Dana sta matrika in vektor

,

Izračunaj karakterištični polinom matrike , minimalni polinom matrike A pri vektorju v in minimalni polinom matrike .

Postopek reševanja naloge, matematično ozadje in rešitev:

• Najprej bomo poiskali karakteristični polinom matrike . Predno pa se lotimo iskanja karakterističnega polinoma, definirajmo, kaj sploh je.

• Definicija:

Naj bo . Potem je karekteristični polinom stopnje n. Njegov vodilni koeficient je enak , koeficient pri je in njegov konstantni člen je enak detA.

Sled matrike A(sl), je vsota vseh diagonalnih elementov matrike A.

• Nalogo sem začela reševati po peš poti. Najprej sem matriko A s pomočjo elementarnih transformacij matrik, pretvorila v zgornje trikotno matriko.

Pojasnimo pojma zgornje trikotna matrika in linearne transformacije matrike.

ELEMENTARNE TRANSFORMACIJE NA MATRIKAH:

Na vrsticah matrike imamo tri tipe linearnih transformacij:

• Elementarna transformacija tipa 1: prištej skalarni večkratnik ene vrstice k drugi vrstici.

• Elementarna transformacija tipa 2: Pomnoži vrstico matrike z neničelnim skalarjem.

• Elementarna transformacija tipa 3: Zamenjaj dve vrstici.

ZGORNJE TRIKOTNA MATRIKA je matrika, katere vrednosti so pod njeno diagonalo vse enake nič.

• Z elementarnimi transformacijami sem dano matriko A pretvorila v zgornjo trikotno matriko in jo označila s A1.

• Nato sem s pomočjo program Octave izračunala lastne vrednosti matrike A1. To sem naredila na naslednji način: v program sem vnesla matriko A1 in nato s pomočjo ukaza eig(A1) dobila naslednje lastne vrednosti: -1,0,-1,1.

• Ali drugače: Če je A1 zgornje-trikotna matrika, potem so lastne vrednosti za A1 ravno vsi diagonalni elementi te matrike.

• Lastne vrednosti sem vstavila v izraz: (-1-λ)(0-λ)(1-λ)(-1-λ ), nato poračunala po peš poti in dobila karakteristični polinom matrike A1 katerega vrednost je enaka: Stopnja karekterističnega polinoma je enak 4, sej je velikost matrike .

Minimalni polinom matrike A pri vektorju , sem dobila po sledečem postopku:

Ker je veliko računaja z matrikami, sem si pomagala z program Octave. Da sem lahko izračunala minimalni polinom matrike A pri vektorju , moramo sestaviti matriko velikosti 4X4( matriko sem poimenovala A2), katere stolpci so enaki;

1. Prvi stolpec matrike A2 je enak vektorju v
2. Drugi stolpec je enak vektorju A*v=V1
3. Tretji stolpec je enak vektorju A^2*V1=V2
4. Četrti stolpec je enak vektorju A^3*V2=V3

• Matrike A ne potenciramo!!!!!!

• Vektorje V, V1, V2 in V3, sem vstavila v matriko, ki sem jo poimenovala matrika A2:

, nato sem s pomočjo elementarnih transformacij na matrikah

dobila naslednjo matriko:

• V nadaljevanju sem rešila sistem naslednih linearnih enačb(dobimo iz matrike A2):

• x1=0
• x1=-x2
• x1-x2+x3-x4=0

Rešitve: Ker je x1=0, sledi da je tudi x2=0, x3=x4 =1

Kar smo dobili vstavimo v naslednji izraz:

Minimalni polinom matrike A pri vektorju

• Nazadnje poiščimo še minimalni polinom matrike . Pri tem moramo upoštevati, da je stopnja minimalnega polinoma največ n.

• Po peš poti sem razstavila enačbo karakterističnega polinoma in dobila kandidate za minimalni polinom matrike A.

• , upoštevati moramo vse stopnje, zato to ni edini polinom, ki je kandidat za minimalnega polinoma matrike A. Upoštevati moramo še naslednji polinom, ki je enak λ(λ-1)(λ+1).

• Nato moramo iz iz obeh enačb polinomov izračunati ničle polinoma. Zaradi enostavnosti razstavljenega polinoma, sem ničle dobila po peš poti brez uporabe matematičnih programov.

• Ničle prvega polinoma: λ1,2=0,λ3=1,λ3=1

• Ničle drugega polinoma: λ1=0,λ2=1,λ3=-1

• V matriko A2, vstavimo ničle prvega polinoma in ničle drugega polinoma. Vstavili bomo lastne vrednosti v matriko A2.

• Pri množenju matrik sem si pomagala s programom Octave.

• Najprej sem zapisala tri matike, ki sem jih poimenovala L1,L2,L3. V matriko L1, sem vstavila λ1,2=0, v matriko L2 λ3=1 in v matriko L3 λ3=1.

• Nato po vrsti zapišem produkt matrik L1*L2*L3 in če je zmnožek matrik enak nič, potem sem dobila minimalni polinom, če ne nadaljujem postopek pri pri drugem polinomu.

• Ker sem dobila da je produkt teh treh matrik enak nič , sledi da je minimalni polinom matrike enak .

Rešitev v Octave:

• Literatura: http://ucilnica0809.fmf.uni-lj.si/mod/resource/view.php?id=5437
• 17. Domača naloga- Schurov izrek in minimalni polinom Algebra 1, Finančna matematika
• 4.naloga