Smreka
Smreka je visoka dva metra in pol, njena senca pa je dolga kar štiri metre. Na stopinjo natančno izračunaj, pod kakšnim kotom padajo sončni žarki.
Na sliki smreka, njena senca in sončni žarki tvorijo pravokotni trikotnik, zato lahko uporabimo kotne funkcije. Katero kotno funkcijo bomo uporabili?
Uporabili bomo:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Uporabili bomo tangens, saj imamo podani dolžini dveh katet.
mm
Sončni žarki padajo pod kotom .
Malo osvežitve spomina
Se še spomniš, kako sta definirana tangens in kotangens ostrega kota v pravokotnem trikotniku?
Tangens ostrega kota je razmerje med nasprotno in priležno kateto v pravokotnem trikotniku, kotangens pa je razmerje med priležno in nasprotno kateto v pravokotnem trikotniku.
Premisli še, kako se v pravokotnem trikotniku tangens izrazi s sinusom in kosinusom.
Naj bo dan pravokotni trikotnik s hipotenuzo in katetama in . Poglejmo si tangens kota :
Vemo že, da sinus in kosinus poljubnega kota definiramo v enotski krožnici. Sinus poljubnega kota je ordinata točke, kosinus pa abscisa točke, v kateri drugi krak kota seka enotsko krožnico.
Napišimo definicijo za tangens in kotangens poljubnega kota.
Pogledali si bomo, kje merimo tangens poljubnega kota v enotski krožnici.
Podobna trikotnika
Na spodnji sliki poglejmo trikotnika in . Trikotnika se ujemata v vseh treh kotih, zato sta podobna.
Malo osvežitve spomina
Uporabimo Talesov izrek o podobnih trikotnikih:
Od tod sledi, da je
Poleg oznak in imamo tudi oznaki tg in ctg.
Tanges in kotanges kota x
Kje torej merimo tangens in kotangens kotov do v enotski krožnici? Z miško premikaj točko na krožnico in opazuj tangens in kotangens kota .
Tangens kota v enotski krožnici merimo po tangenti na enotsko krožnico v točki , kotangens kota pa po tangenti na enotsko krožnico v točki .
Seveda pa lahko zgornji dogovor razširimo z intervala na vsa realna števila.
Funkcija tangens
Tangens je realna funkcija, podana s predpisom
Pogledali si bomo nekatere lastnosti funkcije tangens. Ničle nastopijo, kadar je , torej, ko je , kjer je celo število.
Funkcija tangens pa ni definirana za tiste , kjer je , torej, ko je , kjer je celo število.
Zapišemo lahko
V nadaljevanju bomo s pomočjo enotske krožnice opisali lastnosti funkcije tangens. Lastnosti bomo preverili za kote med . Tangens je definiran kot razmerje med sinusom in kosinusom, vemo pa, da je osnovna perioda sinusa in kosinusa . Pri povečanju kota za se tangens ohrani, kar pomeni, da je dovolj, če lastnosti tangensa preverimo za kote od do .
Vrednosti tangesa kota x
Na spodnji sliki opazuj spreminjanje rdeče daljice, ki ponazarja vrednosti tangensa kota , ko večamo kot .
S pomočjo slike odgovori na spodnja vprašanja.
1. Kako je z naraščanjem oziroma padanjem vrednosti tangensa?
Opazimo, da točka A ves čas potuje po premici
navzgor
navzdol
, kar pomeni, da kotna funkcija tangens ves čas
narašča
pada
.
2. Kaj lahko poveš o zalogi vrednosti tangensa?
Prav tako opazimo, da lahko tangens zavzame
poljubne
določene
vrednosti. Torej je zaloga vrednosti kotne funkcije tangens množica
realnih
celih
naravnih
števil.
