Že v osnovni šoli so nas naučili, da je ploščina trikotnika enaka polovici ploščine pravokotnika s stranicama in . Kaj pa, če teh dveh podatkov nimamo? Obstaja mnogo načinov, kako izračunati ploščino trikotnika z drugimi podatki. Za začetek si oglejmo tiste, pri katerih so vhodni podatki dolžine trikotnikovih stranic in velikosti njegovih notranjih kotov.
Heronov obrazec
Heronov obrazec
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Izračuni ploščin trikotnika na že znane načine
Izračuni ploščin trikotnika na že znane načine
V pravokotnem trikotniku je oz. , zato lahko ploščino trikotnika izračunamo kot .
Če je kot topi, je
in ostane formula enaka. V zgornji enakosti lahko vloge stranic tudi ciklično zamenjamo.
Ploščina trikotnika je enaka polovici produkta dveh trikotnikovih stranic in sinusa kota med njima.
Formulo lahko z uporabo sinusnega izreka še malce preoblikujemo. Stranico znamo izraziti kot in ploščina trikotnika je potem
Vloge stranic in kotov lahko v zgornji formuli ciklično zamenjujemo.
Kako lahko ploščino trikotnika izračunamo s pomočjo stranice ter kotov in ?
Kot in
Omenjeni formuli za izračun ploščine sta zelo uporabni pri meritvah zemljišč.
Zgled 1
Radi bi določili površino zemljišča, označenega s koli (točkami) , in . Geometer je izmeril razdalje med koli in jih zapisal na spodnjo sliko. Ker je zemljišče močvirnato, si dodatnih meritev ne moremo privoščiti.
Združimo vse znanje o trikotnikih in izračunajmo ploščino trikotnika .
Namig: uporabili bomo formulo . Podane imamo pa vse tri trikotnikove stranice. Kako izračunati sinus kota ?
Zgled 1
Kosinusni izrek
Iz podanih vseh treh trikotnikovih stranic znamo izračunati kosinus kota :
Za izračun ploščine pa potrebujemo vrednost sinusa kota . Kako naprej?
Zveza med sinusom in kosinusom
Spomnimo se osnovne zveze med kotnima funkcijama sinus in kosinus:
Od tod lahko izračunamo, da je
Površina zemljišča
Zdaj znamo brez težav izračunati ploščino trikotnika :
Mimogrede nas je naloga tajno vodila skozi samo izpeljavo Heronovega izreka. Če ste bili pozorni, smo izračunali ploščino trikotnika iz podanih trikotnikovih stranic.
Zgled 2
Mejaša Janez in Franci se želita izogniti mejniku sredi Janezovega travnika in mejo izravnati od vrbe do točke ob potoku, tako da bi njuni zemljišči ostali površinsko enaki. Za ponazoritev situacije si oglejmo slike.
Geometer zna izmeriti dolžino stranic in ter kota in . Koliko mora biti točka oddaljena od točke ?
Ploščina trikotnika mora biti enaka ploščini trikotnika oz. trikotnika in morata biti ploščinsko enaka. Zato je
in
Stranico izračunamo s pomočjo kosinusnega izreka v trikotniku :
kot pa s pomočjo sinusnega izreka:
|
| 
|
Heronov obrazec
Kaj pa če v trikotniku ne poznamo velikosti nobenega kota? Imamo pa v rokah meter, s katerim znamo izmeriti dolžine trikotnikovih stranic.
Ploščino trikotnika nam bo v tem primeru pomagal izračunati Heronov obrazec.
Ploščino trikotnika lahko izračunamo s pomočjo dolžine njegovih stranic:
kjer je polovični obseg trikotnika. Formulo imenujemo Heronov obrazec.
| Heron je bil mislec, ki je živel v 1. stoletju v Aleksandriji (Egipt). Znan je predvsem po svojih izumih in rešenih problemih na področju mehanike (pripisujejo mu tudi izum parne turbine). Njegov največji matematični dosežek je formula za izračun ploščine trikotnika. |
Izpeljava Heronovega obrazca
V spodnjih vrsticah je izpeljan Heronov obrazec. Delno smo izpeljavi s konkretnimi podatki že sledili pri zgledu 1.
V formuli bomo izrazili s trikotnikovimi stranicami ( smo izrazili po kosinusnem izreku):
Zaradi krajše pisave zapišimo formulo s polovičnim obsegom (izraz smo nadomestili z izrazom ; podobno smo zapisali tudi druge nastopajoče izraze):
in
Izračunaj sam
Koliko meri ploščina trikotnika s stranicami, dolgimi , in enot?
Preveri
Koliko meri krajša diagonala deltoida s stranicami in cm, če meri daljša diagonala cm? Najprej izračunaj ploščino deltoida kot vsoto dveh skladnih trikotnikov (oklepata ju obe stranici deltoida in njegova daljša diagonala), potem pa uporabi za izračun ploščine formulo, kjer nastopata obe diagonali.
Odlično, odgovor je pravilen!
To pa ne bo držalo. Rešitev je.
Odlično, odgovor je pravilen!
To pa ne bo držalo. Rešitev je.
Zgled 3
Odlično, odgovor je pravilen!
To pa ne bo držalo.
Ploščina celotnega trikotnika meri
Višino na vodoravno stranico v velikem trikotniku izračunamo iz ploščine:
Ker imajo velik trikotnik in oba manjša trikotnika enako višino na vodoravno stranico, meri ploščina osenčnega dela
Zgled 4
Za konec se s Heronovim obrazcem še enkrat prepričaj o pravilnosti formule za izračun ploščine enakostraničnega trikotnika s stranico .
1. naloga
Ploščina trikotnika, katerega stranice so v razmerju , meri dm. Koliko merijo stranice trikotnika?
Stranice trikotnika merijo:
Odlično, odgovor je pravilen!
2. naloga
Iz trikotnika , katerega stranice merijo dm, cm in cm, oblikujemo triperesno deteljico tako, da nad vsako stranico narišemo polkrog. Koliko meri ploščina tako dobljenega lika (izračun naj bo natančen)?
Ploščina meri:
Odlično, odgovor je pravilen!
3. naloga
Najprej izračunaj ploščino trikotnika, ki ga dobiš, če enega od krakov vzporedno premakneš v drugo oglišče, potem pa še ploščino paralelograma. Ploščina naj bo izračunana na dve decimalni mesti natančno.
Odlično, odgovor je pravilen!
4. naloga
V deltoidu meri stranica cm, stranica cm, diagonala pa cm. Diagonala razdeli deltoid na dva trikotnika, ki nista skladna. Natančno izračunaj ploščino manjšega trikotnika.
Ploščina manjšega trikotnika je:
Odlično, odgovor je pravilen!
Rezultati
