Obravnavanje neenačb

Obravnavanje neenačb

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Več o projektu...

Na kraju zločina

(detektiv color.gif)

Detektiv je ob ogledu kraja zločina ugotovil, da je v sefu ostalo še €. Oškodovani lastnik trdi, da je imel v sefu pred tatvino več kot €. Koliko denarja je odnesel tat?

Če želimo rešiti to nalogo, moramo besedilo najprej pretvoriti v matematični zapis. Označimo s količino denarja v sefu pred tatvino. Vemo, da je več kot €. Matematični zapis te trditve je

Temu zapisu pravimo neenakost. Znesek, ki ga je ukradel tat označimo z . Vemo, da je vsota zneska, ki je ostal v sefu in tistega, ki ga je odnesel tat enaka , kar zapišemo z enačbo

Če upoštevamo še zgornjo neenakost dobimo .

Neenakosti, v kateri nastopa neznanka, pravimo neenačba. Neenačbo lahko včasih rešimo z razmislekom, večkrat pa se je potrebno bolj potruditi in do rešitve priti z računom. V nadaljevanju si bomo ogledali kako rešujemo neenačbe, katera pravila lahko pri tem uporabimo in kaj so rešitve neenačb.

Odgovor: Tat je odnesel več kot €.

Reševanje neenačb

 

O neenačbah govorimo takrat, ko dva izraza, v katerih nastopa neznanka, povežemo z enim izmed neenačajev:

  • (manj),
  • --> (več),
  • (manj ali enako),
  • (več ali enako).

Primeri neenačb:

  • preberemo: je več kot
  • preberemo: je manj kot
  • preberemo: je več ali enako
  • preberemo: je manj ali enako

Rešitev neenačb je po navadi več. To so vse tiste vrednosti, ki dajo, če jih v neenačbo zapišemo namesto , pravilno izjavo.

Za katero od naštetih neenačb bi najhitreje našel kakšen , ki ji ustreza?
Verjetno si se odločil za zadnjo neenačbo. V resnici že sama natanko opiše svoje rešitve. Rešitve so vsa števila, manjša ali enaka , torej Rešitev lahko zapišemo z intervalom:

Reševanje neenačb

Kako pa bi do rešitev prišel pri drugih neenačbah?
Neenačbe preoblikujemo tako, da spremenljivka v njih nastopi le enkrat in je sama zapisana na eni strani neenačaja. Neenačbe smemo preoblikovati tako, da se množica rešitev ne spremeni. Pravila za računanje z neenakostmi bomo spoznali v nadaljevanju.

Poskusi rešiti še preostale neenačbe.
Rešitve so prikazane najprej z enostavnejšo neenačbo, nato pa še z intervalom.

Prva neenačba: ,

Druga neenačba: ,

Tretja neenačba: ,

Kako se spremeni rešitev neenačbe, če v neenačbi namesto neenačaja zapišemo , ali pa namesto zapišemo -->? Razmisli ob primeru in .
Rešitev neenačbe pa so vsa števila manjša od štiri vključno s številom . Rešitev ponazorimo s polzaprtim intervalom .

Rešitve enačbe so vsa realna števila, ki so strogo manjša od štiri, število pa tej neenačbi ne ustreza. Rešitev ponazorimo z odprtim intervalom .

Torej oglata oklepaja in povesta, da je meja intervala tudi rešitev, okrogla oklepaja in pa, da meja intervala ni rešitev neenačbe.

Postopki pri reševanju neenačb

Spodaj si lahko ogledaš prikaz enega od načinov pri reševanju neenačb. Na levi strani sta narisana dva stolpca. Prvi ima višino , drugi pa višino . Na desni strani pa sta stolpca z višinama in povečana za isto višino . S premikanjem rdečih točk spreminjaj višini stolpcev na levi in opazuj, kako se spreminjata višini stolpcev na desni.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Postopki pri reševanju neenačb

Katera trditev je pravilna?

Namig

Preveri

Primerjaj v kakšnem odnosu sta višini stolpcev na desni in v kakšnem višini stolpcev na levi. Kako se spremenita višini stolpcev na desni, če spremenimo višini stolpcev na levi?

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Če je stolpec z višino višji od stolpca z višino , je tudi stolpec z višino višji od stolpca z višino .

Naprej

Postopki pri reševanju neenačb

Višine stolpcev so realna števila. Zveza, ki smo jo ugotovili z opazovanjem višin, je ena od pomembnih lastnosti, ki jo uporabljamo pri reševanju neenačb. Strnimo ugotovitve v pravilo.

