1. primer
Pastirja modrujeta. Prvi pravi: »Prodaj mi ovac, pa bom imel dvakrat večjo čredo kot ti.« Drugi mu odgovori: »Če kupim tri tvoje ovce, bova imela enako veliki čredi.« Kolikšni sta čredi?
Označimo število ovc v čredi prvega pastirja s , število ovc v čredi drugega pastirja pa s .
Zapišimo z enačbo stavek, ki ga izreče prvi pastir: . (Pri drugi čredi smo morali odvzet tistih ovc, ki bi jih želel imet pastir prve črede.)
In kako bi zapisali enačbo za izjavo drugega pastirja?
1. primer
Iz druge enačbe sedaj izrazimo število ovc v prvi čredi:
in to upoštevamo v prvi enačbi:
Tako smo dobili navadno linearno enačbo enačbo. Njena rešitev pa je .
Število .
Odgovor: Prva čreda šteje ovc, druga pa .
Preverimo prvilnost rezultata:
Če bi premaknili ovc iz druge v prvo čredo, bi bilo v prvi čredi v drugi pa ovc. Vidimo, da je prva čreda dvakrat večja od druge.
Če pa bi premaknili ovce iz prve v drugo čredo, bi imeli v prvi in v drugi ovc. Čredi bi bili enako veliki.
2. primer
Cena, ki jo mehanik Bine zaračuna za servisni pregled avtomobila, je sestavljena iz fiksnega dela € za osnovni pregled, in dodatnega dela za ostala potrebna popravila. Dodatno delo Bine računa po € na uro. Samo km stran pa ima delavnico Cene, ki ima ceno fiksnega dela €, za vsako dodatno uro popravil pa računa po €.
a) Koliko bi plačali pri enem in koliko pri drugem mehaniku, če bi bile za dodatna popravila potrebne tri ure dela?
Če bi bilo potrebno opraviti tri dodatne ure, bi pri Binetu plačali €, pri Cenetu pa €.
Preveri
b) Koliko pa, če bi bile potrebne štiri ure?
Za servisnni pregled in štiri dodatne ure dela bi pri Binetu plačali €, pri Cenetu pa €.
Preveri
c) Koliko, če bi za dodatna popravila potreboval dodatnih ur dela?
Če bi mehanika opravila poleg osnovnega preglada še pet dodatnih ur, bi Bine zaračunal €, Cene pa €.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Če bi bilo potrebno opraviti tri dodatne ure, bi pri Binetu plačali € € €, pri Cenetu pa € € €.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Za servisnni pregled in štiri dodatne ure dela bi pri Binetu plačali € € €, pri Cenetu pa € € €.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Če bi mehanika opravila poleg osnovnega preglada še pet dodatnih ur bi Bine zaračunala € € €, Cene pa € € €. Cena bi bila pri obeh mehanikih enaka.
2. primer
Dopolni tabeli in iz njiju preberi, pri katerem mehaniku je cena nižja.
| čas dodatnih popravil (v urah) | plačilo servisnega pregleda in ostalih del pri Binetu (v evrih) | čas dodatnih popravil (v urah) | plačilo servisnega pregleda in ostalih del pri Cenetu (v evrih) |
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
| čas dodatnih popravil (v urah) | plačilo servisnega pregleda in ostalih del pri Binetu (v evrih) | čas dodatnih popravil (v urah) | plačilo servisnega pregleda in ostalih del pri Cenetu (v evrih) |
| 40 | 30 | ||
| 50 | 42 | ||
| 60 | 54 | ||
| 70 | 66 | ||
| 80 | 78 | ||
| 90 | 90 | ||
| 100 | 102 | ||
| 110 | 114 | ||
| 120 | 126 |
2. primer
Ali je cena vedno nižja pri istem mehaniku, neglede na število ur dodatnega dela? Da. Ne. Ne vemo.
Preveri
Ali se lahko zgodi, da bosta imela oba mehanika enako ceno za enako mnogo ur dodatnih popravil?
Da.
Ne.
Ne vemo.
Preveri
Če je bil tvoj odgovor na drugo vprašanje da, dopolni spodnji povedi z ustreznimi številskimi vrednostmi. (Pomagaj si s tabelo.)
