Različna dogajanja v naravi ali celo družbi lahko pogosto opišemo s pomočjo bolj ali manj zapletenih enačb. Pri obravnavi teh pojavov nam bo koristilo, če znamo iz enačbe izraziti poljubno količino. Najbolj tipična primera sta geometrija in fizika. Poskusimo streti nekaj orehov.
Reševanje enačb II
Reševanje enačb II
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Enačbe iz geometrije in fizike
Enačbe iz geometrije in fizike
Dobiti bi moral ali kaj podobnega. Je pa lepa navada, da se člen na levi strani ne začne z minusom (množi z ), in da se tudi desna stran ne začne z negativnim številom, če je mogoče.
Možni sta dve obliki ali pa .
V fiziki
Pokukajmo še v fiziko. Sila in pospešek sta pri nekem gibanju povezana z enačbo
Iz enačbe izrazimo :
Vse člene, ki vsebujejo neznanko, prenesi na eno stran, ostale seveda na drugo
Neznano količino izpostavi sedaj pa moraš samo še deliti.
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Razcepne enačbe
Če se v urejeni enačbi pojavlja tudi kakšna potenca neznanke, enačba ni linearna. Zato se postopek za njeno reševanje razlikuje od do sedaj znanega. Vseeno bomo nekatere od teh enačb znali rešiti.
Poglejmo si na primer enačbo .
Enačbo uredi tako, da bodo vsi členi na eni strani in sicer urejeni padajoče po stopnjah neznanke.
Levo stran enačbe razstavi.
Ker je produkt dveh števil (v tem primeru izrazov) enak le, če je eden od faktorjev enak , lahko namesto ene zapišeš dve enostavnejši enačbi.
Reši sedaj vsako od teh dveh enačb.
in
in
Kadar ima enačba več kot eno rešitev, jih ponavadi oštevilčimo (indeksiramo), pri tem pa ni pomembno, katera rešitev je prva in katera druga.
Razcepne enačbe
Vseh izrazov seveda ne znamo razstaviti, zato bomo morali na splošen postopek počakati kakšno leto ali pa pobrskati kje drugje.
Reši 2
Reši spodnje enačbe in ustrezno poveži.
Super, rešitev je pravilna.
Racionalne enačbe
Včasih se bo zgodilo, da bomo naleteli na enačbe, ki imajo neznanko v imenovalcu. Imenujemo jih racionalne. Postopek za njihovo reševanje je enak kot pri drugih enačbah, le malo več pazljivosti je potrebno.
Tudi tu si bomo ogledali reševanje na nekaj primerih.
Primer
Rešimo enačbo
Verjetno bi najraje kar pomnožili enačbo s skupnim imenovalcem, da se znebimo zoprnih ulomkov, vendar moramo biti že na začetku bolj pazljivi. Vprašajmo se najprej, ali imajo izrazi, ki v enačbi nastopajo, smisel pri vseh vrednostih neznanke .
Sedaj pa le pogumno razširi enačbo in jo reši.
Na koncu vedno preveri, če rešitev (ali rešitve, kadar jih je več) ustrezajo začetnemu pogoju.
Ulomki nimajo smisla, če je njihov imenovalec enak , torej v naši enačbi ne sme biti enak ali . To ponavadi označimo sproti, ko nakažemo množenje
S tem smo rešili še en problem - nihče nas ne more obtožiti, da poskušamo enačbo množiti z 0, kar bi se sicer lahko zgodilo.
saj nisi pozabil pomnožiti desne strani, kajne.
Ker rešitev ni enaka nobeni od "prepovedanih" vrednosti, je seveda prava rešitev naše enačbe.
Primer
Pri .
Skupni imenovalec je ali .
Ta rešitev ni dobra, ker smo na začetku ugotovili, da pri enačba nima smisla.
Začetna enačba torej nima rešitve.
Enačbe z absolutnimi vrednostmi
V enačbah lahko nastopajo tudi absolutne vrednosti. Zato se najprej vprašajmo, ali še znamo povedati definicijo le-te.
Absolutna vrednost pusti vsa pozitivna števila pri miru, negativna pa spremeni v nasprotna.
Oglej si najprej postopek reševanja za spodnji aktivni sliki. S premikanjem črne točke na drsniku lahko določaš, na katerem intervalu bo ležala neznanka.
Enačbe z absolutnimi vrednostmi
Kako se torej lotimo takih enačb?
- Najprej proučimo izraze v absolutnih oklepajih in ugotovimo, pri katerih vrednostih bodo spremenili predznak.
- Celotno številsko os razdelimo s temi vrednostmi na posamezne odseke.
- Na vsakem odseku zapišemo, kako absolutna vrednost ravna s posameznimi izrazi in vsako od dobljenih enačb rešimo.
- Preverimo, ali posamezna rešitev leži na intervalu, ki smo ga postavili kot začetni pogoj.
Reši 3
Izraz je pozitiven za in negativen za .
Enačba ima rešitev , ki leži na poltraku iz pogoja in je torej tudi rešitev prvotne enačbe.
Na tem poltraku se enačba glasi in ima rešitev . Tudi ta rešitev ustreza začetnemu pogoju in je tudi ustrezna rešitev.
Reši 4
Meji sta in . Torej dobiš na številski premici poltrak , interval in še poltrak .
- interval
enačba ima rešitev , ki pa ne leži na izbranem intervalu in torej ni prava rešitev.
- interval
enačba ima rešitev , ki tudi ne leži na pravem intervalu.
- interval
enačba ima rešitev , ki je edina ustrezna.
1. naloga
Izrazi iz enačb količino, ki je zapisana za vsako enačbo.
Super, rešitev je pravilna.
2. naloga
Razcepi in reši enačbe.
Super, rešitev je pravilna.
3. naloga
Reši enačbe.
Super, rešitev je pravilna.
4. naloga
Reši enačbe.
Super, rešitev je pravilna.
Rezultati
