Dana je enačba
kjer je poljubno realno število. Koliko rešitev ima enačba?
Grafično dobimo rešitve enačbe kot presečišča krivulje in premice z enačbo . Poglejmo si na sliki.
Krožne funkcije
Krožne funkcije
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Funkcija arkus sinus
Presečišče premice in sinusoide
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Kadar je .
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Neskončno mnogo rešitev.
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Kvečjemu tri rešitve.
Presečišče premice in sinusoide
Ko omejimo interval, na katerem iščemo ustrezne rešitve enačbe, se nam število rešitev zmanjša. Želeli bi se omejiti na tak interval, da bi enačba imela natanko eno rešitev. Izberemo interval .
Z miško premikaj točko po daljici. S tem spreminjaš lego premice z enačbo . Opazuj presečišče krivulje in premice z enačbo in poišči približni rešitvi enačb. Pomagaj si s sliko.
Odlično, rešitev je pravilna!
Inverzna funkcija
Če želimo poiskati natančno rešitev enačbe, potrebujemo inverzno funkcijo k funkciji sinus. Inverzna funkcija k dani funkciji obstaja, kadar je dana funkcija bijektivna, torej ko je surjektivna in injektivna hkrati. Poglejmo si funkcijo:
Je ta funkcija bijektivna? Vemo že, da je injektivna. Interval z zgornje slike smo omejili tako, da premica seka sinusoido na intervalu kvečjemu enkrat.
Kaj pa surjektivnost? Surjektivna ni, saj ne zavzame vrednosti, ki so manjše od in večje kot . Surjektivnost preslikave zagotovimo tako, da skrčimo kodomeno, torej je funkcija bijektivna.
Torej obstaja inverzna funkcija.
Reši 1
Pomagaj si s sliko in dopolni tabelo.
Z miško premikaj točko po daljici in opazuj presečišče premice in krivulje . Dopolni.
Odlično, rešitev je pravilna!
Arkus sinus
Vidimo, da za vsak obstaja natanko en , da velja . Takemu pravimo arkus sinus.
Izračunajmo: , saj je in
, saj je .
S tem smo prišli do funkcije, ki je inverzna funkcija k funkciji sinus. Zapomnimo si:
Narišimo še graf funkcije . Graf inverzne funkcije k dani funkciji dobimo tako, da graf prvotne funkcije prezrcalimo prek simetrale lihih kvadrantov. Torej bomo preko simetrale lihih kvadrantov zrcalili graf funkcije sinus na intervalu .
Graf funkcije arkus sinus
Na spodnji sliki z miško klikni na točko , nato z miško premikaj točko po grafu funkcije na intervalu . Pri tem se bo na grafu z rdečo barvo izrisoval graf funkcije arkus sinus.
Opiši lastnosti funkcije arkus sinus. Pomagaj si s sliko.
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
- Definicijsko območje funkcije arkus sinus je interval .
- Zaloga vrednosti funkcije arkus sinus je interval .
- Funkcija arkus sinus je liha funkcija, saj je njen graf simetričen glede na koordinatno izhodišče.
- Funkcija arkus sinus je navzdol omejena z , navzgor pa s , torej je omejena funkcija.
Premisli o zalogi vrednosti funkcije arkus sinus.
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
, saj je .
Odlično, rešitev je pravilna!
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Račun je pravilen, saj sta sinus in arkus sinus inverzni funkciji.
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Izraz nima vrednosti, saj ne obstaja.
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
- Vrednost izraza je .
- Čeprav sta sinus in arkus sinus inverzni funkciji, vrednost izraza ni enaka kar , saj mora vrednost arkus sinusa ležati na intervalu
Vrednost izraza torej izračunamo:
Premisli in odgovori na vprašanja
1. Ali vrednost izraza vedno obstaja?
Vrednost izraza obstaja za tiste , kjer je funkcija arkus sinus definirana, torej za , ki so med in .
2. Če vrednost izraza obstaja, čemu je enaka?
3. Kdaj obstaja vrednost izraza in kako jo izračunamo?
Vrednost izraza
nikoli ne
včasih
vedno
obstaja, saj obstaja sinus poljubnega kota, ki zavzame vrednosti med in .
Če je na intervalu , potem je , drugače s pomočjo periodičnosti in zvez med kotnimi funkcijami suplementarnih kotov zapišemo kot sinus kota iz intervala .
Ugotovitve strnimo in si zapomnimo:
, če je ,
, če je .
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
1. in
2.
3. vedno, in
Funkcija arkus kosinus
Če želimo poiskati inverzno funkcijo k funkciji kosinus, je tudi tu treba malo več pazljivosti. Kakor pri iskanju inverzne funkcije k sinusu se tudi tu omejimo na določen interval. Poglejmo si funkcijo
Ta funkcija je injektivna, saj imata vsaka dva različna kota na intervalu različni vrednosti kosinusa. Preslikava pa ni surjektivna, saj ne obstaja kot, katerega vrednost bi bila več kot ali pa manj kot . Zato tudi tu spremenimo kodomeno. Poglejmo si torej funkcijo:
Ta funkcija je bijektivna, zato obstaja njej inverzna funkcija.
Funkcija arkus kosinus
Na spodnji sliki je narisan graf funkcije na intervalu od . Z miško premikaj točko po daljici in opazuj, koliko presečišč imata premica in graf funkcije na izbranem intervalu.