Oba mehanika bosta imela enako ceno, če bosta opravila ur dodatnih popravilin. Tedaj bo cena pri obeh mehanikih znašala €.
| čas dodatnih popravil (v urah) | plačilo servisnega pregleda in ostalih del pri Binetu (v evrih) | čas dodatnih popravil (v urah) | plačilo servisnega pregleda in ostalih del pri Cenetu (v evrih) |
| 40 | 30 | ||
| 50 | 42 | ||
| 60 | 54 | ||
| 70 | 66 | ||
| 80 | 78 | ||
| 90 | 90 | ||
| 100 | 102 | ||
| 110 | 114 | ||
| 120 | 126 |
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Cena ni vedno nižja.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Da, lahko se zgodi.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Račun:
€ € € €
Nastavimo enačbo .
Vstavimo znana predpisa in rešimo enačbo ... .
Sedaj vemo, da bosta ceni enaki po petih urah dela , ne vemo pa še koliko bo znašal račun.
Izračunajmo še to:
Oba mehanika bosta imela enako ceno če bo potrebnih dodatnih ur dela. Tedaj bo cena pri obeh mehanikih znašalla €.
2. primer
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Cenetu, ker ima višjo ceno a dodatne ure dela.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Manj kot pet.
Nastaviti moramo neenačbo in poiskat interval rešitev.
Cenetova cena je nižja od Binetove. To bi z matematičnimi znako napisali:
Sedaj vstavimo predpisa, in dobimo .
Neenačbo rešimo po klasični poti in v nekaj korakih pridemo do rešitve .
Torej je cenetova cena nižja od Binetove le, če je potrebnih manj kot ur dodatnih popravil.
3. primer
Jože in Mitja imata popolnoma enaka bazena. Jože ima v bazenu že m vode, Mitja pa le m. Vendar Mitja polni svoj bazen hitreje od Jožeta. V Mitjev bazen se vsakih minut natočijo m, v Jožetov pa le m.
Dopolni predpis, ki bi določil, kako se količine vode v bazenu spreminjanja v odvisnosti od časa polnjenja. Upoštevaj, začetno stanje.
Kako se s časom spreminja količina vode v Jožetovem bazenu, opisuje enačba
+( / ).
Spreminjanje količine vode v Mitjevem bazenu pa
+( / ).
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
V Jožetov bazen se v . minutah natočijo m. Torej priteče vsako minuto mmmin. Oziroma v minutah . Celotna količina vode v Jožetovom bazenu je torej sestavljena iz začetnega deleža m in deleža , ki je odvisen od časa. Povzemimo: .
Po podobnem sklepu lahko spreminjanj količine vode v Mitjevem bazenu opišemo z enačbo .
3. primer
Nariši grafa, ki prikazujeta spreminjanje količine vode v bazenu.
Na spodnjem apletu sta grafa, ki prikazujeta, kako se s časom spreminja količina vode v bazenu pri Jožetu in kako pri Mitji že narisana.
3. primer
Koliko vode držita bazena, če vemo, da sta oba bazena polna v istem trenutku? Koliko časa sta se bazena polnila? (Ne pozabi, da imata oba bazena enako prostonin.)
Bazena držita m vode, polnila pa sta se minut.
Preveri
Kje na grafu bomo odčitali, kdaj bosta oba bazena polna in koliko vode gre v bazen?
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Bazena držita m vode, polnila pa sta se minut. (Samo za predstavo, če je globina vode m. potem je dno veliko m. Dolžina bi lahko bila m, širina pa m.)
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Na grafu odčitamo koordinati presečišča . Abscisa nam pove čas polnjenja v minutah, ordinata pa količino vode v m.
4. primer
Slika je v javni lasti na spletnem naslovu: http://www.microsoft.com/windowsmobile/devices/reviews/ppc6700.mspx
Peter ima mobi račun pri Minibilu, in za minuto pogovora potroši €. Miha pa pri Maksibilu in minuto pogovora plača po €. Peter ima na računu €, Miha pa €. Ko govorita po telefunu enako dolgo, pa začudena ugotovita da imata na računu enak znesek. Koliko minut sta govorila in kakšno je stanje na računu sedaj?
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Mihovo stanje na računu bo enako Petrovemu po tem, ko bosta oba fanta govorila minut.
Tedaj bosta imela na računu €.
Rešitev 4. primera
Nalogo lahko rešimo na iste tri načine, ki smo jih uporabili pri reševanju prvega primera. Lahko bi si pomagali s tabelo.
Nalogo lahko rešimo grafično. Na zgorni sliki sta narisana grafa, ki prikazujeta spreminjanje stanja na Petrovem in Mihovem mobi računu.
