Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Določeni integral

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

http://www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Računanje približka površine krivočrtnega lika

Spomnimo se, kako bi lahko čimbolj natančno določili ploščino nekega krivočrtnega ravninskega lika.

Na del ravnine, ki vsebuje dani lik, narišemo mrežo. Z rdečo barvo obarvamo kvadratke, ki so v celoti vsebovani v liku in z modro barvo kvadratke, ki ležijo deloma v liku in deloma izven njega.

Arhimedove zamisli

Računanje približka površine krivočrtnega lika

Na prvi sliki v animaciji je $116$ kvadratkov obarvanih rdeče ter $62$ modro. Na drugi sliki je $512$ rdečih ter $116$ modrih kvadratkov. Če privzamemo, da je velikost večjih kvadratkov enaka $4$ enote in manjših ena enota, nam delitvi določata naslednja približka površine $S$ srca na sliki:

$116 \cdot 4 = \mathbf{464 \leq S \leq 712} = (116+62) \cdot 4$

in

$512 \cdot 1 = \mathbf{512 \leq S \leq 628} = 628 \cdot 1$

Če povečujemo gostoto mreže, se približek ploščine lika približuje natančni vrednosti ploščine lika.

Arhimedove zamisli

Arhimed, grški matematik in inženir, rojen okrog leta $287$ pr. n. š. v Sirakuzah na Siciliji in okrog leta $212$ pr. n. št.. Bil je najslavnejši antični znanstvenik, ki se je zelo veliko ukvarjal s problemi geometrije. S pomočjo očrtanih in včrtanih pravilnih mnogokotnikov je našel približek za obseg kroga. Začel je s pravilnim $6$ -kotnikom, ki ga je krogu včrtal in tudi očrtal. Nadaljeval je s pravilnim $12, 24, 48$ in $96$ -kotnikom.

Izračunal je tudi ploščino kroga. V krog je včrtal $n$ -kotnik in predpostavil, da je za velike $n$ ploščina mnogokotnika enaka ploščini kroga. Mnogokotnik je razdelil na $n$ enakokrakih trikotnikov, katerih ploščino je znal izračunati. Za približek višine enakokrakega trikotnika je vzel kar radij kroga.

O Arhimedu pripovedujejo tudi številne zgodbe.

Med rimskim obleganjem Sirakuz naj bi z lečami zažigal rimske ladje, tako da se Rimljani niso mogli približati mestu.

Zaslovel je po zakonu o vzgonu, ki so ga kasneje poimenovali po njem Arhimedov zakon. Takratni kralj Hieron II. je ugotovil, da je kroni, ki bi morala biti po naročilu iz čistega zlata, primešano srebro. Prosil je Arhimeda, naj ugotovi, za koliko ga je zlatar ogoljufal (torej, koliko srebra je v kroni). Pri rešitvi uganke pa naj bi krona ostala nepoškodovana. Arhimed je prišel do rešitve med kopanjem, ko se je voda zlila čez rob. Sklenil je, da bo izmeril prostornino krone in enako težke kepe zlata tako, da ju bo potopil v polno kad in izmeril količino izlite vode.Če bi bila krona res iz čistega zlata, bi morali biti obe prostornini enaki. Bil je tako vesel, da je takoj skočil iz banje, nag stekel na ulico v Sirakuzah in vpil “Hevreka” (izgovori "Eureka"), kar pomeni “Našel sem”. Od tedaj se beseda hevreka uporablja pri pomembnih novih odkritjih. Hieronovi kroni je bilo primešano srebro, zgodba pravi, da so zato goljufivega zlatarja usmrtili.

Ploščina krivočrtnega lika

Podobno idejo kot na začetku bomo uporabili tudi pri računanju ploščine krivočrtnega lika, ki ga določa graf poljubne zvezne in nenegativne funkcije $f$ na intervalu $[a,b]$ skupaj z abscisno osjo.

Na spodnjih aplikacijah lahko s premikom točk $a, b$ in $P$ preveriš, kako se spreminja površina krivočrtnega lika v odvisnosti od intervala $[a,b]$ in premika funkcije v smeri ordinatne osi.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Ploščina krivočrtnega lika

Po velikosti primerjaj površini krivočrtnih likov na intervalu $[-1,6]$ in na intervalu $[0,5]$ , če se točka $P$ ne spremeni?

Površina krivočrtnega lika nad intervalom [0,5] je večja.

