Sistem enačb je množica enačb, povezanih v celoto.
Sistemi enačb
Sistemi enačb
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Sistem enačb
Uvodna naloga
Srečajo se trije važiči in se hvalijo, kdo ima več zgoščenk.
Važič 1: Če vržem dve zgoščenki vstran, imam še vedno dve več kot ti, Važič 3.
Važič 2: Če vržem zgoščenke vstran, jih imam še vedno toliko kot vidva oba skupaj.
Važič 3: Imam toliko zgoščenk, da če jih vidva vidita, oba oslepita.
Ugotovi, koliko zgoščenk ima kateri važič. Pomagaj si s spodnjo konstrukcijo, tako da njihove zgoščenke (ki so na sliki) razporediš v oblačke nad važiči. Ko boš zgoščenke razporedil pravilno, boš zagledal napis.
Ne gre? Nič hudega. Predelaj tukaj obravnavano snov o sistemih enačb in se potem vrni k nalogi.
Kaj pomeni Reši sistem enačb?
Reši sistem enačb pomeni, da poišči neznanke , ... ki nastopajo v enačbah sistema.
Reševanje sistema dveh enačb z dvema neznankama
Najprej skupaj rešimo naslednji sistem dveh enačb z dvema neznankama, nato pa poskušajmo razmisliti in utemeljiti, zakaj tako ravnamo.
- Izberemo eno enačbo, npr. drugo, in iz nje izrazimo neznanko .
- V preostalo enačbo namesto neznanke vstavimo, kar smo izrazili.
- Rešimo enačbo.
Rešitev enačbe:
- Izračunamo še .
Rešitev sistema: in .
Na koncu je priporočljivo narediti še preizkus. Dobljeni neznanki in vstavimo v obe enačbi.
Druga enačba:
Izrazimo :
Preostala enačba:
Namesto neznanke vstavimo . Potreben je oklepaj.
Pogledamo, kje smo izrazili : .
Zdaj vstavimo namesto neznanke število .
Reševanje sistema dveh enačb z dvema neznankama
Sistem dveh enačb z dvema neznankama rešujemo tako, da iz poljubno izbrane enačbe izrazimo eno neznanko. Nato izraženo vstavimo namesto te neznanke v preostalo enačbo.
Zakaj? Tako se znebimo izražene neznanke. Dobimo eno enačbo z eno neznanko, ki je ni težko rešiti. Nato le še izračunamo manjkajočo neznanko.
Reši 1
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
- Recimo, da izberemo prvo enačbo in izrazimo :
Zakaj pa ni pametno izbrati npr. druge enačbe in izraziti neznanke ?
Takrat bi dobili:
Torej bi dobili ulomke. Zato preden začnemo reševati, raje premislimo, kje začeti, da si poenostavimo računanje.
V preostalo, torej drugo enačbo, namesto neznanke vstavimo :
Rešimo dobljeno enačbo:
Pogledamo, kje imamo izraženo neznanko , in jo izračunamo:
- Rešitev sistema: ,
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Recimo, da izberemo prvo enačbo in izrazimo :
Tukaj se nismo mogli izogniti ulomkom.
V drugo enačbo namesto neznanke vstavimo:
Rešimo enačbo:
Celotno enačbo pomnožimo s , da se znebimo ulomkov.
Pogledamo, kje imamo izražen , in ga izračunamo:
- Rešitev sistema: ,
Reši 2
Reši naslednje sisteme enačb in ustrezno poveži.
Odlično, rešitev je pravilna.
Koliko rešitev ima lahko sistem?
Pri reševanju sistemov smo do zdaj dobili vedno eno rešitev (npr. in ; rečemo tudi, da smo dobili en par rešitev in ). Ali je rešitev (parov) lahko več? Ali je nujno, da rešitev sploh obstaja? Oglejmo si.
Primer 1:
Rešimo sistem enačb: in .
