedaj je . 2. Število je lahko večje od : . Tedaj je . 3. Število je lahko večje od . Tedaj je .

Odlično, rešitev je pravilna.

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

-->
-->

Kratek test

1. Izberi pravilno trditev za število , če velja: .

Preveri

3. Izberi pravilno trditev za število , če velja: .

Preveri

2. Izberi pravilno trditev za število , če velja: .

Preveri

4. Izberi pravilno trditev za število , če velja: .

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Odlično, rešitev je pravilna.

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Odlično, rešitev je pravilna.

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Naprej

Intervali

Vsa števila iz številske premice na daljici od do zapišemo z množico: . To množico imenujemo zaprti interval od 1 do 4.

Posebej velja poudariti, da sta tudi števili in v intervalu in ju imenujemo krajišči intervala.

Naloga
S spodnjim apletom izberi interval:

1. od do ,
2. od do ,
3. od do .

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Rešitev

1.
2.
3.

Ali velja?

Preveri spodnje trditve in ustrezno poveži.

Število leži na intervalu .
Število ni element intervala .
Število je element intervala oziroma s simboli: .
Pravilno.
Napačno.

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Število leži na intervalu .Pravilno.
Število ni element intervala .Napačno.
Število je element intervala oziroma s simboli: .Napačno.
Napačno.

Naprej

O intervalih

 
Na spodnji sliki je prikazan zaprti interval od do : . Točki in imenujemo krajišči intervala. Velja, da zaprti interval vsebuje svoji krajišči.
(interval_zaprtiA.png)

Včasih uporabljamo tudi simbola ali . Prvega preberemo manjše ali enako, drugega pa večje ali enako.

 
Interval torej pomeni vsa števila, ki ležijo med in . Lahko rečemo tudi, da so to vsa števila , za katera velja: . Zato interval z matematičnimi simboli napišemo kot množico .
 

Zapis, kot je na primer , nima pomena, ker .

Zapomni si: interval vedno zapišemo tako, da je na levi manjše število.

O intervalih

 
Interval, ki ne vsebuje svojih krajišč, imenujemo odprti interval. Označimo ga z in je prikazan na spodnji sliki.
(interval_odprtiA.png)

Na spodnji sliki so števila iz številske premice na daljici od do . Puščici pri in ponazarjata, da krajišči nista zraven. Torej je to odprt interval .

(odprti.png)

Razmisli

Bi znal povedati, kakšna je razlika med intervaloma in .

Prvi interval je zaprti interval, torej množica števil od do . Interval je odprti interval, ki ne vsebuje krajišč in .

Razlika med njima je, da zaprti interval vsebuje krajišči in , odprti interval pa ne.

 

Interval pomeni vsa števila, ki ležijo med in , kjer števili in nista vključeni. Rečemo tudi, da so to vsa števila , za katera velja: .

Interval z matematičnimi simboli napišemo kot množico:

V razmislek

Bi znal opisati množici ali ?

Obe množici sta in do in vsebuje število , ne pa števila .

Drugi interval je množica števil med in . Ta interval levega krajišča ne vsebuje, vsebuje pa desnega.

Polodprti intervali

Zgoraj smo govorili o polodprtih intervalih, ki enega izmed krajišč ne vsebujejo. Če interval ne vsebuje enega krajišča, to na številski premici ponazorimo s puščico.

S premikanjem točk levo-desno opazuj spreminjanje intervala.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Polodprti intervali

 
Interval, ki ne vsebuje enega izmed svojih krajišč, imenujemo polodprti interval.
(interval_polodprtiA.png)

Zgornji interval ne vsebuje krajišča b.

Z množico ga zapišemo kot: .

Puščica je lahko obrnjena tudi v drugo smer, kakor je na spodnji sliki.

(interval_polodprtiB.png)

Interval ne vsebuje krajišča a.

Z množico ga zapišemo kot: .

Preveri

Preveri spodnje trditve in ustrezno poveži.

.
.
Interval je podmnožica intervala .
Interval je podmnožica intervala .
Napačno.
Pravilno.

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

.Napačno.
.Napačno.
.Pravilno.
Interval je podmnožica intervala .Pravilno.
Interval je podmnožica intervala .Napačno.
Pravilno.

Naprej

Poltrak

Zapišimo z intervalom vsa števila, ki so večja od . Iščemo števila na številski premici, ki ležijo desno od oziroma zadoščajo pogoju: . V tem primeru poznamo levo krajišče intervala, desnega pa ne. Uporabimo simbol za neskončnost: . Iskani interval zapišemo: .

Primerjajmo interval z intervalom . Razlikujeta se le v tem, da prvi interval ne vsebuje števila , drugi pa ga. Števila iz drugega intervala zadoščajo pogoju: .

Spodnja slika prikazuje množico vseh števil, ki so manjša od ter zapis z intervalom. Ter množico vseh števil, večjih od .

