Spoznali bomo nekaj enačb, pri katerih z usvojenim znanjem trigonometrije hitro pridemo do rešitev. Ogledali si bomo nekaj tipov reševanja enačb.
Enačbe II
Enačbe II
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Uvod
I. tip enačb
Rešimo enačbo:
V tej enačbi vidimo, da nastopata dve različni kotni funkciji ter dva različna argumenta pri sinusu in kosinusu. Enačbo bomo preuredili tako, da bo nastopala ena kotna funkcija enojnega kota. Za kosinus dvojnega kota uporabimo formulo in dobimo enačbo:
Nato še kosinus izrazimo s sinusom, da dobimo v enačbi samo eno kotno funkcijo.
Uvedemo novo neznanko in dobimo kvadratno enačbo:
Nato kvadratno enačbo rešimo.
Rešimo kvadratno enačbo
Kvadratna enačba:
in
S tem smo dobili preprosti trigonometrični enačbi in .
Rešitve so:
1. način reševanja: levo stran enačbe razstavimo po Vietovem pravilu:
nato zapišemo rešitvi.
2. način reševanja: uporabimo obrazec za izračun rešitev kvadratne enačbe:
Samostojno reši enačbo
Odlično, rešitev je pravilna!
II. tip enačb: FAKTORIZACIJA
Rešimo enačbo:
Če bi poskušali v tej enačbi člena in preoblikovati tako, da bi imeli enak argument, bi v delo vložili ogromno časa in truda. Zato bomo poskušali rešiti enačbo kako drugače. Na levi strani enačbe imamo dva člena, na desni strani pa imamo število . Levo stran bomo preoblikovali tako, da bomo dobili en sam člen. Torej bomo razliko dveh kotnih funkcij preoblikovali v produkt:
Enačbo delimo z in upoštevamo, da je produkt dveh faktorjev enak natanko takrat, ko je vsaj eden od faktorjev enak . Zapišemo:
a)
b)
Najprej preoblikuj levo stran enačbe tako, da boš dobil dve enaki kotni funkciji. To narediš tako, da uporabiš zvezo med kotnimi fukcijami komplementarnih kotov. Nato spremeni vsoto dveh kotnih funkcij v produkt.
Odlično, rešitev je pravilna!
Reši enačbo 2
Enačbo preoblikuj tako, da bo na obeh straneh samo ena kotna funkcija. Dopolni enačbo:
Preveri
Nato uporabi formulo za faktorizacijo izrazov, v katerih nastopajo kotne funkcije. V spodnji enačbi vstavi oznake za ustrezne kotne funkcije.
Preveri
Obe strani enačbe deli z , upoštevaj lihost kotne funkcije sinus, vse člene zapiši na eno stran enačbe in nato izpostavi največji skupni faktor. Dobiš naslednjo enačbo. Dopolni jo.
Preveri
Dobiš dve enačbi:
in , ki ju reši.
Rešitev enačbe je:
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna!
Reši enačbo 3
Odlično, rešitev je pravilna!
III. tip enačb: METODA POLOVIČNIH KOTOV
Reši enačbo:
Enačba se od prejšnjih razlikuje v tem, da imamo na desni strani enačbe neničelni člen. Pretvorba razlike dveh kotnih funkcij v produkt nam torej ne olajša reševanja. Enačbo bomo rešili s tako imenovano metodo polovičnih kotov.
Uporabimo zvezi med kotnimi funkcijami dvojnih kotov. Zapiši ju.
in
.
Preveri
Na desni strani enačbe pa uporabimo enakost: .
Dobimo enačbo:
Obe strani enačbe delimo s in dobimo:
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
III. tip enačb: METODA POLOVIČNIH KOTOV
Uvedemo novo neznanko , enačbo uredimo in jo nato rešimo.
Torej je in .
Dobimo dve preprosti trigonometrični enačbi, ki ju rešimo. Rešitve so:
Pri reševanju enačbe smo delili obe strani enačbe s . Kaj pa v primeru, da je ?
Potem iz zgornje enačbe sledi, da je , torej je .
Takšen ne obstaja, torej je v tem primeru različen od in deljenje poteka brez zapletov.
Reši enačbo 4
Odlično, rešitev je pravilna!
IV. tip enačb: RAZČLENITEV
Kako pa bi se lotili reševanja enačb, v katerih nastopata na obeh straneh enačbe produkta dveh kotnih funkcij? Poglejmo si naslednji primer.
Reši enačbo 5
Uporabimo obrazce, s katerimi pretvorimo produkt dveh kotnih funkcij v vsoto oziroma razliko. Se jih še spomniš?
Dopolni obrazce:
,
,
.
Uporabimo zgornje obrazce, uredimo enačbo in zapišemo:
Dobili smo vsoto dveh kosinusov, kar pretvorimo v produkt:
Rešitve te enačbe so:
kjer je celo število.
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Po navodilih reši enačbo
Najprej spremeni tangensa v kvociente sinusov in kosinusov.
Oba ulomka zapiši na eno stran enačbe in ulomka odštej.
V števcu uporabi adicijski izrek za razliko sinusov.
Števec izenačiš z in rešiš enačbo.
Rešitev enačbe je:
Odlično, rešitev je pravilna!
Še naloga za konec
Dani imamo funkciji s predpisoma in . Računsko določimo presečišča grafov funkcij in . Na spodnji sliki lahko preveriš svoj rezultat.
in
Prva enačba nima rešitve, saj je sinus omejena kotna funkcija, ki dosega le vrednosti med in . Rešitve druge enačbe pa so: , kjer je celo število.
Še naloga za konec
S tem smo dobili abscise presečišč, izračunajmo še ordinate.
Presečišča grafov funkcij so točke
kjer je celo število.
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
kjer je
Odlično, rešitev je pravilna!
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
kjer je
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
kjer je
Odlično, rešitev je pravilna!
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
kjer je
Odlično, rešitev je pravilna!
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
kjer je
Odlično, rešitev je pravilna!
5. naloga
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
in
kjer je
Rezultati
- Uvod
- I. tip enačb
- Rešimo kvadratno enačbo
- Samostojno reši enačbo
- II. tip enačb: FAKTORIZACIJA
- Reši enačbo 1
- Reši enačbo 2
- Reši enačbo 3
- III. tip enačb: METODA POLOVIČNIH KOTOV
- Reši enačbo 4
- IV. tip enačb: RAZČLENITEV
- Reši enačbo 5
- Po navodilih reši enačbo
- Še naloga za konec
- 1. naloga
- 2. naloga
- 3. naloga
- 4. naloga
- 5. naloga
- Rezultati