V drugi enačbi imamo izražen . Vstavimo ga v prvo enačbo:
Kar pa ni res. Torej neglede na to, kakšna sta in , dobimo enakost, ki ne velja ( in izgineta, sploh ne vplivata na enačbo, vedno dobimo ).
Ta sistem nima rešitve.
Koliko rešitev ima lahko sistem?
Primer 2:
Rešimo sistem enačb in .
V drugi enačbi je izražen y. Vstavimo ga v prvo enačbo.
To pa vedno drži. Torej neglede na to, kakšna sta in , dobimo enakost, ki velja ( in izgineta, sploh ne vplivata na enačbo, vedno dobimo ).
Ta sistem ima zato neskončno rešitev.
Reši 3
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Iz prve enačbe izrazimo npr. ,
vstavimo v preostalo enačbo,
enačbo preoblikujemo,
enačbo pomnožimo z
in dobimo
Dobljena enakost seveda ne velja, ne glede na to, kakšna sta in ( in izgineta, sploh ne vplivata na enačbo, vedno dobimo ).
Odgovor: Torej sistem nima rešitve.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
V prvi enačbi imamo že izražen , zato ga kar vstavimo v drugo enačbo
enačbo preoblikujemo
in dobimo
Dobljena enakost vedno velja, ne glede na to, kakšna sta in ( in izgineta, sploh ne vplivata na enačbo, vedno dobimo ).
Odgovor: Torej ima sistem neskončno rešitev.
Reši 3
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Iz prve enačbe izrazimo
in ga vstavimo v drugo enačbo,
enakost preoblikujemo,
jo pomnožimo s
in dobimo
Dobljena enakost ne velja, ne glede na to, kakšna sta in .
Odgovor: Torej sistem nima rešitve.
Reševanje sistema treh enačb s tremi neznankami
- Če imamo sistem treh enačb s tremi neznankami (glej animacijo zgoraj), se najprej znebimo ene enačbe in ene neznanke. Tako dobimo sistem dveh enačb z dvema neznankama. Nato se spet znebimo ene enačbe in ene neznanke. Tako nam ostane le še ena enačba z eno neznanko, ki pa je ni težko rešiti.
- Če bi imeli npr. sistem enačb s neznankami, bi se najprej znebili ene enačbe in ene neznanke. Dobili bi sistem enačb in neznank. Nato bi se spet znebili ene enačbe in ene neznanke. Dobili bi sistem enačb z neznankami. Po naslednjem koraku bi dobili sistem enačb s neznankami. Tako bi nadaljevali, dokler ne bi dobili le ene same enačbe, ki pa je ni težko rešiti. Tako velike sisteme rešujemo z računalniki.
Kako in zakaj sisteme rešujemo na tak način?
Premisliti moramo dve stvari:
- Kako zmanjšati število enačb in neznank za .
- Kako končati.
1. Kako zmanjšamo število enačb in neznank za ?
- Iz poljubno izbrane enačbe sistema si izrazimo eno neznanko.
- Namesto te neznanke v vse preostale enačbe vstavimo, kar smo izrazili.
Koliko enačb ostane? Ostane ena enačba manj kot na začetku, saj smo eno enačbo porabili, ko smo izrazili izbrano neznanko.
Koliko neznank ostane? Ker smo v vseh drugih enačbah namesto izbrane neznanke vstavili nekaj drugega, ta neznanka več ne nastopa v nobeni izmed teh enačb. Torej smo se znebili ene neznanke.
2. Kako končati?
Z zgoraj predstavljenim postopkom znamo število enačb zmanjšati na eno samo enačbo z eno neznanko. Ali znamo rešiti enačbo z eno neznanko? Da. Iz zadnje enačbe dobimo torej eno izmed neznank. Potem z njeno pomočjo izračunamo še druge.
Primer 1
Rešimo sistem enačb , in .
Izberemo eno enačbo, npr. prvo, in izrazimo neznanko .
