Parabola v središčni legi
Spreminjaj parameter parabole z drsniki na levi strani slike in odgovori na vprašanja, ki sledijo.
Če drsnik premikaš z levim gumbkom miške, lahko parameter zavzame poljubno vrednost med in , če drsnika premikaš z desnim miškinim gumbkom, pa so vrednosti parametra lahko le vrednosti, ki so večkratniki števila (, , , , , , , , in ).
Naloga 1
Pomagaj si z zgornjim apletom.
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Naloga 2
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Parabola kot graf kvadratne funkcije
Parabola imenujemo graf kvadratne funkcije. Enačba kvadratne funkcije je enaka , kjer so , in poljubna realna števila in . Na spodnji konstrukciji premikaj drsnike , in . Če je , potem v temenu doseže kvadratna funkcija najmanjšo vrednost. Če pa je , pa največjo vrednost. Če premikamo in , premikamo teme parabole.
Tudi parabola kot graf kvadratne funkcije je stožnica.
Razmisli 1
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Gorišče je na osi.
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Gorišče ima v točki .
Super, rešitev je pravilna.
Enačba parabole v premaknjeni legi
Kako bi zapisali enačbo parabole, ki nima temena v izhodišču koordinatnega sistema?
Zapisati znamo koordinate točke, ki jo dobimo, če točko premaknemo za vektor . To je točka s koordinatami .
Na spodnji konstrukciji premakni parabolo iz središča. Ob strani se ti bo izpisala enačba parabole. Poizkusi povezati enačbo parabole s premikom za dan vektor (spomni se, kaj se zgodi, če premaknemo točko za neki vektor).
Če drsnik premikaš z levim gumbkom miške, lahko parameter zavzame poljubno vrednost med in , če drsnika premikaš z desnim miškinim gumbkom, pa so vrednosti parametra lahko le vrednosti, ki so večkratniki števila (, , , , , , , , in ).
Enačba parabole v premaknjeni legi
Vemo, da je enačba parabole v središčni legi enaka . Novo središče parabole je sedaj v točki . Če jo želimo premakniti nazaj v koordinatno izhodišče, jo moramo premakniti za vektor .
Enačba premaknjene parabole je:
kjer je točka teme parabole in parameter parabole.
Reši
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Parabola ima teme v točki in parameter .
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Koordinate gorišča, temena in enačba premice vodnice
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Ugotovitev
Ugotovili smo: če imamo podano parabolo z enačbo ,
je točka teme parabole,
točka gorišče parabole in
enačba je enačba premice vodnice dane parabole.
Parabola spada med krivulje drugega reda. Torej lahko njeno enačbo primerjamo z enačbo .
Te zanima še več?
Enačbo parabole v premaknjeni legi razpišemo:
Enačbi primerjamo in ugotovimo:
Če je izpolnjen pogoj , je izpolnjen potreben pogoj, da enačba predstavlja parabolo.
Poiščemo lahko še povezavo koeficientov , , , , in s in .
Iz enačbe dobimo, da je . Iz enačbe sledi, da je .
Vstavimo v enačbo in dobimo, da je
Kar je tudi zadosten pogoj, da enačba predstavlja parabolo.
Razmisli
Tudi grafu kvadratne funkcije rečemo parabola. Ali lahko enačbo kvadratne funkcije primerjamo z enačbo ?
Lahko jo primerjamo. Ugotovimo:
Torej je potreben pogoj, da enačba predstavlja parabolo ali ali .
Ugotovili smo, da je kvadratna funkcija tudi krivulja drugega reda.
Spomni se
Z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata poišči središče parabole z enačbo .
Enačbo preoblikujemo:
Središče parabole je v točki .
Preizkusi svoje znanje
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Predstavlja parabolo s središčem v točki .
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je točka .
Super, rešitev je pravilna.
Preizkusi svoje znanje
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Premaknjena je za vektor .
Super, rešitev je pravilna.
1. naloga
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
2. naloga
Super, rešitev je pravilna.
3. naloga
Nariši parabolo z enačbo .
4. naloga
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
| Je parabola. | |
| Ni parabola. | |
| Je parabola. | |
| Je parabola. |
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
| Gorišče ima v točki . | |
| Nima gorišča. | |
| Gorišče ima v točki . | |
| Gorišče ima v točki . |
5. naloga
Super, rešitev je pravilna.
6. naloga
Super, rešitev je pravilna.
Rezultati
