Opazuj spodnjo animacijo. Kateri lik prikazuje? Kot vidiš, je veliko vektorjev na njegovih stranicah in diagonalah med sabo pravokotnih ali pa vzporednih.

Posebej se bomo posvetili vektorjem v vsaki od obeh leg.

Ker o temi v naslovu že veliko veš, lahko svoje znanje obnoviš tako, da dopolniš naslednje besedilo.

Vektorja $\vec{a}$ in $\vec{b}$ sta pravokotna vzporedna sokota (s tujko rečemo, da sta ortogonalna komplementarna suplemetarna , če oklepata kot $90°$. Če v tem primeru izračunamo njun skupni skalarni vektorski produkt po znanem obrazcu $\vec{a} \cdot \vec{b}$ = $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos \phi$ dobimo vrednost , saj je $cos 90°=0$, produkt števil, od katerih je vsaj eno enako $0$, pa je prav tako .

Skalarni produkt pa je lahko enak $0$ tudi takrat, ko je vsaj ena izmed dolžin $|\vec{a}|$ ali $|\vec{b}|$ enaka $0$, se pravi, če je vsaj eden od množenih vektorjev normiran ničeni enostki vektor. Kaj to pomeni? Lahko rečemo, da je ničelni vektor pravokoten na prav vsak drug vektor, saj je ničelni vektor vektor, ki nima določene smeri in smeri usmerjenosti velikosti , kar pomeni, da sta poljubni.

Še boljši vpogled v nastale težave dobimo, če zapišemo obrazec za kot med vektorjema:

Če je vsaj eden od vektorjev (npr. vektor $\vec{b}$) enak $\vec{0}$, dobimo enakost:

kar pa je nedoločeno število, iz česar sledi, da je tudi kot med vektorjema, od katerih je vsaj eden ničelni, nedoločen.

Da se izognemo takim in podobnim težavam, nedvoumno zapišemo:

Tako bomo pravokotnost neničelnih vektorjev ugotavljali s tem, da bomo preverili, ali je njun skalarni produkt enak 0.

Naj bo $\vec{c}=\vec{a} + \vec{b}$ in $\vec{d}=\vec{a} - \vec{b}$. Pokaži, da sta vektorja $\vec{c}$ in $\vec{d}$ pravokotna, če veš, da sta $\vec{a}$ in $\vec{b}$ enako dolga vektorja.

Katere lastnosti smo uporabili? Dopolni besedilo.

Po vstavljanju ustreznih izrazov za vektorja $\vec{c}$ in $\vec{d}$ smo najprej uporabili znano lastnost skalarnega produkta, ki se imenuje distributivnost komutativnost asociativnost . Nato smo izničili dva nasprotna enaka inverzna člena, upoštevali, da je vektor, skalarno pomnožen s samim seboj, enak kvadratu svoje dolžine smeri usmerjenosti (velikosti), šele na koncu pa smo podatek iz naloge upoštevali tako, da smo zamenjali $|\vec{a}|$ z $|\vec{b}|$, kar je privedlo do odštevanja med sabo enakih nasportnih inveznih števil in rezultata . S tem smo dokazali, da sta vektorja $\vec{c}$ in $\vec{d}$ res pravokotna vzporedna komplememtarna .

Zamisli si dva enako dolga vektorja, $\vec{a}$ in $\vec{b}$, s skupno začetno točko. Pomagaš si lahko tudi s spodnjo sliko.

Da sta diagonali v rombu pravokotni, lahko preveriš z naslednjo nalogo: z miško zgrabi konec vektorja $\vec{b}$ in s tem spreminjaj obliko in velikost romba. Opazuj spreminjanje vrednosti skalarnega produkta $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})$. Kaj opaziš? Kaj ti rezultat sporoča?

Skalarno množenje pravokotnih vektorjev je sila enostavno, saj da vselej rezultat $0$. Zaradi tega se na videz zelo zahtevni izrazi bistveno poenostavijo.

Rešimo tole nalogo:

Izračunaj vrednost izraza $(3 \vec{a}- 2\vec{b}+ \vec{c}) (4 \vec{a}+ \vec{b}+ \vec{c})$, če veš, da je $\vec {a} \bot \vec {b}$, $\vec {a} \bot \vec {c}$ in $\vec {b} \bot \vec {c}$ in da je $|\vec{a}|= 1$, $|\vec{b}|= 3$, $|\vec{c}|=5$.

$(3 \vec{a}- 2\vec{b}+ \vec{c}) (4 \vec{a}+ \vec{b}+ \vec{c})=$

Kaj je pravzaprav parameter? Lahko bi rekli, da je "spremenljiva konstanta". To pomeni, da lahko od primera do primera zavzema različne vrednosti, a v istem primeru se ne spreminja. Ponavadi iščemo prav posebne vrednosti teh konstant– parametrov, ki nastopajoče objekte spremenijo tako, da ti zadoščajo še kakim dodatnim zahtevam. V našem primeru bo to zahteva po pravokotnosti nastopajočih vektorjev.