V obe preostali enačbi namesto neznanke vstavimo in enačbi poenostavimo.
Dobimo in
Rešimo sistem dveh enačb in z dvema neznankama.
Dobimo in .
Pogledamo, kje imamo izražen , in ga izračunamo.
Dobimo: .
Rešitev danega sistema je , , .
Prva enačba:
Izrazimo :
Zakaj ni pametno izbrati recimo druge enačbe in izraziti neznanke ? Če bi izrazili , bi dobili ulomke, ker bi morali deliti s (številko, ki je pred njo).
V drugo enačbo vstavimo namesto neznanke :
V tretjo enačbo vstavimo namesto neznanke :
Rešujemo sistem enačb in .
Recimo, da iz druge enačbe izrazimo : .
Namesto neznanke v prvo enačbo vstavimo :
Pogledamo, kje imamo izražen , in ga izračunamo.
Izračunamo :
Reši 4
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Recimo, da izberemo prvo enačbo in izrazimo neznanko :
V drugo enačbo vstavimo namesto neznanke in enačbo poenostavimo:
Obe strani enačbe pomnožimo s , da se znebimo ulomkov.
- Zdaj bi bilo treba v tretjo enačbo namesto vstaviti . Ker pa tretja enačbe ne vsebuje neznanke , tega ne moremo storiti; torej tretje enačbe ne spreminjamo.
- Dobili smo sistem dveh enačb z dvema neznankama: in . Rešimo ga.
Recimo, da izberemo prvo enačbo in izrazimo .
V drugo enačbo namesto neznanke vstavimo .
Obe strani enačbe pomnožimo s .
Pogledamo, kje imamo izražen , in ga izračunamo.
Pogledamo, kje imamo izražen , in ga izračunamo.
- Rešitev sistema je torej , , .
Reši 5
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
, ,
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
, ,
Reši 5
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
, ,
Primer 2
Ogledali si smo, kako rešujemo sisteme treh enačb s tremi neznankami. Podobno rešujemo tudi sisteme s še več neznankami in enačbami.
Rešimo sistem štirih enačb s štirimi neznankami:
, , in
Rešujemo sistem štirih enačb s štirimi neznankami.
- Iz četrte enačbe izrazimo ,
- vstavimo v prvo enačbo.
Enačbo uredimo.
- vstavimo v drugo enačbo.
Enačbo uredimo.
- V tretji enačbi ne nastopa neznanka , zato tretje enačbe ne spreminjamo.
Primer 2
- Dobili smo sistem treh enačb s tremi neznankami.
, ,
- Iz prve enačbe izrazimo .
- vstavimo v drugo enačbo.
Enačbo poenostavimo.
- v tretji enačbi ne nastopa, zato je ne spreminjamo.
- Dobili smo sistem dveh enačb z dvema neznankama:
,
- Iz prve enačbe izrazimo ,
Primer 2
- vstavimo v drugo enačbo.
Enačbo poenostavimo.
- Dobimo .
Izračunamo .
Izračunamo .
Izračunamo .
Rešitev sistema: , , , .
Uporaba sistemov
Naloga 1
V omari imam zvezkov in knjig. Zvezkov je manj kot knjig. Koliko zvezkov in koliko knjig imam v omari?
V omari imam
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
- Najprej izberemo neznanke. Kaj ni znano? Število knjig in število zvezkov.
Število knjig:
Število zvezkov:
- Ker smo izbrali dve neznanki, potrebujemo enačbi.
Vemo, da je obojih skupaj :
Zvezkov je manj kot knjig. Kako dobim število zvezkov?
Koliko je zvezkov, če je knjig recimo ?
Koliko je zvezkov, če je knjig ?
Torej .
- Dobili smo enačbi: in . Zdaj rešimo sistem.
V drugi enačbi imamo že izražen , ki ga vstavimo v prvo enačbo.
Pogledamo, kje imamo izražen , in ga izračunamo.
