Vsota, izražena kot produkt
Najprej bomo izpeljali obrazce za pretvorbo sinusa vsote in razlike ter kosinusa vsote in razlike dveh kotov v produkt dveh kotnih funkcij.
Naj bosta in poljubna kota. Njuno vsoto označimo z , njuno razliko pa s kotom .
Iz teh dveh enačb izrazimo in .
Enačbi med seboj seštejemo, nato še odštejemo in dobimo:
in .
Vsota, izražena kot produkt
Dobljeni enačbi delimo z in dobimo izražena kota in .
S pomočjo adicijskih izrekov si poglejmo, kako lahko zapišemo .
in
Enačbi med seboj seštejemo ter odštejemo in dobimo:
oziroma
Vsota, izražena kot produkt
Nato v enačbo vstavimo še kota in , izražena z in :
oziroma
Podobno izpeljemo še obrazca za vsoto in razliko dveh kosinusov.
Kosinus vsote in razlike
Kosinus vsote
Enačbi sešteješ in dobiš:
Kosinus razlike
Enačbi odšteješ in dobiš:
Zapomni si
Oglejmo si nekaj primerov
Uporabi obrazec za vsoto dveh kosinusov.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Izjava je nepravilna.
Rešimo enačbo
Rešimo enačbo .
Najprej zapišemo vse člene enačbe na eno stran, na drugi strani pa imamo število .
Enačbo bi najlažje rešili, če bi imeli na eni strani enačbe en neničelni člen, na drugi strani enačbe pa število , saj vemo, da je produkt števil enak natanko takrat, ko je vsaj eden od faktorjev enak . Torej izraz na levi strani enačbe zapišemo kot produkt:
Rešitve enačbe so tiste vrednosti , za katere je:
ali
Dobimo dve družini rešitev. To sta:
, kjer je celo število.
Za radovedne
Kako bi natančno izračunali vrednost izraza ?
Ulomka razširimo na skupni imenovalec in v števcu uporabimo adicijski izrek za sinus vsote dveh kotov, v imenovalcu pa uporabimo zvezo med kotnimi funkcijami komplementarnih kotov.
V imenovalcu opazimo, da lahko uporabimo obrazec za sinus dvojnega kota.
Produkt, izražen z vsoto
Pri pretvarjanju produkta dveh kotnih funkcij v vsoto dveh kotnih funkcij si bomo pomagali z obrazci, ki smo jih izpeljali v prejšnjem poglavju. Zapisali smo: in . V obrazec za vsoto dveh sinusov vstavimo zgornji dve enačbi in dobimo:
Podobno pridemo tudi do ostalih obrazcev za pretvorbo produkta kotnih funkcij v vsoto oziroma razliko.
Zapomnimo si:
Vstavi znak
Odlično, rešitev je pravilna.
Izračunaj 1
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
V števcu in imenovalcu uporabiš obrazce za pretvorbo produkta dveh kotnih funkcij v vsoto in urediš ulomek.
Okrajšaj ulomek
Število izrazi kot vrednost kotne funkcije.
Vsoto oziroma razliko dveh kotnih funkcij v števcu in imenovalcu zapiši kot produkta dveh kotnih funkcij.
V imenovalcu upoštevaj lihost kotne funkcije sinus in uporabi zvezo med kotnimi funkcijami.
Dopolni
Odlično, rešitev je pravilna.
Kaj pa vsota sinusa in kosinusa?
Pri uporabi obrazcev za zapis vsote dveh kotnih funkcij kot produkt opazimo, da ni obrazcev, če imamo izraz z vsoto oziroma razliko dveh različnih kotnih funkcij. Na primer: kako bi zapisali kot produkt izraz oblike ?
Vemo, da je sinus kota enak kosinusu komplementarnega kota in obratno. Zato lahko sinus oziroma kosinus izrazimo kot kosinus oziroma sinus komplementarnega kota. Zapišemo:
Od tu naprej uporabimo obrazce, ki jih že poznamo:
Izračunaj 2
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Najprej v števcu in imenovalcu uporabimo zveze med kotnimi funkcijami komplementarnih kotov, da dobimo vsoto oziroma razliko dveh enakih kotnih funkcij.
Nato števec in imenovalec preoblikujemo tako, da dobimo v števcu in imenovalcu samo en člen.
Ponovno uporabimo zveze med kotnimi funkcijami komplementarnih kotov, upoštevamo lihost kotne funkcije sinus in ulomek okrajšamo.
Poišči pravilen odgovor
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Vpiši manjkajoče podatke
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Trikotnik
V trikotniku je sinus aritmetične sredine kotov in enak , produkt kosinusov polovic teh dveh kotov pa je enak . Najprej natančno izračunaj vsoto sinusov notranjih kotov trikotnika, nato premisli, ali je trikotnik enolično določen.
Iz besedila naloge izpišimo podatke in izraz, katerega vrednost želimo izračunati.
Podatki:
in
Izračunati želimo vrednost izraza:
Kakšna zveza velja med notranjimi koti trikotnika in čemu je enak ?
Vsota notranjih kotov trikotnika je , zato je . Velja
saj sta sinusa suplementarnih kotov enaka.
S pomočjo obrazcev izračunajmo vsoto sinusov notranjih kotov trikotnika.
Enoličnost trikotnika
Sedaj pa razmislimo o enoličnosti trikotnika. Sinus aritmetične sredine dveh kotov je :
Zato velja: ali ; ali .
Enoličnost trikotnika
Ali je trikotnik enolično določen?
Vsota dveh notranjih kotov trikotnika ne more biti , zato je vsota kotov in . Kot meri . Ali lahko natančno določimo velikosti kotov in ?
Uporabimo podatek, da je . Torej je .
Produkt dveh kosinusov pretvorimo v vsoto in dobimo:
Od tod sledi, da je in .
Vendar trikotnik ni enolično določen, nalogi ustrezajo vsi podobni trikotniki z notranjimi koti , in .
Še naloga za konec
Dani sta funkciji s predpisoma in . Napiši predpis za funkcijo v obliki , zapiši amplitudo, frekvenco in periodo funkcije . Rešitve lahko preveriš tudi na spodnji sliki.
Najprej preoblikuj predpis za funkcijo .
Zapišimo amplitudo, frekvenco in periodo funkcije .
Amplituda je , frekvenca je .
Izpeljimo še periodo funkcije .
Vidimo, da je perioda enaka .
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
3. naloga
Natančno izračunaj vrednosti izrazov.
Odlično, rešitev je pravilna.
4. naloga
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
5. naloga
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
Rezultati
