Do najbolj enostavne linearne enačbe pridemo, če hočemo poiskati ničle linearne funkcije . Rešujemo torej enačbo . Vprašajmo se še enkrat, če lahko rešitev vedno najdemo.

Poskusi odgovoriti, koliko ničel ima lahko linearna funkcija (obstajajo tri različne situacije).

Pomagaš si lahko s spodnjo aktivno sliko. Sedaj je na njej najbolj pogosta možnost, ko ima enačba eno rešitev. S spreminjanjem vrednosti in poskusi dobiti še ostali dve možnosti.

Če je , je premica vzporedna osi in funkcija nima ničle. Če pa je tudi , je funkcija identično enaka , torej ima ničlo pri vsakem .

Te ugotovitve nam bodo prišle prav, ko bomo reševali enačbe, v katerih bodo poleg neznanke nastopali tudi parametri (števila, ki so sicer konstante, vendar bomo njegovo vrednost zvedeli kasneje).

Poskusimo ugnati enačbo .

Najprej jo uredi kot linearno enačbo za neznanko . Torej odpravi oklepaje in prenesi člene z neznanko na levo, ostale pa na desno.

Izpostavi in nato razstavi oklepaj na levi in izraz na desni.

Sedaj pa si na aktivni sliki oglej, kaj se dogaja z rešitvijo pri različnih vrednostih parametra (premikaj drsnik)

Enak je tudi splošni postopek za reševanje takih enačb.

• Enačbo uredimo,
• ugotovimo, kdaj je koeficient poleg neznanke različen od . V tem primeru lahko z njim delimo in dobimo eno samo rešitev.

• Ostane nam eden ali več posebnih primerov, pri katerih je koeficient poleg neznanke enak . Te primere rešujemo vsakega posebej tako, da vstavimo vrednosti, ki jih konstanta zavzame, v enačbo in pogledamo, kakšno enačbo dobimo. Na levi strani bomo gotovo dobili neznanko pomnoženo z . Možna pa sta dva scenarija glede na desno stran:

  • če je tudi desna stran enaka (enačba oblike ), reši enačbo vsako realno število,
  • če je desna stran različna od , (npr. ) enačba nima rešitve.

Dano imaš enačbo .

Najprej jo uredi. Neznanka je .
Rešitev, ki jo dobiš je:

Preveri

Tudi pri tem primeru ti lahko pomaga aktivna slika. S premikanjem točke na drsniku določaš različne vrednosti parametra k in opazuješ, kako se spreminja rešitev.

Isto enačbo lahko rešuješ tudi bolj klasično. Če si pozabil, goorimo o enačbi .

Pri katerih ima enačba natanko eno rešitev?

Preveri

Kakšna je v tem primeru rešitev?

Preveri

Vstavi v enačbo še preostali in jo uredi. Dobiš .

Kaj lahko v tem primeru poveš o rešitvi?
Rešitev pri ne obstaja.

Sedaj analiziraj enačbo

Vrstni red reševanja že poznaš, najprej enačbo uredi in zapiši pri katerih vrednostih ima natanko eno rešitev.

Urejena enačba se glasi in ima eno samo rešitev, če .

V tem primeru je rešitev enačbe:

Vstavi v enačbo še , uredi jo in ugotovi, kaj je v tem primeru z rešitvami.

Urejena enačba se glasi in ima za rešitev vsa realna števila.

Vse dobre reči so tri, torej se spopadi še z enačbo

Lahko poskusiš sam, sicer pa je tu Mat-eško, ki ti bo dal kakšen nasvet, če ga boš počasi spuščal ob številskem drevesu.

Enačba ima natanko eno rešitev , če , , .

V posebnih primerih pa

• če jo rešijo vsa realna števila,
• če ali pa nima rešitve.

Vseeno je tu še en primer, tokrat z dvema parametroma.

Obravnavaj enačbo .

Kakšen odnos mora veljati med in , da bo rešitev ena sama?

Preveri

Rešitev, če je ta pogoj izpolnjen, se glasi:

Preveri

V posebnem primeru, ko velja , moramo biti še bolj previdni kot sicer. Vemo sicer, da bomo na eni strani dobili , desna stran pa ni tako natančno določena.

Ker je pomembno tudi, ali dobimo na desni strani ali karkoli drugega, moramo ločiti možnosti in

Če je , dobimo enačbo , ki nima rešitve, če pa sta obe konstanti enaki , nastopa tudi na desni strani zgornje enačbe, torej jo rešijo vsa realna števila.

Obravnavaj naslednje enačbe in ustrezno poveži.

Preveri