Odgovor: V omari imam knjig in zvezkov.
Naloga 2
Anita ima dva pajka. Mesečno jima nabere črvov. Večji pajek poje črvov več kot majši. Koliko črvov poje mesečno manjši in koliko večji pajek?
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
- Najprej izberemo neznanke. Kaj ni znano? Število črvov, ki jih mesečno poje manjši pajek, in število črvov, ki jih mesečno poje večji pajek.
Število črvov, ki jih mesečno poje manjši pajek:
Število črvov, ki jih mesečno poje večji pajek:
- Ker smo izbrali dve neznanki, potrebujemo enačbi.
Vemo, da oba skupaj mesečno pojesta črvov:
Vemo še, da večji pajek poje črvov več kot manjši:
- Dobili smo enačbi: in . Zdaj rešimo sistem.
V drugi enačbi imamo že izražen , ki ga vstavimo v prvo enačbo.
Pogledamo, kje imamo izražen , in ga izračunamo.
Odgovor: Manjši pajek poje mesečno črvov, večji pa .
Naloga 3
Babica in dedek si razdelita češenj na dva neenaka dela. Ko babica pogleda vstran, ji dedek vzame češnji in ju da na svoj kup. Tako ima dedek šestnajst češenj več od babice. Koliko češenj je imel vsak izmed njiju, preden je dedek ogoljufal babico?
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
. . . število dedkovih češenj
. . . število babičinih češenj
- Oba skupaj imata češenj:
- Ko dedek vzame babici češnji, jih ima dedek več od babice.
Dedek ima takrat: češenj.
Babica ima takrat: češnji.
dedek = babica +
- Dobili smo torej sistem: , .
Rešitev sistema je , .
Odgovor: Dedek je imel češenj, babica pa .
Naloga 4
Družina Obal (oče, mama, otrok) in družina Maze (oče, mama, otroci) gresta v živalski vrt. Prva družina plača za vse svoje vstopnice €, druga pa €. Koliko stane vstopnica za otroke in koliko vstopnica za odrasle?
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
. . . cena vstopnice za odraslega
. . . cena vstopnice za otroka
Družina Obal:
Družina Maze:
Rešimo sistem in dobimo in .
Odgovor: Vstopnica za otroke stane €, za odrasle pa €.
Naloga 5
Na neki sestanek so prišli Avstrijci, Hrvati in Slovenci. Vseh skupaj je bilo . Hrvatov je bilo za dva več od Avstrijcev, Slovencev pa je bilo dvakrat več kot Avstrijcev. Koliko je bilo na sestanku Avstrijcev, koliko Hrvatov in koliko Slovencev?
Na sestanku je bilo
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
- Najprej izberemo neznanke. Česa ne poznamo? Števila Avstrijcev, Hrvatov in Slovencev.
Število Avstrijcev:
Število Hrvatov:
Število Slovencev:
- Ker smo izbrali neznanke, moramo najti enačbe.
Vseh skupaj je : .
Hrvatov je bilo za dva več od Avstrijcev.
Koliko je bilo Hrvatov, če je bilo recimo Avstrijcev ?
Koliko je bilo Hrvatov, če je bilo Avstrijcev ?
Torej
Slovencev pa je bilo dvakrat več kot Avstrijcev.
Koliko je bilo Slovencev, če je bilo Avstrijcev recimo ?
Koliko je bilo Slovencev, če je bilo Avstrijcev ?
Torej , kar lepše zapišemo kot .
- Dobili smo sistem treh enačb s tremi neznankami: , in . Rešimo ga.
V drugi enačbi imamo že izražen , ki ga vstavimo v preostali enačbi; torej le v prvo enačbo, saj v drugi ni neznanke .
Dobimo sistem dveh enačb z dvema neznankama: in .
V drugi enačbi imamo že izražen , ki ga vstavimo v prvo enačbo.
Odgovor: Na sestanku je bilo Avstrijcev, Hrvatov in Slovencev.