Funkcija arkus kosinus
Poglejmo si enačbo .
Za vsak obstaja natanko določen iz intervala , ki zadošča tej enačbi. Takemu pravimo arkus kosinus.
, saj je in
, saj je .
S tem smo prišli do funkcije, ki je inverzna funkcija k funkciji kosinus. Zapomnimo si:
Narišimo še graf funkcije arkus kosinus. Narisali ga bomo tako, da bomo graf funkcije kosinus na intervalu prezrcalili prek simetrale lihih kvadrantov.
Risanje grafa funkcije arkus kosinus
Na spodnji sliki z miško najprej klikni na rdečo točko , nato pa z miško premikaj točko po grafu funkcije na intervalu . Pri tem se bo v koordinatnem sistemu z rdečo barvo izrisoval graf inverzne funkcije, torej graf funkcije arkus kosinus.
Lastnosti funkcije arkus kosinus
Definicijsko območje je interval , zaloga vrednosti pa interval .
Funkcija pada povsod, kjer je definirana.
Funkcija ni niti soda niti liha.
Funkcija arkus kosinus je omejena; navzdol z , navzgor pa s .
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
, saj je .
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Z grafa funkcije arkus kosinus razberemo, da arkus kosinus ne zavzame negativnih vrednosti. Prav tako opazimo, da je vrednost med in .
Vprašamo se, za kateri kot med in velja, da je . To je kot . Torej je .
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
, saj sta kosinus in arkus kosinus inverzni funkciji.
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Vrednost izraza ne obstaja, saj ne moremo izračunati vrednosti . Arkus kosinus obstaja le za vrednosti med in .
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Reši 7
Kako pridemo do grafa funkcije s pomočjo transformacij grafa funkcije arkus kosinus?
Najprej narišemo krivuljo , nato jo premaknemo za v desno v smeri osi, nato pa še za navzgor v smeri osi.
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Funkcija arkus kosinus je definirana na intervalu , torej mora veljati:
Definicijsko območje funkcije je interval .
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Začetno vrednost funkcije izračunamo:
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Ničla funkcije nastopi, kadar je ,
Takšen ne obstaja, saj arkus kosinus zavzema vrednosti med in . Funkcija nima ničle.
Funkcija arkus tangens
Poiskali bomo inverzno funkcijo k funkciji tangens. Se še spomniš grafa funkcije tangens?
Na sliki vidimo, da tudi funkcija tangens ni bijektivna funkcija, zato se zopet omejimo na določen interval, in sicer si izberemo interval . S tem si zagotovimo bijektivnost preslikave:
Ker je tako podana preslikava bijektivna, obstaja inverzna funkcija.
Funkcija arkus tangens
Poglejmo si enačbo .
Za vsak iz množice realnih števil obstaja natanko en z intervala , da velja . Takemu pravimo arkus tangens.
S tem smo prišli do funkcije, ki je inverzna funkcija k funkciji tangens. Zapomnimo si:
Graf funkcije arkus tangens
Graf funkcije arkus tangens dobimo tako, da graf funkcije tangens na intervalu prezrcalimo prek simetrale lihih kvadrantov.
Lastnosti funkcije arkus tangens
Pri opisovanju lastnosti funkcije arkus tangens si pomagaj z njenim grafom.
Zapiši definicijsko območje funkcije .
Definicijsko območje funkcije so vsa realna števila.
Določi zalogo vrednosti funkcije .
Zaloga vrednosti funkcije je interval .
Opiši naraščanje oziroma padanje funkcije .
Funkcija arkus tangens je naraščajoča funkcija povsod, zato je tudi monotona.
Kaj lahko poveš o sodosti oziroma lihosti funkcije arkus tangens?
Funkcija je liha, saj je graf simetričen glede na koordintano izhodišče. Zato velja:
Ima funkcija kakšne asimptote? Če jih ima, zapiši njihove enačbe.
Funkcija ima dve vodoravni asimptoti, njuni enačbi sta in .
Ali je funkcija arkus tangens omejena?
Funkcija je navzdol omejena z , navzgor pa s , torej je omejena funkcija.
1. naloga
Natančno izračunaj vrednosti izrazov.
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
3. naloga
Natančno določi vrednost izrazov.
Odlično, rešitev je pravilna!
4. naloga
Dana je funkcija s predpisom .
a) Zapiši definicijsko območje funkcije .
b) Izračunaj ničlo in začetno vrednost dane funkcije.
c) Določi točko na grafu funkcije z ordinato .
d) Nariši graf funkcije .
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
| Definicijsko območje: | |
| Ničla: | |
| Začetna vrednost: | |
| Točka : |
Rezultati
- Funkcija arkus sinus
- Presečišče premice in sinusoide
- Inverzna funkcija
- Reši 1
- Arkus sinus
- Graf funkcije arkus sinus
- Reši 2
- Reši 3
- Premisli in odgovori na vprašanja
- Funkcija arkus kosinus
- Risanje grafa funkcije arkus kosinus
- Lastnosti funkcije arkus kosinus
- Reši 4
- Reši 5
- Reši 6
- Reši 7
- Funkcija arkus tangens
- Graf funkcije arkus tangens
- Lastnosti funkcije arkus tangens
- 1. naloga
- 2. naloga
- 3. naloga
- 4. naloga
- Rezultati
