Enačbe I
Enačbe I
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Rešimo enačbo 1
Rešimo enačbo
Vemo, da je sinus poljubnega kota v enotski krožnici definiran kot ordinata točke, v kateri drugi krak kota seka enotsko krožnico. Premica z enačbo seka enotsko krožnico v dveh točkah, in . Poltraka skozi izhodišče in točki oziroma sta druga kraka kota, katerega sinus je enak . Torej sta in rešitvi naše enačbe.
Iz slike vidimo, da kot leži v prvem kvadrantu in je enak , saj je . Kot je kotu suplementarni kot, ki leži v drugem kvadrantu in ga dobimo tako, da od odštejemo , torej je . Vprašajmo pa se, ali sta to edini dve rešitvi enačbe.
Ali obstaja še kakšen kot, katerega sinus je enak ?
Vemo, da je sinus periodična funkcija z osnovno periodo , kar pomeni, da so rešitve enačbe vsi koti, ki se od in razlikujejo za večkratnik . Naša enačba ima torej neskončno mnogo rešitev.
Rešitve naše enačbe so:
in
Poglejmo si enačbo
Iz slike vidimo, da premica z enačbo nikjer ne seka enotske krožnice.
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Sinus je omejena funkcija, ki zavzema le vrednosti med in , torej naša enačba nima rešitev.
Rešimo enačbo 2
Pri zapisu rešitev enačbe si bomo pomagali s funkcijo arkus sinus, ki je inverzna funkcija k funkciji sinus in smo jo obravnavali v prejšnjem gradivu.
Naša enačba ima za na intervalu od dve rešitvi, v tretjem in četrtem kvadrantu, to sta in . Ker pa je sinus periodična funkcija z osnovno periodo , so rešitve enačbe:
pri čemer je celo število.
Poglejmo si rešitve trigonometrične enačbe . Če je , enačba nima rešitev, saj je sinus omejena funkcija, ki zavzema le vrednosti med in .
Če je , pa rešitve imamo.
Zapomnimo si, da ima
enačba , dve družini rešitev:
,
, kjer je celo število.
Rešimo še tri enačbe
Enačbo že znamo rešiti, saj je ob pogledu na enotsko krožnico takoj jasno, da ji zadoščajo koti, ki so večkratniki ; , kjer je celo število.
Poglejmo, ali dobimo enak rezultat, če rešujemo po postopku, ki smo se ga naučili v tem gradivu.
Rešitve enačbe so:
in
, kjer je celo število.
Ta dva zapisa rešitev lahko združimo in zapišemo:
, kjer je celo število.
Dobili smo enak rezultat. Pri nekaterih enačbah se da dve družini rešitev združiti in ju zapisati kot eno družino. Samostojno poskusi zapisati rešitve še za naslednji dve enačbi.
Rešitev enačbe je: | Rešitev enačbe je: |
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Zapisa rešitev lahko združimo in dobimo:
, kjer je celo število.
Odlično, rešitev je pravilna!
Poglejmo si še enačbo s kosinusom
Poglejmo v enotski krožnici, kje ležijo koti, ki so rešitve enačbe.
Poglejmo si še enačbo s kosinusom
Rešitve enačbe lahko zapišemo:
, kjer je celo število.
Druga družina rešitev pa je:
, kjer je celo število.
Tudi pri reševanju enačb si bomo pomagali z inverzno funkcijo. Uporabili bomo arkus kosinus, ki smo ga spoznali v prejšnjem gradivu.
V splošnem velja, da ima
enačba , dve družini rešitev:
kjer je celo število.
Reši sam
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
, , kjer je celo število
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
, , kjer je celo število
Odlično, rešitev je pravilna!
Za izziv reši enačbo
Odlično, rešitev je pravilna!
Preveri svoje znanje
Premisli o številu rešitev trigonometričnih enačb.
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Izjava ni pravilna.
Če rešitve trigonometrične enačbe obstajajo, jih je neskončno mnogo, saj so kotne funkcije peridočne funkcije.
Torej so rešitve zgornje enačbe:
, kjer je celo število.
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Izjava ni pravilna.
Sinus je omejena kotna funkcija, ki zavzema le vrednosti med in . Število je večje kot , zato enačba nima rešitev.
Še enačba s tangensom
Tangens je pozitiven v in kvadrantu. Kota, ki zadoščata enačbi, sta in . Ti dve rešitvi se razlikujeta za . Osnovna perioda tangensa je π, zato lahko ti dve rešitvi združimo in zapišemo:
, pri čemer je celo število.
V splošnem zapišemo:
, pri čemer je poljubno realno število.
, kjer je celo število.
Reši še eno nalogo za konec
Najmanjša vrednost funkcije je , ki jo doseže v točkah, kjer zavzame funkcija sinus vrednost .
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Ničle funkcije
pri čemer je celo število.
Točke
Najmanjšo vrednost doseže funkcija v točkah
, kjer je celo število.
Presečišča
, kjer je celo število
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
in , kjer je
Odlično, rešitev je pravilna!
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
in , kjer je
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
, kjer je
Odlično, rešitev je pravilna!
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Enačbo rešimo tako, da izrazimo iz enačbe . Potem je . Dobimo družine rešitev, to so in . Rešitev pa lahko poenostavimo in zapišemo , kjer je .
Odlično, rešitev je pravilna!
4. naloga
Odlično, rešitev je pravilna!
5. naloga
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
in , kjer je
Odlično, rešitev je pravilna!
Rezultati