Naloga 6
Za sladoled smo dali €. Plačali smo z osemnajstimi kovanci. Nekaj kovancev je bilo po stotinov, nekaj po in nekaj po stotinov. Kovancev za stotinov je bila polovica števila kovancev za stotinov. Koliko kovancev po , in stotinov smo porabili?
Za sladoled smo porabili
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
- Izberimo neznanke.
Število kovancev po stotinov:
Število kovancev po stotinov:
Število kovancev po stotinov:
- Zapišimo enačbe.
Vseh kovancev skupaj je :
Plačali smo € = stotinov:
Kovancev za stotinov je polovica števila kovancev za stotinov:
- Rešimo sistem treh enačb s tremi neznankami: , ,
Rešitev: , ,
Odgovor: Za sladoled smo porabili kovance po stotinov, kovancev po stotinov in kovancev po stotinov.
Naloga 7
Ugotovi, koliko so stari Žiga, Petra in Eva, če veš:
- Eva je let starejša od Žiga.
- Čez eno leto bo Petra stara štirikrat toliko kot Žiga
- Čez let bo Petra stara starosti Eve.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
- Pomagajmo si s tabelo.
Vpišimo vsa imena, ki nastopajo: Žiga, Petra, Eva.
Vpišimo vse čase, ki so omenjeni: zdaj, čez leto, čez let.
- Zanima nas, koliko so zdaj stari Žiga, Petra in Eva, zato izberemo naslednje neznanke:
Žigova starost:
Petrina starost:
Evina starost:
Čez eno leto bodo vsi stari za več; torej , , .
Čez let bodo vsi stari za več: , , .
| Zdaj | Čez leto | Čez let | |
| Žiga | |||
| Petra | |||
| Eva |
- Zdaj upoštevamo še trditve:
- Eva je let starejša od Žiga. Kdaj? Zdaj. Gledamo 1. stolpec.
Eva = Žiga
- Čez eno leto bo Petra stara štirikrat toliko kot Žiga. Gledamo stolpec čez eno leto.
Petra Žiga
- Čez let bo Petra stara starosti Eve. Gledamo stolpec čez let.
Petra Eva
- Dobili smo sistem treh enačb s tremi neznankami:
, ,
Rešitev: , , .
Odgovor: Žiga je star leta, Petra in Eva let.
Naloga 8
Andreja, njena mama in babica so skupaj stare let. Pred dvema letoma je bila mama –krat starejša od Andreje. Čez let bo babica dvakrat starejša od mame. Koliko je stara vsaka izmed njih?
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Pomagamo si lahko s tabelo.
| Zdaj | Pred letoma | Čez let | |
| Andreja | |||
| Mama | |||
| Babica |
Zdaj so skupaj stare let:
Andreja + mama + babica = (vstavimo iz prvega stolpca)
Pred dvema letoma je bila mama dvanajstkrat starejša od Andreje:
mama Andreja (vstavimo iz drugega stolpca)
Čez pet let bo babica dvakrat starejša od mame:
babica mama (vstavimo iz tretjega stolpca)
Rešimo sistem treh enačb s tremi neznankami in dobimo , in .
Odgovor: Andreja je stara leta, njena mama let, babica pa let.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
,
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
,
Preveri svoje znanje
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
, ,
Odlično, rešitev je pravilna.
Rešitev uvodne naloge
- Določimo neznanke:
Število zgoščenk, ki jih ima Važič 1:
Število zgoščenk, ki jih ima Važič 2:
Število zgoščenk, ki jih ima Važič 3:
Upoštevamo trditve:
Važič 1: Če vržem dve zgoščenki vstran, imam še vedno dve več kot ti, Važič 3.Važič 2: Če vržem zgoščenke vstran, jih imam še vedno toliko kot vidva oba skupaj.
Kje dobimo tretjo enačbo? Na sliki preštejemo, koliko zgoščenk imajo vsi trije skupaj.
