Natančne vrednosti kotnih funkcij za kote , , , že znamo izračunati, zdaj pa nas bodo zanimale natančne vrednosti kotnih funkcij nekaterih drugih kotov, na primer , .
Adicijski izreki
Adicijski izreki
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Uvod
Sinus in kosinus razlike in vsote dveh kotov
Narišemo enotsko krožnico in si izberemo točki in ter zapišemo njune koordinate. Označimo kote , in .
Na sliki imamo trikotnik . S kosinusnim izrekom in s formulo za izračun razdalje med dvema točkama bomo na dva načina izračunali dolžino stranice .
Sinus in kosinus razlike in vsote dveh kotov
Kosinusni izrek uporabljamo v poljubnem trikotniku, kadar imamo podani dve stranici in kot med njima ali vse tri stranice:
Razdaljo med točkama in v ravnini izračunamo po formuli:
Dolžino daljice po kosinusnem izreku izračunamo z obrazcem:
Če pa uporabimo obrazec za razdaljo med dvema točkama, lahko zapišemo:
Enačbi odštejemo, delimo z in uredimo:
Sinus in kosinus razlike in vsote dveh kotov
S prejšnjim obrazcem in z upoštevanjem sodosti ter lihosti kotnih funkcij sinus in kosinus dobimo tudi obrazec za izračun kosinusa vsote dveh kotov.
Z malo truda in znanja o kotnih funkcijah komplementarnih kotov izpeljimo še obrazec za sinus vsote dveh kotov.
Ko uredimo enačbo, dobimo obrazec:
Podobno dobimo tudi obrazec za sinus razlike dveh kotov.
Sinus in kosinus razlike in vsote dveh kotov
S tem smo prišli do obrazcev, ki jih imenujemo adicijski izreki za kotni funkciji sinus in kosinus:
Naredimo nekaj vaj
Iz formule sledi, da je .
Kot je topi kot, torej leži v kvadrantu, kjer je vrednost kosinusa negativna, zato je .
Nato uporabimo formulo za kosinus razlike dveh kotov in vstavimo številske vrednosti v izraz. Dobimo rezultat:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
| Napačno. | |
| Pravilno. |
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Tangens in kotangens vsote in razlike dveh kotov
Izpeljali bomo obrazec za tangens vsote dveh kotov. Najprej je potrebno upoštevati, da je tangens kota enak razmerju med sinusom in kosinusom kota:
Sedaj uporabimo asicijske izreke za sinus in kosinus.
Nato števec in imenovalec delimo s in uredimo.
Dobimo obrazec za tangens vsote dveh kotov.
Enako izpeljemo še obrazce za tangens razlike dveh kotov ter kotangens vsote in razlike dveh kotov.
Tangens in kotangens vsote in razlike dveh kotov
Zapomnimo si:
Primer 1
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Najprej zapišemo kot kot vsoto ali razliko dveh kotov, katerih vrednosti tangensa znamo natančno določiti.
Na primer: ali .
Nato z adicijskimi izreki za kotno funkcijo tangens natančno izračunamo .
Nato vstaviš vrednosti za in in dobiš rezultat .
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Kotangens kota je enak obratni vrednosti tangensa istega kota.
Zato je .
Rešitev je:
Primer 2
S pomočjo zveze med kosinusom in tangensom najprej izračunamo .
Nato izračunaš z adicijskimi izreki za tangens vsote vrednost in nato poiščeš še obratno vrednost.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Uporabiš adicijski izrek za sinus vsote.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Uporabiš adicijski izrek za kosinus vsote.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Primer 3
V krogu s polmerom cm natančno izračunaj dolžino tetive, ki pripada središčnemu kotu .
Na sliki vidimo, da je trikotnik enakokraki trikotnik, v katerem je osnovnica enaka tetivi, krak pa polmeru kroga. Razdalja med tetivo in središčem kroga je višina na osnovnico v enakokrakem trikotniku.
Višina v enakokrakem trikotniku razpolovi osnovnico in kot, ki leži nasproti osnovnice. Narišemo višino SN in dobimo pravokotni trikotnik, kjer lahko uporabimo kotne funkcije.
Nastavi enačbo, po kateri izračunaš dolžino tetive, in jo izračunaj.
Dolžina tetive je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Od tod sledi, da je .
Nato izračunaj z adicijskimi izreki.
Odgovor: Dolžina tetive je cm.
Primer 4
Dan je topokotni trikotnik v ravnini, kjer meri najdaljša stranica cm, višina na stranico cm, . Točka leži v ravnini tako, da je štirikotnik paralelogram. Natančno izračunaj kosinus kota .
Iz podatkov in z opazovanjem slike poskusi odgovoriti na naslednja vprašanja.
1. Kaj lahko poveš o kotu ?
Najdaljša stranica v trikotniku leži nasproti kota. Stranica je
najkrajša
najdaljša
stranica, zato je
ostri
topi
kot.
2. Kakšna trikotnika sta trikotnik in trikotnik ? Kaj lahko poveš o njunih notranjih kotih?
Štirikotnik je
trikotnik
krog
paralelogram
, zato sta trikotnika in trikotnika. Kot je kotu , kot pa je kotov in .
3. Na podlagi dosedanjih ugotovitev natančno izračunaj kosinus kota .
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
1. Najdaljša stranica v trikotniku leži nasproti največjega kota. Stranica je najdaljša stranica, zato je topi kot.
2. Štirikotnik je paralelogram, zato sta trikotnika in skladna trikotnika. Kot je enak kotu , kot pa je vsota kotov in .
3. Po adicijskih izrekih je .
Iz podatkov v navodilih moramo izračunati še kosinus kota ter sinus in kosinus kota .
Kot je ostri kot, zato je .
Iz slike razberemo, da je .
Nato izračunamo še . Vrednost kosinusa je pozitivna, saj je kot ostri kot: .
Torej je
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
2. naloga
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
3. naloga
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
4. naloga
Naj bo in naj kot leži v četrtem kvadrantu. Natančno izračunaj.
Odlično, rešitev je pravilna.
5. naloga
Naj bo in , pri čemer sta in topa kota. Natančno izračunaj.
Odlično, rešitev je pravilna.
6. naloga
Tetiva dolžine odreže od krožnice lok, nad katerim meri središčni kot . Natančno izračunaj polmer krožnice.
Polmer krožnice je: cm
Odlično, rešitev je pravilna.
Rezultati