 

Če na obeh straneh neenakosti prištejemo isto število, se neenačaj ohrani.

Uporabimo zgornjo ugotovitev in rešimo naslednjo neenačbo:

Na obeh straneh prištejmo :

Če primerjamo začetno in končno neenačbo ugotovimo, da smo člen z leve strani prenesli na desno stran in mu pri tem spremenili predznak. Neenačbo rešijo vsi z intervala .

 
Člene lahko prenašamo z ene strani neenakosti na drugo, pri tem jim moramo spremeniti predznak. Neenačaj ostane obrnjen v isto smer.

Zgled 1

Rešimo neenačbo:

Rešitve ležijo na intervalu:

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo.

Neenačbo uredimo. Člene z neznanko prenesemo na eno stran neenakosti, ostale člene pa na drugo stran:

še poračunamo .

Rešitve ležijo na intervalu .

Naprej

Zgled 2

Vzemimo tokrat neenačbo:

Razmislimo, kakšnemu pogoju mora ustrezati neznanka , če mora biti njen trikratnik večji od ?

Rešitev je:

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo.

Trikratnik števila mora biti večji od . Število je tretjina svojega trikratnika, zato mora biti večje od tretjine števila , torej večje od .

Sedaj pa si oglejmo še računski postopek. Obe strani neenačbe delimo s :

in okrajšamo .

Potrdili smo rešitev, dobljeno z razmislekom. Zapišimo še z intervalom: .

Naprej

Zgled 3

Rešimo še neenačbo .

Rešitev je:

Preveri

 
Neenačaj se ohrani, če neenačbo na obeh straneh delimo ali množimo z istim pozitivnim številom.

Odlično, rešitev je pravilna.

To pa ne bo držalo.

Neenačbo najprej uredimo

in ko na obeh straneh pomnožimo z

dobimo rešitev

Kaj se zgodi, če množimo z negativnim številom?

Primerjajmo najprej dve števili:

Pomnožimo obe strani neenakosti z :

Neenačaj se je obrnil.

Če obe strani neenačbe množimo ali delimo z istim negativnim številom, se neenačaj obrne.

Zgled 4

Rešimo še neenačbo:

Neenačbi ustrezajo vsi z intervala:

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo.

Najprej na obeh straneh neenačbe odštejemo število :

Sedaj le še obe strani neenačbe množimo z . Ker množimo z negativnim številom, moramo obrniti neenačaj.

Neenačbi ustrezajo vsi z intervala .

Naprej

Povzemimo

 
Če obe strani neenačbe pomnožimo ali delimo z istim negativnim številom, se neenačaj obrne.

Strnimo ugotovitve o reševanju neenačb:

 

Pri reševanju neenačbe se trudimo le to preoblikovati do preprostejše neenačbe, ki ima enake rešitve.

Neenačbo najprej preuredimo tako, da člene, ki vsebujejo spremenljivko, prenesemo na eno stran neenačaja, ostale člena pa na drugo stran. Členom, ki jih prenesemo na drugo stran, moramo spremeniti predznak.

Pri preoblikovanju upoštevamo, da se rešitve neenačbe ne spremenijo, če:

1. neenačbi na obeh straneh prištejemo ali odštejemo isto število,
2. neenačbo na obeh straneh pomnožimo ali delimo z istim pozitivnim številom,
3. neenačbo na obeh straneh pomnožimo ali delimo z istim negativnim številom in obrnemo neenačaj.

Rešitve neenačb ponavadi opišemo z intervali.

Zgled 5

Rešimo neenačbo:

Rešitev je:

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo.

Najprej na obeh straneh odpravimo oklepaje. Poračunamo.

Člene s spremenljivko prenesemo na eno, ostale pa na drugo stran neenačbe. Poračunamo.

Obe strani delimo z . Neenačaj se obrne.

Zapišimo rešitev še z intervalom:

Naprej

Zgled 6

Rešimo neenačbo:

Rešitev je:

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo.

Na obeh straneh odpravimo oklepaje in neenačbo uredimo.

Dobili smo neresnično izjavo, ki je neodvisna od vrednosti spremenljivke . Ta neenačba nima rešitve.

Naprej

Zgled 7

Rešimo neenačbo:

Rešitev je:

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo.

Najprej odpravimo oklepaje.

Neenačbo uredimo.

Dobili smo resnično izjavo, ki je neodvisna od vrednosti spremenljivke . Vsako realno število je rešitev te neenačbe.

Naprej

Reši neenačbe

Reši spodnje neenačbe. Za vsako neenačbo poišči med intervali tistega, ki ustreza rešitvi in ga prenesi k neenačbi.