Tretja enačba je bila torej zvito skrita na sliki. Ni izrecno pisalo, da imajo skupaj zgoščenk. Pisalo je le, da moramo njihove zgoščenke (ki so na sliki), torej zgoščenk, razporediti ...
- Rešimo sistem treh enačb s tremi neznankami: , in in dobimo , in .
Odgovor: Važič 1 ima zgoščenk, Važič 2 ima zgoščenk in Važič 3 ima zgoščenk.
1. naloga
Reši naslednje sisteme.
Odlično, rešitev je pravilna.
2. naloga
Reši naslednje sisteme.
Odlično, rešitev je pravilna.
3. naloga
Če k dvakratniku prvega števila prištejemo , dobimo za manj od drugega števila. Drugo število je za večje od prvega števila. Določi števili.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
. . . prvo število
. . . drugo število
Sistem: ,
Odgovor: Prvo število je enako , drugo pa .
4. naloga
Koliko sta stari Nina in Mojca, če je Mojca let starejša od Nine, čez leta pa bo Nina stara ravno polovico Mojčinih let?
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Pomagamo si lahko s tabelo.
| Zdaj | Čez leta | |
| Nina | ||
| Mojca |
Sistem: ,
Odgovor: Nina je stara let, Mojca pa .
5. naloga
V trgovini prodajajo oranžado v treh vrstah steklenic: v pollitrskih ( €), v litrskih ( €) in v dvolitrskih ( €). Kupili smo jih vsake vrste nekaj; skupno steklenic. Za vse steklenice skupaj smo plačali €. Litrskih smo kupili več kot pollitrskih. Koliko pollitrskih, litrskih in dvolitrskih steklenic smo kupili?
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
. . .število pollitrskih steklenic
. . .število litrskih steklenic
. . .število dvolitrskih steklenic
Sistem: , ,
Odgovor: Pollitrskih steklenic smo kupili , litrskih in dvolitrskih .
6. naloga
Razlika dvakratnika drugega števila in prvega števila je za večja od tretjega števila. Drugo število je za večje od trikratnika tretjega števila. Šestkratnik za zmanjšanega tretjega števila je enak prvemu številu. Določi prvo, drugo in tretje število.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
. . . prvo število
. . . drugo število
. . . tretje število
Sistem: , ,
Odgovor: Prvo število je enako , drugo in tretje .
7. naloga
V osnovni šoli je to leto moderno zbirati sličice nogometašev. Trije fantje se
pogovarjajo:
Patrik: Če dam sličic Reneju, jih ima on štirikrat več od mene.
Denis: Če dam vsakemu od vaju sličic, imam še vedno dve sličici več od Patrika.
Rene: Če dobim od Denisa sličic, imam enako število sličic kot Patrik.
Koliko sličic ima kateri fant?
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
. . .število Patrikovih sličic
. . .število Denisovih sličic
. . .število Renejevih sličic
Sistem: , ,
Odgovor: Patrik ima sličic, Denis , Rene pa ima sličic.
Rezultati
- Sistem enačb
- Uvodna naloga
- Kaj pomeni Reši sistem enačb?
- Reševanje sistema dveh enačb z dvema neznankama
- Reši 1
- Reši 2
- Koliko rešitev ima lahko sistem?
- Reši 3
- Reševanje sistema treh enačb s tremi neznankami
- Kako in zakaj sisteme rešujemo na tak način?
- Primer 1
- Reši 4
- Reši 5
- Primer 2
- Uporaba sistemov
- Naloga 1
- Naloga 2
- Naloga 3
- Naloga 4
- Naloga 5
- Naloga 6
- Naloga 7
- Naloga 8
- Preveri svoje znanje
- Rešitev uvodne naloge
- 1. naloga
- 2. naloga
- 3. naloga
- 4. naloga
- 5. naloga
- 6. naloga
- 7. naloga
- Rezultati