Površini likov sta enaki.

Površina krivočrtnega lika nad intervalom [-1,6] je večja.

Prikaži aplikacijo Skrij aplikacijo

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Narobe

Ali si preveril na aplikaciji. Lik nad intervalom $[0,5]$ je vsebovan v liku nad intervalom $[-1,6]$ , zato njegova površina ne more biti večja.

Narobe

Nemogoče.Preveri še enkrat!

Pravilno

Tako je! Lik nad intervalom $[0,5]$ je vsebovan v liku nad intervalom $[-1,6]$ , zato je ta odgovor pravilen!

Ploščina krivočrtnega lika

Interval $[a,b]$ razdelimo na manjše, enako široke podintervale. Nad njimi narišemo pravokotnike z maksimalnimi višinami tako, da so vse točke pravokotnikov pod grafom funkcije $f$ . Za višino posameznega pravokotnika torej vzamemo minimalno funkcijsko vrednost funkcije $f$ na posameznem intervalu.

Prikaži aplikacijo Skrij aplikacijo

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Če seštejemo ploščine vseh tako nastalih pravokotnikov, dobimo približek za ploščino krivočrtnega lika na sliki. Vsota produktov $v \cdot \Delta x$ , kjer za višino v vzamemo najmanjšo funkcijsko vrednost funkcije $f$ na posameznem podintervalu širine $\Delta x$ , imenujemo spodnja vsota pri delitvi intervala $[a,b]$ na n podintervalov. Vsoto označimo z $s_n$ .

Če za višine v vzamemo maksimalne funkcijske vrednosti funkcije $f$ na posameznem podintervalu, vsota produktov $v \cdot \Delta x$ prav tako predstavlja približek za ploščino istega krivočrtnega lika. Tako vsoto imenujemo zgornja vsota pri delitvi intervala $[a,b]$ na n podintervalov. Vsoto označimo z $S_n$ .

Ploščina krivočrtnega lika

S pomočjo aplikacije za spodnjo vsoto in aplikacije za zgornjo vsoto opazuj, kako se obnašata spodnja in zgornja vsota, če spreminjaš robove intervala $[a,b]$ in višino presečišča $P$ grafa funkcije $f$ z ordinatno osjo. Opazil boš, da se pri poljubni izbiri krajišč intervala $[a, b]$ le-ta vedno razdeli na štiri enako široke podintervale.

Prikaži apllikacijo za spodnjo vsoto skrij aplikacijo

Prikaži aplikacijo za zgornjo vsoto skrij aplikacijo

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Kdaj je spodnja vsota večja od površine $S$ krivočrtnega lika?

Kadar sta točki $a$ in $b$ dovolj blizu.

To bi se zgodilo če bi bil $P$ negativen.

Nikoli.

Ploščina krivočrtnega lika

S pomočjo aplikacije za spodnjo vsoto in aplikacije za zgornjo vsoto opazuj, kako se obnašata spodnja in zgornja vsota, če spreminjaš robove intervala $[a,b]$ in višino presečišča $P$ grafa funkcije $f$ z ordinatno osjo. Opazil boš, da se pri poljubni izbiri krajišč intervala $[a, b]$ le-ta vedno razdeli na štiri enako široke podintervale.

Prikaži apllikacijo za spodnjo vsoto skrij aplikacijo

Prikaži aplikacijo za zgornjo vsoto skrij aplikacijo

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Interval $[a, b]$ razdelimo na štiri enake podintervale. Koliko je širok en podinterval?

$b - a$

$\frac{1}{4}$

$\frac{b-a}{4}$

Ploščina krivočrtnega lika

S pomočjo aplikacije za spodnjo vsoto in aplikacije za zgornjo vsoto opazuj, kako se obnašata spodnja in zgornja vsota, če spreminjaš robove intervala $[a,b]$ in višino presečišča $P$ grafa funkcije $f$ z ordinatno osjo. Opazil boš, da se pri poljubni izbiri krajišč intervala $[a, b]$ le-ta vedno razdeli na štiri enako široke podintervale.