3. Opazuj še, kdaj so vrednosti tangensa pozitivne in kdaj negativne.
Za kote, ki ležijo v prvem in tretjem kvadrantu, je vrednost tangensa
pozitivna
negativna
, kadar pa kot leži v drugem in četrtem kvadrantu, je vrednost tangensa
negativna
pozitivna
.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
1. Opazimo, da točka A ves čas potuje po premici navzgor, kar pomeni, da kotna funkcija tangens ves čas narašča.
2. Prav tako opazimo, da lahko tangens zavzame poljubne vrednosti. Torej je zaloga vrednosti kotne funkcije tangens množica realnih števil.
3. Za kote, ki ležijo v prvem in tretjem kvadrantu, je vrednost tangensa pozitivna, kadar pa kot leži v drugem in četrtem kvadrantu, je vrednost tangensa negativna.
Spreminjanje vrednosti tangesov kotov x in –x
Z miško klikni na točko in premikaj točko po enotski krožnici. Opazuj spreminjanje vrednosti tangensov kotov in .
Vrednosti tangensov kotov in sta nasprotni, velja
Torej je kotna funkcija tangens liha funkcija.
Periodična kotna funkcija
Na sliki vidimo, da se vrednost tangensa ohrani, če kotu prištejemo . Torej je kotna funkcija tangens periodična kotna funkcija z osnovno periodo .
Velja , kjer je celo število.
Zapomnimo si!
Lastnosti kotne funkcije :
Vaja 1
Nariši kot v enotski krožnici, če je in .
Na spodnji sliki sta narisana oba kota, za katera je . Če želiš preveriti potek risanja kotov in ', klikni na levi gumb pod sliko. Posamezni koraki konstrukcije kotov se ti izrišejo, ko klikaš na srednji gumb.
Vaja 2
Določi definicijsko območje in zalogo vrednosti funkcije .
Funkcija ni definirana le, kadar je
kjer je celo število.
in
Funkcija kotangens
Kotangens je realna funkcija, podana s predpisom
Podobno kot pri funkciji tangens premisli o ničlah, polih in definicijskem območju funkcije kotangens.
Ničle kotangensa nastopijo, ko je , , kjer je celo število.
Poli funkcije kotangens nastopijo, ko je , , kjer je celo število. Ko imamo določene pole funkcije kotangens, lahko zapišemo tudi njeno definicijsko območje:
Spreminjanje vrednosti kotangesa kota x
Na zgornji sliki opazuj spreminjanje vrednosti kotangensa kota z naraščanjem kota . Katere lastnosti lahko razbereš s slike?
Vrednosti kotangensa z naraščanjem kota padajo naraščajo , zato je kotangens padajoča naraščajoča kotna funkcija. Zavzame lahko poljubno majhne in poljubno velike vrednosti, torej je zaloga vrednosti funkcije kotangens množica realnih naravnih celih števil.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Vrednosti kotangensa z naraščanjem kota padajo, zato je kotangens padajoča kotna funkcija. Zavzame lahko poljubno majhne in poljubno velike vrednosti, torej je zaloga vrednosti funkcije kotangens množica realnih števil.
Opazuj vrednosti
Na sliki z miško premikaj točko in pri tem opazuj vrednosti in .
Opazimo, da sta vrednosti in nasprotni vrednosti. Velja .
To pomeni, da je kotangens liha kotna funkcija.
Kaj opaziš?
Na spodnji sliki z miško premikaj lego točke . Opaziš lahko, da sta vrednosti kotangensa kotov in med seboj enaki, zato je kotangens periodična kotna funkcija z osnovno periodo in velja
, kjer je celo število.
Lastnosti kotne funkcije kotangens:
Reši nekaj vaj
Kotna funkcija kotanges je liha kotna funkcija, zato je .
Uporabi periodičnost kotne funkcije kotanges.
Velja , kjer je celo število.
Pomagaj si z eno od prejšnjih slik.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
V ali kvadrantu.
1. naloga
Določi predznak.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
2. naloga
Natančno izračunaj.
Odlično, rešitev je pravilna.
3. naloga
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
in
Odlično, rešitev je pravilna.
Rezultati