Rešimo nalogo:

Določi število $k$ tako, da bo vektor $\vec{c} = k \vec{a}- 2\vec{b}$ pravokoten na vektor $\vec{d} = \vec{a}- 2k\vec{b}$. Pri tem sta $\vec{a}$ in $\vec{b}$ enotska vektorja, ki oklepata kot $60°$.

Preveri svoje znanje tako, da dopolniš spodnje besedilo.

Če sta vektorja $\vec{a}$ in $\vec{b}$ vzporedna (s tujko rečemo, da sta komplementarna komplanarna kolinearna ), se zagotovo ujemata v smeri dolžini usmerjenosti , v smeri pomembnosti usmerjenosti in dolžini pa ne nujno. Ce želimo vektorju zagotovo ohraniti smer, ga smemo pomnožiti s skalarjem pravokotnim vektorjem vzporednim vektorjem . Če je skalar pozitivno negativno ničelno število, se vektorju ohrani tudi usmerjenost. Dolžina se mu ne spremeni takrat, ko ga pomnožimo z $1$ ali z . Množenje z pozitivnimi negativnimi nicelnimi števili vektorju usmerjenost spremeni, množenje s števili, ki so po absolutni vrednosti večja od , vektor podaljša, medtem ko množenje s števili, ki so po absolutni vrednosti manjša od večja od enaka $1$, vektor skrajša podaljša pusti pri miru . Prav vsako množenje s skalarjem pa zagotovo ohrani le smer vektorja.

Velja tudi obratno: če je vektor zapisan v obliki $k\vec{a}$, pri čemer je $k$ realno število, pomeni, da je nastal z množenjem vektorja $\vec{a}$ s skalarjem in je zato vektorju $\vec{a}$ zagotovo vzporeden. Vektor $k\vec{a}$ ima torej isto smer kot vektor $\vec{a}$, lahko pa se od njega razlikuje tako po usmerjenosti kot po dolžini.

Poseben primer nastane, ko je $k=0$. Takrat dobimo $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$, kar je ničelni enotski normiran vektor, ki pa ga zaradi njegove poljubne smeri in usmerjenosti lahko predstavimo tudi kot vektor, vzporeden vektorju $\vec{a}$.

Rešimo nekaj nalog o vzporednosti vektorjev:

V katerih od spodnjih primerov sta vektorja $\vec{a}$ in $\vec{b}$ zagotovo vzporedna?

Poišči vzporedne vektorje

Med danimi vektorji poišči take, ki so med sabo zagotovo vzporedni. Rešitev utemelji.

Izračunaj skalarja $r$ in $s$ tako, da bosta vektorja $(r+2s)\vec{a} - 3 \vec{b}+ (r-1)\vec{c}$ in $-\vec{a} +6 \vec{b}-\vec{c}$ vzporedna.

$r =$

$s=$

Z enačbami opiši naslednje zveze med vektorji:

Vemo, da je vektor $m\vec{i} + 2\vec{j} - 3\vec{k}$ pravokoten na vektor $2\vec{i} - 4\vec{j} + \vec{k}$, pri čemer vektorji $\vec{i}$, $\vec{j}$ in $\vec{k}$ tvorijo ortonormirano bazo. Kolikšen je skalar $m$?

$m=$

Ali sta vektorja $\vec{a} +\vec{b}$ in $\vec{a} +k\vec{b}$, kjer sta $\vec{a}$ in $\vec{b}$ enotska vektorja, ki oklepata kot $135°$, lahko kdaj

• pravokotna?
• vzporedna?
  Vektorja sta pravokotna, ko je $k =$ .
  Vektorja sta pravokotna, ko je $k=l =$, če je $l$ parameter v enačbi $\vec{a} +\vec{b}= l \cdot (\vec{a} +k\vec{b})$.
  

Ali sta vektorja $\vec{a} +m\vec{b}$ in $\vec{b}-\vec{a}$, kjer sta $\vec{a}$ in $\vec{b}$ enotska vektorja, ki oklepata kot $60°$, lahko kdaj

• pravokotna?
• vzporedna?
  Vektorja sta pravokotna, ko je $m =$ .
  Vektorja sta pravokotna, ko je $k=m =$, če je $l$ parameter v enačbi $\vec{a} +\vec{b}= l \cdot (\vec{a} +k\vec{b})$.
  

V trapezu $ABCD$ je osnovnica $CD$ dolga $\frac{2}{5}$ osnovnice $AB$. Točka $E$ leži na daljici $AD$ tako, da velja $|AE| : |ED| = 3 : 1$. Daljici $BE$ in $AC$ se sekata v tocki $F$. Izracunaj $|AF| : |AC|$. (Upoštevaj, da sta $CD$ in $AB$ vzporedni in da lahko zato vektor, ki leži na $CD$, izraziš kot vektor na $AB$, pomnožen z ustreznim skalarjem.) $|AF| : |AC|=$$:$