(interval_poltrak.png)

Unija in presek intervalov

a) Katera števila so hkrati v in ?
To so števila od do . Z intervalom jih zapišemo kot .

b) Katera števila ležijo v ali ?
To so števila od do . Z intervalom jih zapišemo kot .

Poskusi sam

Bi znal sam poiskati naslednje intervale?

Katera števila ležijo hkrati v intervalih in ?
Določi vsa števila, ki so elementi intervalov in .
Katera števila pripadajo intervaloma in ?
Določi vsa števila, ki ležijo na intervalih ali .
Poišči vsa števila, ki so elementi intervalov ali .
Katera števila pripadajo intervalu ali ?
Interval:
Rešitev je: .
Rešitev je interval .
Zapisano z intervalom .
Zapisano z intervalom .
Rešitev je interval .

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Katera števila ležijo hkrati v intervalih in ?To so vsa števila med in . Ker sta oba intervala odprta, je rešitev interval .
Določi vsa števila, ki so elementi intervalov in .To so števila med in . Števila ni zraven, ker ga prvi interval ne vsebuje. Rešitev je: .
Katera števila pripadajo intervaloma in ?Števila med in . Prvi interval ne vsebuje števila , drugi pa ne vsebuje , zato ti dve števili nista vsebovani v iskanem intervalu. Rešitev je interval .
Določi vsa števila, ki ležijo na intervalih ali .To so vsa števila med in ; zapisano z intervalom .
Poišči vsa števila, ki so elementi intervalov ali .Iskana števila ležijo na daljici od do . Števila ni zraven, ker je prvi interval odprti. Ta števila zapišemo z intervalom .
Katera števila pripadajo intervalu ali ?Števila med in . Vprašanje je, ali in sodita zraven ali ne. Število je vsebovano v prvem intervalu, število pa v drugem. Torej sta zraven in je rešitev interval .

Naprej

Povzetek

V prejšnjih primerih smo iskali presek oziroma unijo dveh intervalov. Kadar govorimo o številih, ki pripadajo obema intervaloma, govorimo o preseku. Zanima nas vse, kar imata ta dva intervala skupnega.

Če pa nas zanimajo števila, ki ležijo v enem ali drugem intervalu, govorimo o uniji intervalov.

Unijo in presek dveh intervalov najlažje določimo tako, da oba narišemo na številsko premico, in vse skupaj odčitamo. Za unijo vzamemo vse, kar določata oba skupaj. Za presek vzamemo vse, kar imata intervala skupnega oziroma kjer se prekrivata.

Pozor: posebej pazljivi moramo biti pri krajiščih, ki stao lahko vsebovani ali ne.

Unija

Naslednji aplet prikazuje unijo dveh intervalov. Lahko ga uporabiš pri reševanju dodatnih nalog.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Presek

Presek dveh intervalov je prikazan na naslednjem apletu. Spreminjaj intervala s premikanjem krajišč in opazuj, kaj se dogaja s presekom.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Še nekaj primerov

1. Unija intervalov in je enaka

Preveri

2. Presek intervalov in je enak

Preveri

3. Unija intervalov in je

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Odlično, rešitev je pravilna.

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Naprej

Še nekaj primerov

4. Presek intervalov in je

Preveri

5. Presek intervalov in je

Preveri

6. Unija intervalov in je

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Odlično, rešitev je pravilna.

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Naprej

Še nekaj primerov

7. Presek intervalov in je

Preveri

8. Unija intervalov in je

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Naprej

1. naloga

Uredi po velikosti od najmanjšega do največjega.

Števila: , , ,

Preveri

Števila: , , ,

Preveri

Števila: , , ,

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Odlično, rešitev je pravilna.

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Naprej

2. naloga

Za realno število velja: . Čim natančneje oceni s celimi števili.

a)

Preveri

b)

Preveri

c)

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Odlično, rešitev je pravilna.

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Naprej

3. naloga

Zapiši z intervalom in ga nariši na realni osi.

a)

Preveri

b)

Preveri

c)

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

(3a.png)

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

(3a.png)

Odlično, rešitev je pravilna.

(3b.png)

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

(3b.png)

Odlično, rešitev je pravilna.

(3c.png)

Naprej

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

(3c.png)

Naprej

4. naloga

Zapiši kot množico in jo nariši na realni osi.

a)

Preveri

c)

Preveri

b)

Preveri

d)

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

(4a.png)

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

(4a.png)

Odlično, rešitev je pravilna.

(4c.png)

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

(4c.png)

Odlično, rešitev je pravilna.

(4b.png)

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

(4b.png)

Odlično, rešitev je pravilna.

(4d.png)

Naprej

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

(4d.png)

Naprej

5. naloga

Nariši na realni osi: in .

a) ,

Rešitev

b) ,

Rešitev

c) ,

Rešitev


(5a.png)


(5a2.png)


(5b.png)


(5b2.png)


(5c.png)


(5c2.png)

Rezultati

0%
0%