Z miško klikni na točko in jo premikaj po enotski krožnici. S premikanjem točke se spreminja velikost kota . Pri tem opazuj vrednosti tangensa in kotangensa kota .

Kje merimo tangens in kotangens kota v enotski krožnici?
Tangens kota v enotski krožnici merimo po tangenti na enotsko krožnico v točki , kotangens kota pa po tangenti na enotsko krožnico v točki .

Za katere kote sta vrednosti tangensa in kotangensa pozitivni in za katere negativni?
Vrednosti tangensa in kotangensa kota sta pozitivni, kadar kot leži v prvem in tretjem kvadrantu, drugače sta vrednosti negativni.

Kako je z naraščanjem oziroma padanjem vrednosti tangensa in kotangensa?
Vrednosti tangensa z naraščanjem kota naraščajo, vrednosti kotangensa pa padajo. Funkciji tangens in kotangens sta monotoni funkciji.

Ponovimo nekaj osnovnih lastnosti funkcije tangens.

Vrednost tangensa kota je odvisna od velikosti kota. Graf funkcije tangens bomo narisali tako, da bomo na abscisno os nanašali vrednost kota v radianih, na ordinatno os pa vrednost tangensa.

Najprej bomo narisali graf funkcije tangens na intervalu do . Na sliki klikni z miško na točko , nato z miško premikaj točko po enotski krožnici od do . V koordinatnem sistemu se izrisuje graf funkcije tangens.

Vemo, da je tangens liha funkcija, zato je graf simetričen glede na koordinatno izhodišče.

Vsako točko na dobljenem grafu bomo prezrcalili prek koordinatnega izhodišča. Z miško klikni na modro točko in nato z miško premikaj rdečo točko po že narisanem grafu funkcije tangens. S tem bomo dobili graf funkcije tangens na intervalu od do .

Na prejšnji sliki imamo narisan graf funkcije tangens na intervalu dolžine . Ker je tangens periodična funkcija z osnovno periodo , se graf funkcije na vseh drugih intervalih dolžine ponovi. S tem dobimo graf funkcije tangens na njenem celotnem definicijskem območju.

Se še spomniš zveze med tangensom in kotangensom?

Vrednosti tangensa in kotangensa sta med seboj obratni:

Narisali smo že graf funkcije tangens; z njegovo pomočjo bomo prišli do grafa funkcije kotangens.

Upoštevaj adicijske izreke in z vstavljanjem predznaka "+" ali "–" pomagaj izpeljati zvezi, ki nam bosta pri tem v pomoč.

.

Preveri

Tangens je razmerje med sinusom in kosinusom, kotangens pa razmerje med kosinusom in sinusom. V predpisu

S prejšnjim računom smo ugotovili, da lahko graf funkcije kotangens narišemo s pomočjo transformacij grafa funkcije tangens.

Najprej bomo narisali krivuljo .

Kako iz grafa funkcije tangens dobimo graf funkcije ?
Graf funkcije dobimo tako, da graf funkcije tangens vzporedno premaknemo za v levo.

Kako iz grafa funkcije dobimo graf funkcije ? Katero transformacijo bi pri tem uporabili?
Uporabimo zrcaljenje prek osi.

Na spodnji sliki so predstavljeni posamezni koraki risanja grafa funkcije kotangens.

Naštejmo sedaj lastnosti funkcije kotangens.

Dana je funkcija s predpisom . Izračunaj ničle in pole funkcije , določi periodo ter nariši njen graf.

Najprej izračunajmo ničle funkcije .
Ničle nastopijo, ko je , , kjer je celo število.

Naštejmo nekaj ničel: ... , , , , , , , ...

Izračunajmo pole funkcije .
Poli funkcije nastopijo, ko je , , kjer je celo število.

Poiščimo še periodo funkcije .
.

Od tod sledi, da je perioda funkcije enaka .

V isti koordinatni sistem narišimo grafa funkcij in .

Opazuj grafa obeh funkcij. V čem se razlikujeta?
Spremeni se le strmina grafa funkcije; graf funkcije je strmejša krivulja.

Ohranita se definicijsko območje in zaloga vrednosti, prav tako se ne spremeni perioda funkcije.

Dana je funkcija s predpisom .

Zapiši definicijsko območje in zalogo vrednosti funkcije .

Preveri

Določi osnovno periodo funkcije .

Osnovna perioda funkcije je:

Preveri

Računsko določi presečišča grafa funkcije s premico . Na sliki preveri rezultat.

Presečišča grafa funkcije in premice z enačbo so:

Preveri

Na podlagi zadnjih treh primerov premisli, kaj v množici parametrov, s katerimi podamo predpis funkcije, vpliva na periodo funkcije ?

Na periodo funkcije vpliva samo parameter . Do periode pridemo tako, da osnovno periodo tangensa delimo z .

Ali velja enako tudi za kotangens?
Seveda velja enako tudi za kotangens.

Zapomnimo si:

Zapiši periodo naslednjih funkcij.

Preveri

Zapiši pole naslednjih funkcij.

Preveri

Preveri

Zapiši vse ničle funkcije na intervalu .

Preveri

Dana je funkcija s predpisom .

a) Zapiši definicijsko območje in zalogo vrednosti funkcije .
b) Določi osnovno periodo funkcije .
c) Izračunaj ničle in začetno vrednost funkcije .
d) Nariši graf funkcije .

Preveri

Graf funkcije