Vir

Ta naloga izvira iz osnovne ravni splošne mature, ki se je pisala 30. Avgusta 2004. To je deveta naloga iz te mature. Matura je v celoti dostopna na spletnem naslovu http://www.ric.si/mma_bin.php/fileN/M042-401-1-1.pdf

Besedilo

Zapišite prvih 10 členov zaporedja . Kolikšna je verjetnos dogodka, da je naključno izbrano število izme teh desetih členov deljivo s 5.

Postopek reševanja

Za reševanje te naloge sem se poslužil Excela. Najprej sem generiral števila od 0-9 in jih nato uporabil za generiranje členov zaporedje. Nato sem z ukazom MOD (ostanke pri deljenju) ugotovil kateri čelni so deljivi z 5. Z uporabo if stavka sem nato izluščil te člene. Če je bil ostanke pri deljennju s 5 enak 0 sem vrnil 1, drugače pa 0. S tem sem pridobil tudi vse potrebne podatke za izračun zahtevane verjetnosti. Kljub uporabi orodja, ta naloga še zmerja zahteva od uporabnika nekaj iznajdljivosti in poznavanje osnovnih načel verjetnosti. Poglejmo si njeno rešitev po korakih.

Najprej pripravimo zaporedje n, to so cela števila od 0-9. Nato pa v stolpcu zraven izračunamo člene zporadja. Pri tem si pomagamo tako, da v celico B2 vnesemo enačbo:

 =((A2)^2)+1  "

ki pomeni, da je vrednost v B2 enaka členu našega zaporedja, pri čemer je vrednost v A2. To enačbo uporabimo za vse vrednosti v stolpcu B s tem da spodnji desni rob celice B2 potegnemo navzdol do spodnjega levega roba celice B11. S tem smo že opravili prvi del naloge in sicer zapisalih prvih 10 členov zaporedja.

Stolpec celih števil ter stolpec členov zaporedja

V naslednje koraku moramo poiskati števila ki so deljiva s 5. Pri tem si pomagamo z funkcijo MOD, ki nam vrača ostanek pri deljenju. Če je namreč ostanke pri deljenju s 5 enak 0, potem je število deljivo s 5. Vnos tega ukaza je podoben kot vnos uakaza za izračun členov zaporedja, le da v tem primeru delamo na stolpcu C, in v celici C2 uporabimo funkcijo:

 =MOD(B2;5)  "

Stolpec ostankov pri deljenju s 5

Vendar nas v resnici ne zanima ostanke pri deljenju s 5. Temveč le dejsto ali število je oz. ni deljivo s 5. Pri tem si pomagamu z pogojnim (if) stavkom. Naš pogoj je: če je ostanke pri deljenju s 5 enak 0, potem vrni 1, če ni vrni 0. To v Excelu zapišemo v stolpec D, točneje v celico D2 ki jo nato razširimo v stolpec, z ukazom:

 =IF(C2=0;1;0))  "

V stolpcu D vidimo da imajo vrednost 1 le števila ki so deljiva s 5

Sedaj, ko so vsa naša števila deljiva s 5 označena s tem da je njiova vrednost v stolpcu D enaka 1, lahko preprosto ugtovimo verjetnost da je naključno število deljivo s 5. Ta verjetnost je kar enaka številu s 5 deljivih členov zaporedja, z številom vseh členov zaporedja (10). Število z 5 deljivih členov dobimo tako da seštejemo vse enice v stolpcu D (ker so ostale vrednosti enake 0 jih lahko zanemarimo). To naredimo z ukazom:

" =SUM(D2:D11) "

, ki ga vnesemo v celico F2, tega ukaza seveda ne razširimo na stolpec. Končni rezultat verjetnosti pa izračunamo v celici G2 in sicer kot:

" =F2/10  "

Končni izgled razpredelnice z rešitvami

Rešitev te naloge v Geogebri je dostopna na povezavi Naloga5.xls. Členi zaporedja so: 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82. Verjetnost da je naključni člen deljiv z 5 pa je 0.4.