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Naprej

Še nekaj neenačb

Reši spodnje neenačbe. Za vsako neenačbo poišči med intervali tistega, ki ustreza rešitvi in ga prenesi k neenačbi.

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Naprej

Uporaba neenačb

Nekatere probleme, podobne tistemu v uvodu gradiva, rešujemo tako, da zapišemo ustrezno neenačbo in jo rešimo. Poskušaj tako rešiti naslednje naloge.

Koliko lahko zasluži Anja?

Anja se je odločila, da bo pomagala raznašati časopis. Za vsak dan dela bo Anja prejela plačilo v višini €. Delala bo tri mesece v letu, časopis pa bo raznašala najmanj in največ dni v mesecu. Največ koliko in najmanj koliko bo Anja zaslužila v tem letu?

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo.

Označimo Anjin zaslužek z . Ocenimo zaslužek najprej navzdol. V tem primeru dela Anja vsak mesec dni.

In sedaj še ocena navzgor. V tem primeru dela Anja vse mesece po dni.

Odgovor: Anja bo v tem letu zaslužila najmanj € in ne več kot €.

Naprej

Zabava

Tine in Matej prirejata zabavo. Za pogostitev sta namenila €. Največ koliko gostov lahko povabita, če znaša pogostitev ene osebe €. Ne pozabi, da bosta tudi sama deležna pogostitve.

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo.

Naj bo število gostov. Stroški pogostitve znašajo za vse prisotne osebe

in ne smejo presegati €. Zapišimo to ugotovitev z neenačbo.

Neenačbo najprej delimo z

torej

Odgovor: Povabita lahko največ goste.

Naprej

Oceni starost

Aleš je vozniški izpit opravil pred leti. Takrat ni mogel biti mlajši od let. Pred sedmimi leti je pridobil stanovanjski kredit za mlade. Takrat ni smel biti starejši od let. Oceni Aleševo trenutno starost.

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo.

Aleševo trenutno starost označimo z . Pred leti je bil star let, kar ni manj od , kar zapišemo:

Pred leti je bil Aleš star , kar ni bilo več kot :

Iz prve neenakosti dobimo

iz druge pa

Odgovor: Aleš je danes star najmanj in največ let.

Naprej

Koliko obročev?

Iz žice izdelujemo obroče s premerom najmanj cm. Na razpolago imamo m žice. Največ koliko obročev lahko izdelamo? Upoštevaj, da pridobimo zaradi varjenega spoja cm obsega ne glede na premer obroča.

(obroc.png)

Iz m žice lahko izdelamo

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo.

Polmer obroča označimo z , torej je premer . Veljati mora

Za en obroč potrebujemo centimetrov žice ( cm pridobimo z varjenim spojem). Zaradi omejitve premera potrebujemo za izdelavo enega obroča najmanj centimetrov žice.

Število obročev, ki jih lahko izdelamo, naj bo . Upoštevajmo, da imamo na razpolago m žice, kar pretvorimo v centimetre.

Vrednost izraza v oklepaju je pozitivna, zato lahko izrazimo .

Če izračunamo vrednost izraza na desni. dobimo zgornjo mejo za :
Upoštevamo, da mora biti naravno število, torej

Odgovor: Iz m žice lahko izdelamo največ obročev s premerom vsaj cm.

Naprej

Hitrost približevanja

Nika se je odpravila s kolesom v sosednje mesto. Kmalu po njenem odhodu se je za njo z avtom odpravila še Petra. Oceni, s kolikšno hitrostjo se Petra približuje Niki, če se Nika giblje s hitrostjo med km/h in km/h, Petra pa z hitrostjo med km/h in km/h?

Petra se Niki približuje s hitrostjo

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo.

Naj bo Nikina, pa Petrina hitrost. Podatke o hitrostih zapišemo z neenakostma:

Oceniti moramo razliko .

Petra se Niki približuje z najmanjšo možno hitrostjo v primeru, ko se Nika premika z največjo, Petra pa z najmanjšo hitrostjo. V tem primeru znaša razlika med hitrostma . Največjo hitrost približevanja pa dobimo v primeru, ko je Nikina hitrost najmanjša, Petrina pa največja. Razlika v hitrostih znaša tedaj .

Odgovor: Petra se Niki približuje s hitrostjo med km/h in km/h.

Naprej

Parametri in obravnavanje neenačb

Včasih nastopajo v problemih količine, ki zavzamejo neko vrednost, ki pa je ne poznamo, ali pa lahko ta količina (na primer zaslužek) zavzame več različnih vrednosti. Takšen primer srečamo v spodnji nalogi, kjer je število dni bivanja v tujini, ki si jih Metka lahko privošči, odvisno od višine njenega prihranka.

