Kotne funkcije dvojnih kotov
V eni od prejšnjih enot smo se naučili adicijske izreke za kotne funkcije. Sedaj, ko jih že dobro obvladaš, samostojno izpelji obrazce za sinus, kosinus, tangens in kotangens dvojnega kota.
Z uporabo adicijskega izreka za sinus vsote dveh kotov dopolni naslednje enakosti.
Preveri
Dopolni naslednje enakosti.
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Super, rešitev je pravilna.
Kotne funkcije dvojnih kotov
Z adicijskim izrekom za kotno funkcijo tangens izpeljemo še obrazec za tangens dvojnega kota:
Izpeljava:
Obrazen za kotanges dvojnega kota izpeljemo z uporabo obrazcev za sinus in kosinus dvojnega kota.
Izpeljava:
Nato števec in imenovalec ulomka delimo s in po ureditvi dobimo:
Kotne funkcije dvojnih kotov
Zapomnimo si:
Primer 1
Poenostavimo izraz.
Primer 2
Natančno izračunajmo , če je in kot leži v tretjem kvadrantu.
Če želimo izračunati tangens dvojnega kota, potrebujemo najprej tangens enojnega kota, ki ga bomo izračunali kot kvocient med sinusom in kosinusom kota . Za izračun kosinusa kota pa bomo uporabili zvezo med sinusom in kosinusom kota.
Kot leži v tretjem kvadrantu, zato je vrednost kosinusa negativna: .
Sedaj pa lahko izračunamo tangens kota , , ga vstavimo v obrazec za tangens dvojnega kota in poenostavimo račun. Rezultat je:
Primer 3
Dan je ostrokotni trikotnik v ravnini z notranjimi koti , in . Kosinus kota je . Točka je središče trikotniku očrtane krožnice, kot označimo s . Natančno izračunajmo sinus kota .
Primer 3
Na prejšnji sliki vidimo, da je kot obodni kot, kot pa središčni kot nad istim lokom.
kot je dvakrat večji od kota nad istim lokom, zato je .
Torej je .
Za natančen izračun potrebujemo še vrednost .
Ker je trikotnik ostrokotni trikotnik, je kot oster kot in je zato vrednost sinusa pozitivna. Torej je:
Za izračun imamo sedaj vse, kar potrebujemo. Sinus središčnega kota je enak:
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Središčni kot je dvakrat večji od obodnega kota nad istim lokom, zato je .
Kotne funkcije polovičnih kotov
Vemo že, da je vsota kvadratov sinusa in kosinusa istega kota enaka , v prejšnji učni enoti pa smo spoznali, čemu je enaka razlika kvadratov kosinusa in sinusa istega kota.
in
Ti dve enačbi bomo med seboj sešteli in odšteli. Če ju seštejemo, dobimo enačbo
če pa ju odštejemo, dobimo enačbo
V obeh enačbah namesto pišemo in izrazimo ter :
in
Kotne funkcije polovičnih kotov
Pri izražanju in opazimo, da sta lahko vrednosti sinusa in kosinusa polovičnega kota bodisi pozitivni bodisi negativni. Predznak je odvisen od tega, v katerem kvadrantu ležita kot in njegova polovična vrednost. Preden določimo predznak, preverimo lego kota in polovičnega kota.
Recimo, da kot leži v četrtem kvadrantu:
Neenačbo delimo z in dobimo:
To pomeni, da polovični kot kota leži v drugem kvadrantu, torej je njegov sinus pozitiven, kosinus pa negativen.
Poišči odgovora
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Kosinus kota je pozitiven, saj leži v prvem kvadrantu.
Super, rešitev je pravilna.
Polovični koti
Zapomnimo si obrazca za sinus in kosinus polovičnega kota:
Izpeljimo še obrazca za tangens in kotangens polovičnega kota. Tangens polovičnega kota izračunamo kot kvocient sinusa in kosinusa.
Za kotangens polovičnega kota uporabimo zvezo, da je kotangens kota enak obratni vrednosti tangensa istega kota.
Polovični koti
Prav tako kot pri sinusu in kosinusu polovičnega kota je tudi pri tangensu in kotangensu predznak odvisen od tega, v katerem kvadrantu ležita kot in njegov polovični kot.
Lahko pa si pomagamo z definicijo tangensa. Tangens je razmerje med sinusom in kosinusom, torej bo tangens negativen, kadar imata sinus in kosinus nasproten predznak, in pozitiven, če imata sinus in kosinus enak predznak. Enako velja tudi za kotangens.
Zapomnimo si še obrazca za tangens in kotangens polovičnega kota:
Preveri pravilnost računov
Preveri, ali sta naslednji enakosti pravilni.
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
| Napačno. | Uporabiš obrazec za sinus polovičnega kota. | |
| Pravilno. |
1. naloga
Natančo izračunaj in ustrezno poveži.
Super, rešitev je pravilna.
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
3. naloga
Super, rešitev je pravilna.
4. naloga
Naj bo in kot naj leži v tretjem kvadrantu. Natančno izračunaj:
Super, rešitev je pravilna.
5. naloga
Razmerje dveh kotov v trikotniku je , nasproti ležeči stranici pa sta v razmerju . Natančno izračunaj kote trikotnika.
Super, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
, in
Rezultati
