Lupa pomaga človeku, ki slabo vidi, da lahko bere ali proučuje manjše predmete. Včasih so jo uporabljali tudi urarji, ki so popravljali zapletene mehanizme mehanskih ročnih ur. Geometrijska optika nas pouči, kako nastane navidezna slika predmeta, ki ga gledam skozi lupo. Tudi numizmatiki uporabljajo lupe za opazovanje zanimivih znamk iz svojih zbirk.

Prostorsko sliko na ravnini dobimo, če slike zmanjšujemo tako, da se ohranjajo razmerja. Tako lahko na spodnji sliki dobimo prostorski videz razporejenosti slik. To so podobne slike v geometrijskem smislu podobnosti.

Tako na konstrukciji. Kaj pa v naravi?

Pogled v drevored na sliki omogoča prostorsko predstavo. Če gledamo le velikosti dreves, vidimo, da so vse manjša, bolj ko so oddaljena. Torej slika v naravi ustreza zgornji geometrijski konstrukciji.

Schillerjev drevored v Tuebingenu

Zdaj imamo že dovolj predstav, da lahko na podobnost pogledamo geometrijsko. Zato bomo najprej povedali Talesov izrek o podobnosti. Imamo dan kot z vrhom in tri vzporedne premice, ki sekajo oba kraka kota. Če te premice sekajo en krak v takih treh točkah , in , da je potem je tudi , če so točke , in presečišča vzporednic z drugim krakom kota.

Skozi in konstruiramo vzporednici drugemu kraku kota. Tako dobimo dva paralelograma in dva trikotnika. Ker sta in paralelograma, kraki kotov , , , in , pa paroma vzporedni, sta trikotnika in skladna, od tod pa že sledi , kar pa je bilo treba dokazati.

Če temu izreku verjamemo, lahko dokažemo še eno zanimivo posledico. Imamo štiri vzporednice, ki sekajo kraka kota z vrhom v , v točkah , , , , , , , , kot kaže spodnja dinamična slika. Tedaj velja, kot lahko razberemo tudi iz slike (pozor: vrednosti dožin in razmerij so zaokrožene na dve decimalki):
in .

Dokaz naredimo le za racionalno razmerje.

Zaradi prejšnjega izreka lahko daljico razdelimo na delov in je s tem tudi daljica sestavljena iz enakih delov. Ker pa je razmerje je daljica sestavljena iz enako velikih delov, enako pa velja potem za daljico . Zato je

Stranice trikotnika so v razmerju . Koliko merijo stranice, če meri obseg trikotnika 28 enot?

Stranice merijo

Preveri

Prejšnjo nalogo lahko interaktivno preveriš spremikanjem modre točke. Tako lahko odgovoriš tudi na spodnja vprašanja.

S pomočjo pomične točke lahko poiščeš stranice trikotnika, ki je podoben prejšnjemu trikotniku, torej ima stranice v razmerju . Decimalno ločilo v odgovorih je decimalna vejica.

Obseg trikotnika je . Stranice trikotnika so tedaj:

Zapiši faktor raztega za ta primer v obliki ulomka.
/

Preveri

Na sliki izberi . Iz slike preberi vrednosti stranic in obsega.

Preveri

Kot smo videli, se tudi obseg pomnoži s faktorjem podobnosti, kar potrdimo čisto splošno z enostavnim računom:

Enako bi lahko preverili še, da se višine in težiščnice pomnožijo z istim faktorjem.

Kako pa je s ploščino podobnega trikotnika? Za odgovor si pomagaj s prejšnjim primerom.

Da bo razumevanje prejšnje trditve lažje.

Trikotnik ima stranice dvakrat daljše, kot trikotnik , saj so , in središča stranic trikotnika . V trikotniku pa so štirje skladni trikotniki , , in - torej je faktor povečanja ploščine .

S pomočjo merila lahko izmerimo razdalje na zemljevidu. V pomoč imamo interaktivni zemljevid, s katerim lahko merimo razdalje na zamljevidu, za katerega poznamo podobnostno razmerje. Rdeči točki na konceh merila lahko premaknemo do poljubnih dveh krajev na zemljevidu in oznake ob merilu nam pokažejo dimenziji na zemljevidu in v naravi.

S pomočjo interaktivnega zemljevida poišči najširši del Slovenije v smeri sever-jug:

Preveri

Koliko sta v zračni črti oddaljena Ljubljana in Maribor?

Preveri

Najbolj oddaljeni mesti sta v zračni črti na zemljevidu

Preveri

Dana sta podobna trikotnika in . Stranice trikotnika so: cm, cm in cm. Koliko meri stranica trikotnika , če meri stranica cm.

Stranica meri:

Preveri

a) Razdeli daljico z dolžino cm na enakih delov.

Rešitev

b) Zemljevid je narisan v razmerju . Koliko km meri razdalja med dvema krajema v resnici, če sta na zemljevidu oddaljena cm?

Preveri

Cev dolžine m razžagamo v razmerju . Koliko je dolg posamezen kos cevi?

Preveri

Ali sta trikotnika s stranicami cm cm cm in cm cm in cm podobna?

Preveri

Kako načrtamo trikotnik, če poznamo dolžino hipotenuze in razmerje katet? (Primer cm, )

Rešitev

Stranice podobnega trikotnika merijo po vrsti cm, cm in cm. Koliko merijo stranice prvotnega trikotnika, če je obseg prvotnega trikotnika cm?

Stranice merijo:

Preveri

Kakšen bi moral biti podobnostni koeficient za trikotnik s stranicami cm, cm in cm, da bi obseg podobnega trikotnika meril cm?

Koeficient podobnosti je:

Preveri

Dano daljico podaljšaj tako, da bosta podaljšek in dana daljica v razmerju . Opiši konstrukcijo.

Rešitev

Koliko meri podaljšek daljice, če je dana daljica dolga m?

Podaljšek daljice meri:

Preveri

V kakšnem razmerju sta dana daljica in daljica s podaljškom vred?

Razmerje daljice s podaljškom in dane daljice je

Preveri