Izlet v tujino

Metka si želi počitnice preživeti v tujini. Že nekaj časa pregleduje počitniške kataloge in razmišlja, koliko časa bo, glede na svoje prihranke, lahko prebila v tujini. Povratna vozovnica do kraja, ki si ga je Metka izbrala, znaša €, dan bivanja v tem kraju pa €.

Najmanj koliko mora prihraniti za dnevne počitnice v tem kraju?

Metka mora za dni bivanja v tujini privarčevati najmanj

Preveri

Recimo, da je Metka privarčevala €. Koliko dni bivanja v tujini si lahko privošči?

V tujini lahko s prihrankom € ostane največ

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

To pa ne bo držalo.

Plačati mora za pot in za vsak dan bivanja. Za dni s potjo bo morala odšteti evrov.

Če označimo Metkin prihranek z je .

Odgovor: Metka mora za dni bivanja v tujini privarčevati najmanj €.

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo.

Z označimo število dni v tujini. Cena za pot in bivanje znaša in mora biti manjša ali enak prihranku:

Iz neenačbe izrazimo :

Odgovor: V tujini lahko s prihrankom € ostane največ dni.

Naprej

Izlet v tujino

Metka je ugotovila, da pri preračunavanju cen ves čas ponavlja enak postopek. Cena počitnic je odvisna od števila dni in ne sme presegati njenih prihrankov. Poskušaj izračunati, koliko dni lahko Metka prebije v tujini, če znaša njen prihranek evrov.

V tujini lahko ostane

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo.

Najprej zapišimo ustrezno neenačbo. Število dni v tujini označimo z . Na levo stran neenačbe zapišimo ceno počitnic, ki smo jo uporabili že prej, na desno pa Metkin prihranek.

Od tod izrazimo neznanko :

Koliko dni bivanja v tujini si lahko Metka privošči, je odvisno od višine privarčevanega zneska. Ker tega podatka ne poznamo, nastopa v neenačbi kot parameter . Metka lahko v dobljeno neenačbo vstavlja različne zneske prihranka in bo hitro ugotovila, koliko dni počitnic si lahko privošči.

Naprej

Obravnava neenačbe

Včasih je od parametra odvisna tudi oblika rešitve. Oglejmo si naslednjo neenačbo, v kateri nastopa parameter .

Najprej neenačbo preuredimo tako, da bo na levi nastopal le člen, v katerem nastopa spremenljivka .

Če želimo izraziti vrednost spremenljivke , bi morali neenačbo deliti z . Vrednost parametra ne poznamo, zato moramo na tem mestu neenačbo obravnavati.

1. Če je , imamo v resnici neenačbo , ki ji ustreza vsako število . V tem primeru ima neenačba neskončno rešitev. Reši jo vsak iz množice realnih števil.

2. Če je , je in zato . Pri deljenju neenačbe z se neenačaj obrne.

3. Če je , je in zato . Pri deljenju neenačbe z se neenačaj ohrani.

Obravnava neenačbe

Strnimo rešitev:

  • če je , so rešitve vsi z intervala ,
  • če je , so rešitve vsa realna števila,
  • če je , so rešitve vsi z intervala .

Primer 1

Imamo neenačbo .

Preuredimo jo in dobimo

  • Če je , je za vsak res . Rešitve so vsa realna števila.
  • Če je , delimo neenačbo z negativnim številom in dobimo .
  • Če je , delimo neenačbo s pozitivnim številom in dobimo .

Rešitev te neenačbe predstavimo še grafično. S premikanjem zelenega križca pri spodnji konstrukciji lahko spreminjaš vrednost parametra . Opazuj, kako je rešitev neenačbe odvisna od parametra . Rešitev je ponazorjena z modrim poltrakom, ki je v eno stran neskončen. Izberi različne vrednosti parametra (tudi ) in primerjaj narisani poltrak z zgornjimi ugotovitvami.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Primer 2

Imamo neenačbo

Z ureditvijo neenačbe dobimo .

  • če je , dobimo in tej neenačbi ustreza vsako realno število ,

  • če je , je in je rešitev oblike

  • če je , je in je rešitev oblike

Določimo vrednost parametra , da bodo rešitve števila manjša od .

Za bodo rešitve neenačbe števila manjša od . Ta vrednost parametra ustreza tudi pogoju , pri katerem so rešitve manjše od .

