Dokaži, da je preslikava podana s predpisom X linearna.

Poišči matriko, ki pripada τ v bazi , , ,

Postopek reševanja naloge in rešitev:

• Nalogo sem najprej razmislila in rešila po peš poti, ker je veliko računanja ( množenje matrik, množenje matrik s številom), sem se zaradi hitrejšega računanja uporabila program Octave.
• Predno sem poiskala matriko, ki pripada bazi τ, sem dokazala da je preslikava linearna, to sem storila tako, da sem upoštevala pravila, ki veljajo za linearne preslikave.

Dokaz, da je preslikava podana s predpisom X, res linearna. Pri dokazu sem si pomagala z definicijo, ki pravi:

Preslikava A: U→V je linearna, če velja:

• ADITIVNOST: A(u1+u2)=Au1+Au2 za vse u1,u2Є U,

• HOMOGENOST: A(αu)= α(Au) za vse α Є IR in u Є U

ADITIVNOST:

τ(X+Y)= τX+ τY ,

(X+Y)= X+ Y

HOMOGENOST:

τ(αx)=α(τx),

(αx)= x)

Res je! Preslikava je linearna saj velja HOMOGENOST in ADITIVNOST.

• Zdaj moramo poiskati matriko, ki pripada τ v zgornji bazi. Pri računanju sem si pomagala z Octave.

• V program sem zapisala matrike, ki so v zgornji bazi. Prvo matriko sem označila z A, drugo sem označila z B, tretjo z C in zadnjo četrto z D.

• Vsako matriko posebaj sem vstavila v izraz X, namesto X. Nato sem dobila štiri matrike, ki sem jih označila z T1, T2, T3, T4.

• Ker pa iščemo matriko preslikave T v bazi , sem morala napisati še zadnjo matriko, ki je obenem rešitev naloge. Označila sem jo s S.

• Matrika S je sestavljena iz štirih vrstic in štirih stolpcev. Elementi matrike S, so sestavljeni iz elementov matrik T1,T2,T3,T4. Prvi stolpec v matriki S predstavljajo elementi iz matrike T1( se pravi prvi stolpec matrike S dobimo tako, da povrsti vstavljamo elemente matrike T1, na isti način dobimo še preostale stolpce matrike S). Do te rešitve zadnje matrike S prišla tako, da sem matrike T1,T2,T3,T4 zapisala na naslednji način:

• Številke, s katerimi so pomnožene zgornje matrike, so elementi matrik T1, T2, T3,T4. Potem sem iz prvega izraza pobrala elemente (1,0,2,0) in sem jih zapisala kot prvi stolpec v matriki S. Isto sem naredila za naslednje tri. Rešitev v Octave:

  

• Namen naloge je bil poiskati matriko preslikave v bazi. Nalogo sem rešila s pomočjo znanja o množenju matrik in o linearnih preslikavah( ponoviti sem morala osnovne pojme kot so baza in prehod med bazami in definicijo linearne preslikave).

• Literatura: http://ucilnica.fmf.uni-lj.si/course/view.php?name=FM-ALG1 14. Domača naloga- matrike in linearne preslikave, Algebra 1- finančna matematika, naloga 6