Sinusni izrek nam je razrešil nekaj primerov kako iz ustreznih treh podatkov izračunati dolžine preostalih stranic in velikosti manjkajočih kotov. Si pa z njim vedno ne moremo pomagati. Na pomoč nam bo priskočil še kosinusni izrek, ki nam bo povedal kako iz znanih dolžin dveh stranic in velikosti kota med njima izračunamo dolžino tretje stranice ali pa nam bo iz dolžin treh trikotnikovih stranic izračunal velikost poljubnega kota v danem trikotniku.

Oba izreka skupaj nam iz treh podatkov v trikotniku povesta kako dolge so manjkajoče stranice ali kako veliki so manjkajoči koti.

Narišimo poljubni trikotnik z ostrim kotom , označimo oglišča in stranice ter višino na stranico z nožiščem v .

Iz pravokotnih trikotnikov in razberemo, da je

in

Ker je v pravokotnem trikotniku oz.

Tudi če je kot topi (glej spodnjo sliko), ostane sklep isti.

Podobno bi lahko sklepali tudi pri izračunu in ter izpeljali še zvezi za izračun stranic in .

Zgornjih zvez se ne bomo učili na pamet, temveč si bomo zapomnili:

kvadrat stranice je vsota kvadratov preostalih dveh stranic minus dvakratni produkt preostalih dveh stranic in kosinusa kota med tema dvema stranicama.

Izračunajmo kvadrat stranice po Pitagorovem izreku:

Po kvadriranju dobimo:

(Upoštevali smo, da je kosinus kotu suplementarnega kota enak nasprotni vrednosti kosinusa kota .)

Ana in Peter stojita vsak na svoji strani velike skale. Ana je od mene oddaljena m, Peter pa km. Vidim ju pod kotom . Kolikšna je njuna medsebojna razdalja? (Za lažjo predstavo si oglej spodnjo sliko.)

Njuna medsebojna razdalja je:

Preveri

Dolžina vektorja je , vektor je dolg , kot ki ga vektorja oklepata meri . Koliko meri vsota vektorjev in ? (Pri fiziki bi rekli, da vsak vektor predstavlja silo in bi izračunali kolikšna je rezultanta sil.)

Pomagaj si s spodnjo sliko in najprej nariši vektor .

Vsota vektorjev naj se začne v točki . Označimo končno točko vsote vektorjev z in opazujmo trikotnik . Bodimo pozorni, kot meri .

Kosinusni izrek nam pove, da je:

Računajmo zdaj s pomočjo skalarnega produkta:

Sta oba načina računanja med seboj res tako različna?

Kosinusni izrek nam omogoča tudi izračun velikosti poljubnega kota s pomočjo dolžin vseh treh stranic.

Potrudi se in zvezo za izračun kvadrata stranice preoblikuj tako, da boš izrazil . Kateri izmed spodnjih odgovorov je pravilen?

Preveri

Z ustrezno ciklično zamenjavo stranic lahko izrazimo kosinus poljubnega trikotnikovega notranjega kota.

Izračunaj ploščino trapeza, narisanega na spodnji sliki.

Ploščina trapeza je:

Preveri

Za konec se še enkrat sprehodi čez gradivo, ponovi kdaj je kosinusni izrek uporaben in odgovori na spodnji vprašanji.

Če v trikotniku poznamo dolžini stranic in ter velikost kota , lahko velikost kota izračunamo s pomočjo

Preveri

Kateri izmed naštetih podatkov zadoščajo za izračun ploščine paralelograma?

Preveri

Za konec pa se malo poigraj s spodnjo sliko. Točki in lahko premikaš in hkrati s tem spreminjaš velikost kota .

Z velikostjo kota se bo spreminjala tudi dolžina sranice .

Opazuj vrednost kvadrata stranice glede na vsoto kvadratov stranic in pri ostrokotnem, pravokotnem in topokotnem trikotniku .

Pri ostrokotnih trikotnikih, je , ker je pozitiven,

pri topokotnih trikotnikih, je , ker je negativen,

v pravokotnem trikotniku pa je in zato .

Brez uporabe kalkulatorja izračunaj natančno velikost največjega kota v trikotniku s stranicami , , .

Največji kot v trikotniku meri:

Preveri

Izračunaj dolžino stranice in velikosti kotov in v trikotniku , če meri stranica cm, stranica cm in kot . Stranico izračunaj na dve decimalni mesti natančno, oba kota pa na točno minuto natančno.

Preveri

V enakostraničnem trikotniku s stranico dolgo cm leži točka na stranici tako, da je . Natančno izračunaj dolžino daljice .

Dolžina daljice je:

Preveri

V rombu s stranico meri kot . Razpolovišče stranice označimo z , razpolovišče stranice pa z . Izračunaj velikost kota med daljicama in na točno minuto natančno.

Preveri

Diagonali v paralelogramu sta dolgi in cm. Kot med njima meri . Izračunaj dolžini stranic paralelograma na dve decimalni mesti natančno.

Dolžini stranic paralelograma sta:

Preveri