Primer 3

Imamo neenačbo

Enačbo najprej uredimo. Odpravimo oklepaje. Vse člene, v katerih nastopa spremenljivka, prenesemo na levo stran, ostale pa na desno. Dobimo neenačbo:

Na levi izpostavimo , izraz na desni pa razstavimo:

Obravnava:

  • Če je , dobimo na obeh straneh neenačbe vrednost . V tem primeru je rešitev vsako realno število .
  • Če je , je . Neenačbo delimo z negativnim izrazom in dobimo rezultat .
  • Če je , je . Neenačbo delimo z pozitivnim izrazom in dobimo rezultat .

Preveri svoje znanje

Rešitvi neenačbe ustreza interval

Preveri

Koliko sme stati kino vstopnica, če si želi pet prijateljev ogledati predstavo, vsi skupaj pa imajo €? Katera od naštetih neenačb ustreza tej nalogi?

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Naprej

Preveri svoje znanje

Označi rešitev neenačbe .

Preveri

Taksist nam za vožnjo po mestu zaračuna € startnine in € za vsak prevoženi kilometer. Cena mestnega avtobusa je €. Koliko kilometrov se moramo peljati, da bo vožnja z avtobusom cenejša od vožnje s taksijem?

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Več kot km.

Naprej

Preveri svoje znanje

Katera od naštetih trditev ne ustreza rešitvi neenačbe, v kateri nastopata parameter in spremenljivka :

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Če je , neenačba nima rešitve.

Naprej

1. naloga

Reši neenačbe in ustrezno poveži.

Vsa realna števila.
Ni rešitve.

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Vsa realna števila.
Ni rešitve.

Naprej

2. naloga

Reši neenačbe in predstavi rešitve neenačb z intervali.

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Naprej

3. naloga

Tomaž kupuje nov pralni stroj. Zanima ga energetsko varčni pralni stroj, ki je € dražji od navadnega. Tomaž je izračunal, da bo s tem strojem mesečno prihranil za najmanj € električne energije. V koliko mesecih se Tomažu nakup takšnega pralnega stroja povrne v najslabšem primeru? Zapiši neenačbo, ki reši Tomažev problem.

Enačba se glasi:

Preveri

Tomažu se investicija v najslabšem primeru povrne v

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

To pa ne bo držalo.

Naj bo število mesecev. Iskana neenačba je .

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo.

Tomažu se investicija v najslabšem primeru povrne v mesecih.

Naprej

4. naloga

V neki reviji ponujajo naročnikom nakup filmov. Cena posameznega filma je €. Ob nakupu štirih filmov zaračunajo le tri, za vsak naslednji film (peti, šesti,...) pa €. Pri drugi reviji pa ponujajo filme po € za posamezen film.

a) Katera ponudba je ugodnejša, če bomo kupili en film?
Če bomo kupili en film, je ugodnejša prva druga ponudba, saj plačamo € manj.

b) Katera ponudba je ugodnejša, če bomo kupili štiri filme?
Če bomo kupili štiri filme, je ugodnejša prva druga ponudba, saj plačamo € manj.

c) Katera ponudba je ugodnejša, če bomo kupili sedem filmov?
Če bomo kupili sedem filmov, je ugodnejša prva druga ponudba, saj plačamo € manj.

Preveri

Najmanj koliko filmov moramo kupiti, da bo ugodnejša ponudba prve revije? Zapiši ustrezno neenačbo.

Iskana neenačba:

Da bo ugodnejša prva ponudba, moramo kupiti vsaj filmov.

Preveri

Odlično, rešitev je pravilna.

To pa ne bo držalo.

a) Ugodnejša je druga ponudba, saj plačamo € manj.
b) Ugodnejša je druga ponudba, saj plačamo € manj.
c) Ugodnejša je prva ponudba, saj plačamo € manj.

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo.

Naj bo število kupljenih filmov. Do štiri filme je očitno ugodnejša ponudba druge revije. Če kupimo več kot štiri filme, plačamo pri drugi reviji €, pri prvi pa €.

Iskana neenačba: . Rešitev te neenačba pa .

Da bo ugodnejša prva ponudba, moramo kupiti vsaj filmov.

Naprej

5. naloga

Imamo neenačbo

a) Reši in obravnavaj neenačbo.

Rešitev

b) Za kateri parameter bodo rešitve neenačbe vsa realna števila manjša od ?

Ta parameter je:

Preveri

Če , neenačba nima rešitve.
Če , potem .
Če , potem .

Odlično, rešitev je pravilna.

Naprej

To pa ne bo držalo. Rešitev je:

Naprej

Rezultati

0%
0%