Presečišča
Presečišča
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Spomni se...
Super, rešitev je pravilna.
To pa pa ne bo držalo. Rešitev je:
in
Sistem dveh enačb z dvema neznankama
Super, rešitev je pravilna.
To pa pa ne bo držalo.
Rešiti sistem dveh enačb z dvema neznankama in pomeni, da moramo poiskati take pare števil in , ki ustrezajo obema enačbama.
Super, rešitev je pravilna.
To pa pa ne bo držalo.
Geometrijska rešitev sistema določa presečišča med krivuljama, ki jih predstavljata enačbi.
Sistem dveh enačb z dvema neznankama
Rešiti sistem dveh enačb z dvema neznankama in pomeni:
poiskati take pare števil in , ki ustrezajo obema enačbama.
Geometrijsko tak sistem določa presečišča med krivuljama, ki jih predstavljata enačbi.
Presečišče krožnice v središčni legi in premice
Enačba krožnice v središčni legi je (enako bi razmislili za poljubno krožnico, le zapis bi bil daljši in manj pregleden), kjer je polmer krožnice. Splošna enačba premice je , kjer sta in konstanti.
Poiščimo presečišče med krožnico in premico.
- vstavimo premice v krožnico in dobimo: .
- odpravimo oklepaje: .
- iz prvih dveh členov izpostavimo :
Dobili smo kvadratno enačbo.
Obravnava kvadratne enačbe:
Če je , imamo dve rešitvi, kar grafično pomeni dve presečišči. Torej premica seka krožnico.
Če je , imamo eno dvojno rešitev, torej le eno presečišče. Premica se dotika krožnice.
Če je , nimamo rešitev, kar pomeni, da je premica mimobežnica (ni presečišč).
Presečišča med krivuljama drugega reda
S pomočjo spodnje konstrukcije odgovori na naslednja vprašanja.
Če premikaš drsnik , spreminjaš zeleno krivuljo, če premikaš drsnik , pa modro krivuljo. Lego modre krivulje lahko spreminjaš s pomočjo točke .
Ugotovi...
Pomagaj si s kostrukcijo in ugotovi pravilnost naslednjih izjav.
Super, rešitev je pravilna.
To pa pa ne bo držalo. Rešitev je:
| Premica in krožnica imata lahko največ eno skupno točko. | Nepravilno. |
| Elipsa in krožnica se lahko sekata v nič, eni, dveh, treh ali štirih točkah. | Pravilno. |
| Elipsa in hiperbola se lahko sekata v treh točkah. | Pravilno. |
| Krožnica in elipsa se nikoli ne sekata. | Nepravilno. |
| Parabola in hiperbola se lahko sekata v dveh točkah. | Pravilno. |
| Parabola in krožnica imata lahko največ tri skupne točke. | Nepravilno. |
Enačbo premice preoblikujemo v eksplicitno obliko in vstavimo v enačbo elipse. Dobimo enačbo .
Poračunamo in dobimo kvadratno enačbo .
Rešitvi te enačbe sta in .
Super, rešitev je pravilna.
To pa pa ne bo držalo.
Iščemo presečišče. Presečišče je točka. Poiskati še moramo koordinate preseščič.
Izračunani koordinati in lahko vstavimo v enačbo elipse ali enačbo premice. Seveda je lažje, če vstavimo v enačbo premice. Dobimo in .
Presečišči sta dve:
in
Sistem dveh kvadratnih enačb
Do sedaj smo iskali presečišča med premico in stožnico. Kako pa poiščemo presečišča med dvema krivuljama drugega reda?
Izračunaj...
Izračunaj presečišče med krivuljama:
in
Nalogo bomo rešili na dva načina (računsko in grafično). Najprej računsko.
Če si uspel izraziti , ga vstavi v eno od enačb.
Če izračunan vstavimo v drugo enačbo, dobimo .
Enačbo uredimo in razcepimo. Dobimo dve realni rešitvi: in .
Ko izračunaš še in , dobiš presečišči:
Iz enačb izločimo . To storimo tako, da od prve enačbe odštejemo drugo in izrazimo :
Seveda bi lahko izrazili tudi . Postopek reševanja je enak.
Super, rešitev je pravilna.
To pa pa ne bo držalo.
Ker se krivulji sekata v točkah, moramo izračunati še in . Dobimo presečišči in .
Še grafično...
Prva krivulja je elipsa s središčem v točki in enačbo . Druga enačba predstavlja krožnico z enačbo . Krivulji narišemo v koordinatni sistem.
Odčitamo presečišča: in .
1. naloga
Dane krivulje poimenuj. in izračunaj presečišča dane krivulje s koordinatnima osema.
Super, rešitev je pravilna.
2. naloga
Izračunaj presečišča danih krivulj s koordinatnima osema.
Super, rešitev je pravilna.
To pa pa ne bo držalo. Rešitev je:
| Ne seka ordinatne osi, absciso pa seka v točkah in | |
| Seka absciso v točkah in , ordinato pa v točkah in . | |
| Ne seka abscisne osi, ordinato pa seka v točkah in . | |
| Ne seka ordinatne osi, absciso pa seka v točki . | |
| Seka ordinatno os v točkah in , abcisno pa v točkah in . |
3. naloga
Izračunaj presečišče krivulje in premice:
Super, rešitev je pravilna.
4. naloga
Poišči presečišče med krivuljama.
Super, rešitev je pravilna.
5. naloga
Super, rešitev je pravilna.
To pa pa ne bo držalo. Rešitev je:
Super, rešitev je pravilna.
To pa pa ne bo držalo. Rešitev je:
in
Rezultati
