Radi bi poznali razdaljo med drevesoma A in B, ki je neposredno ne moremo izmeriti zaradi neprehodnega terena med njima, kot prikazuje zgornja skica.

Vseeno pa nam je uspelo izmeriti razdalji drevesa A in drevesa B do iste – izhodiščne točke O, prav tako pa smo izmerili tudi kot γ med tema dvema smerema. Izmerjene količine naj bodo a=15 metrov, b=21 metrov in γ=80°.

Kako bi lahko izračunali razdaljo dreves A in B? V kakšno matematično nalogo bi lahko prevedli zgornji problem?

Naučiti se moramo, kako splošno izračunati tretjo stranico v trikotniku, v katerem poznamo drugi dve stranici in kot, ki ga oklepata. Če gre za pravokotni trikotnik, nalogo zlahka uženemo. Kako?

Recimo, da računamo stranico iz danih stranic in ter vmesnega kota .

Nalogi smo kos tudi z našim obstoječim znanjem, za dosego cilja (stranice a) pa bo potrebnih kar precej korakov. Najprej trikotnik z višino na stranico c (vc) razdelimo na dva pravokotna trikotnika, nato pa:

1. izračunamo , 2. izračunamo , 3. izračunamo višino na , 4. izračunamo .

Pod gumbom opisan računski postopek je precej dolg, ima pa še eno pomembno pomanjkljivost: uporaben je le v primerih, ko je kot oster. Da smo izračunali stranico , smo potrebovali računske korake, kar pomeni zaokroževanja vmesnih rezultatov in zato nenatančen končni rezultat.

Veliko bolje je, da vse štiri zapise strnemo v enega. To dosežemo tako, da v zadnji izraz za vstavljamo vse prej izpeljane zveze, dokler ni izražen le s podatki , in .

Dodajmo še eno pot, ki vodi do t. i. kosinusnega izreka. Prehodili jo bomo skupaj, brez bližnjic zato, ker v njej uporabimo veliko znanja, ki smo si ga do zdaj nabrali o vektorjih.

Pa začnimo.

Vrnimo se k uvodni sliki, le da tokrat na stranice trikotnika postavimo vektorje , in tako, da vektorja in oklepata kot , za vektor pa izberemo eno od možnih usmerjenosti, na primer tako, da je .

Ideja dokaza je v tem, da izračunamo na dva različna načina: prvič z uporabo distributivnosti skalarnega produkta, drugič pa po definiciji skalarnega produkta. Ko nastala izraza izenačimo in enakost preoblikujemo, dobimo iskani izrek.

1. način

2. način

Tako je

Če v zadnjem zapisu dolžine vektorjev zamenjamo z običajnimi dolžinami stranic, ponovno dobimo kosinusni izrek:

Podobne zapise dobimo pri računanju stranice iz podatkov , in oziroma stranice iz podatkov , in . Izraze zapiši sam in njihovo pravilnost preveri pod spodnjim gumbkom.

Izračunaj stranico v trikotniku, če je , , kot .
(Rezultat zaokorži na dve decimalni mesti natančno)

Se spomnite te naloge?

Rešimo nalogo, ki smo jo že srečali v poglavju o skalarnem produktu.

Izračunaj dolžino vektorja , če vektor meri enoti, vektor enoto, kot med vektorjema in pa meri .

Do zdaj smo pokazali, kako kosinusni izrek uporabljamo za računanje stranic trikotnika. Koristi nam pa lahko še drugače: če poznamo vse tri trikotnikove stranice, lahko izračunamo katerega koli od trikotnikovih notranjih kotov.

Zapiši kosinusni izrek za računanje stranice in poskusi izraziti faktor, ki vsebuje kot , se pravi, izrazi .

Podobna izraza bi dobili tudi, če bi nas zanimal kot ali kot . Izraza zapiši sam in ju preveri pod spodnjim gumbkom.

Izpeljane obrazce lahko uporabimo v kateri koli vrsti trikotnikov. Ker lahko večkotnike vedno razdelimo v trikotnike, lahko s kosinusnim izrekom računamo tudi diagonale, višine, tetive, notranje kote in kote med diagonalami v večkotnikih ... Pomembno je samo, da podatki v trikotniku znotraj večjih likov ali teles ustrezajo zahtevam za uporabo kosinusnega izreka, kar pomeni:

• dani sta dve trikotnikovi stranici in njun vmesni kot ali
• dane so vse trikotnikove stranice.

Naloga: Izračunaj še drugo diagonalo in notranja kota in paralelograma, v katerem je , in diagonala .
(Rezultate zaokorži na dve decimalni mesti natančno.)

cm
°
°

Poglejmo, kaj se zgodi, če v kosinusnem izreku za stranico upoštevamo, da je kot , da je torej trikotnik, s katerim imamo opravka, pravokoten. Potem je:

Nastal je ... seveda! Pitagorov izrek!

Z uporabo kosinusnega izreka dokaži naslednje: če v trikotniku med stranicami velja zveza a^2+b^2=c^2, je trikotnik pravokoten.

Izračunaj vse notranje kote, obe diagonali in višino trapeza, če poznaš vse njegove stranice: , , in .
(Rezultat zaokorži na dve decimalni mesti natančno.)

°
°
°
°

cm
cm
cm

Izračunaj neznano stranico in notranja kota trikotnika, v katerem je , , kot .
(Rezultat zaokorži na dve decimalni mesti natančno.)
°
°

cm

Izračunaj vse notranje kote trikotnika, če so njegove stranice v razmerju .
(Rezultat zaokorži na dve decimalni mesti natančno.)

°
°
°

V deltoidu , v katerem je diagonala os simetrije, je , in kot . Izračunaj še ostale tri notranje kote , in ter obe diagonali in .

(Rezultat zaokorži na dve decimalni mesti natančno.)

°
°
°
°

cm
cm

V pravilnem šestkotniku s stranico izračunaj dolžino krajših diagonal (npr. ) tako, da uporabiš: kosinusni izrek, kotno funkcijo, lastnosti enakostraničnega trikotnika. Poveži med seboj računsko metodo in njen rezultat:

V kocki izračunaj kot med telesno diagonalo in ploskovno diagonalo .
(Rezultat zaokorži na dve decimalni mesti natančno)
°

V pravilnem osemkotniku s stranico izračunaj dolžine diagonal , , .

(Rezultat zaokorži na dve decimalni mesti natančno.)

cm
cm
cm