Grafa se sečeta v točki . To pomeni, da bosta imala po desetih minutah pogovora oba fanta na računu še €.
Ali pa nalogo rešimo računsko.
Stanje na Mihovem računu v odvisnosti od začetnega stanja in časa pogovora;
Stanje na Petrovem računu v odvisnosti od začetnega stanja in časa pogovora;
Kdaj bo ?
Mihovo stanje na računu bo enako Petrovemu po tem, ko bosta oba fanta govorila minut.
Tedaj bosta imela na računu €.
5. primer
Anja ima deset let več kot Miša. Pred sedmimi leti pa je bila Anja trikrat starejša od Miše. Koliko sta stari Anja in Miša?
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Označimo Anjina leta z in Mišina z .
Vemo da je Anja let starejša od Miše
Pred sedmimi leti (ko je imala Anja in Miša ) pa je veljalo:
V drugo enačbo ustavimo in dobimo. . Rešitev te enačbe pa . Ko imamao ta podatek, pa lahko izračunamo še .
Anja ima torej , Miša pa let.
Preverimo pravilnost:
Pred sedmimi leti je bila Anja stara , Miša pa . Torej je bila Anja res trikrat starejše.
1. naloga
Dva fanta bi sama prekopala vrt v šestih urah, če bi delala skupaj z očetom, pa bi bilo delo opravljeno v ure. Ker je mlajši sin zbolel, sta vrt prekopal oče in starejši sin sama. Delo sta končala v treh urah in tri četrt. Izračunaj, koliko časa bi za vrt porabil vsak sam?
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Podatki:
....ur
....ure
....
Poglejmo kolikšen del celotnega dela opravijo v enei uri. Oznaka pomeni delež celotnega dela, ki ga v eni uro opravi mlajši sin, delž, ki ga v eni uri opravita starejši sin in oče pa bomo označili z in :
1. enačba:
2. enačba:
3. enačba:
Od 2. enačbe odštejemo prvo in vidimo, da opravi oče v eni uri celotnega dela, kar pomeni, da bo oče sam prekopal vrt v šestih urah.
Delež, ki ga opravi starejši sin dobimo, če od vsote prve in tretje enačbe odštejmo drugo.
Starejši sin bi sam opravil celotno delo v desetih urah.
Za to, da izvemo kolišen del opravi v eni uri mlajši sin, pa zadošča, da ustavimo izračunane vrednosti v prvo enačbo:
Če bi delal mlajši sin sam, bi za delo porabil 15 ur.
Potrebno je narediti še preizkus.
2. naloga
Oče ima pet krat toliko let kot sin. Čez let pa bo imel samo dva krat toliko let kot sin. Koliko je star oče in koliko sin?
Odlično, rešitev je pravilna.
3. naloga
Stranici pravokotnika sta v razmerju . Če prvo zmanjšamo za cm, drugo pa povečamo za cm, se ploščina zmanjša za cm. Kolikšni sta stranici pravokotnika?
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Iz prve enačbe izrazimo dolžino prve stranice in to ustavimo v drugo enačbo.
Ko ustavimo v prvo enačbo , dobimo .
Odgovor: Pravokotnik ima stranici dolgi 6 in 10 centimetrov.
Preizkus:
in
in ,
4. naloga
Dve števili sta v razmerju . Če njuno vsoto zmanjšano za delimo z njuno razliko, dobimo količnik in ostanek . Določi števili.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Izraze in števila iz besedila naloge lahko povežemo z osnovnim izrekom o deljenju:
Ustavimo v zapisano enačbo in dobimo:
Odgovor: Iskani števili sta 20 in 12.
Preizkus:
in (ostane )
5. naloga
Za tri kilograme hrušk in dva kilograma banan bi plačali €. Za pet kilogramov hrušk in tri kilograme banan, pa bi pri istem trgovcu plačali €. Koliko stane kilogram hrušk in koliko kilogram banan?
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Označimo ceno za kilogram hrušk s črko , ceno za kilogram banan pa s črko . Zapišimo oba računa:
Pomnožimo prvo enačbo z in drugo z .
Seštejmo enačbi:
Hruške torej prodajajo po € za kilogram. Ustavimo ceno hrušk v prvo enačbo in
dobimo:
Cena enega kilograma banan je €.
Potrebno je narediti še preizkus.
Rezultati