Prikaži apllikacijo za spodnjo vsoto skrij aplikacijo

Prikaži aplikacijo za zgornjo vsoto skrij aplikacijo

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Naj bo funkcija $f$ na intervalu $[a, b]$ zvezna, nenegativna in padajoča. Če interval $[a, b]$ razdelimo na štiri enake podintervale, je zgornja vsota enaka

$\frac{b-a}{4}(f(a) + f(a + \frac{b-a}{4}) + f(a + 2 \frac{b-a}{4}) + f(a + 3 \frac{b-a}{4}))$

$f(a) + f(a + \frac{b-a}{4}) + f(a + 2 \frac{b-a}{4}) + f(a + 3 \frac{b-a}{4})$

$\frac{b-a}{4}$

Namig Preveri

Namig

Da si boš lažje pomagal z aplikacijo, premakni krajišči intervala [a, b] na njem tako, da bo funkcija f na intervalu padajoča.

Pravilno

Točno.

Narobe

Ni res. To je le vsota funkcijskih vrednosti v levih krajiščih podintervalov. To vsoto moraš pomnožiti še s širino podintervalov.

Narobe

Napačno. Ta vrednost predstavlja širino podintervalov.

Narobe

Ko točko $a$ približujemo točki $b$ je razlika $S-S_n$ ves čas pozitivna in tudi poljubno blizu ni nikoli negativna.

Narobe

Pozor! Če je $P$ negativen, funkcija ni nenegativna na intervalu $[a,b]$ , kar smo predpostavili v začetku tega gradiva.

Pravilno

Spodnja vsota je vedno manjša od površine $S$ krivočrtnega lika?

Narobe

Napačno. To je širina celotnega intervala.

Narobe

Napačno. To je res le v primeru, ko je interval [a, b] širok 1 enoto.

Pravilno

Tako je.

Spodnje in zgornje vsote

Kaj se dogaja z vrednostjo spodnje in zgornje vsote, če širino podintervalov, s katerimi razdelimo interval $[a,b]$ , manjšamo? Preprosto bi rekli, da interval $[a,b]$ "razrežemo" na vedno "tanjše rezine" in opazujemo, kako se pri tem spreminjajo vrednosti spodnje in zgornje vsote.

Pomagaj si z aplikacijo, kjer z drsnikom spreminjaš gostoto delitve intervala $[a,b]$ . Opazuj vrednosti spodnje in zgornje vsote v primerjavi s površino krivočrtnega lika.

S premikanjem drsnika povečuj število podintervalov na intervalu $[a,b]$ . Kako se pri tem spreminjata vrednosti spodnje in zgornje vsote?
S premikanjem drsnika v aplikaciji poskušaj najti odgovor na zgornje vprašanje.

Prikaži aplikacijo Skrij aplikacijo

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Prikaži odgovor na vprašanje

Riš datoteka

Odgovor

Če si dovolj natančno opazoval, si lahko opazil, da se pri povečevanju števila podintervalov spodnja vsota povečuje, zgornja pa zmanjšuje. Pri tem se zmanjšuje tudi njuna razlika $S_n - s_n$ .

Pri vsaki delitvi intervala $[a,b]$ velja:

$s_n \leq S \leq S_n$

Povzetek

Če zmanjšujemo širino delilnih podintervalov intervala $[a,b]$ , se spodnje vsote povečujejo in zgornje vsote zmanjšujejo.
Vsaka spodnja vsota je manjša od vsake zgornje vsote.
Vsaka spodnja vsota je manjša od točne vrednosti ploščine izbranega krivočrtnega lika.
Vsaka zgornja vsota je večja od točne vrednosti ploščine izbranega krivočrtnega lika.
Bolj ko manjšamo širino delilnih podintervalov intervala $[a,b]$ , bolj natančen približek za točno vrednost ploščine krivočrtnega lika dobimo.

Limita spodnjih in zgornjih vsot pravokotnikov

Če povečujemo število delilnih podintervalov intervala $[a,b]$ , gre širina podintervalov proti $0$ $(\Delta x \to 0)$ . Zaporedje spodnjih vsot je naraščajoče in navzgor omejeno z vsako zgornjo vsoto. Zato obstaja limita zaporedja spodnjih vsot. Zaporedje zgornjih vsot je padajoče in navzdol omejeno z vsako spodnjo vsoto. Zato obstaja limita zaporedja zgornjih vsot.

Limiti zgornjih in spodnjih vsot sta enaki

$\lim_{\Delta x_i \to 0}S_i = \lim_{\Delta x_i \to 0}s_i = D$

Limita spodnjih in zgornjih vsot pravokotnikov

Limito $D$ imenujemo določeni integral funkcije $f$ na intervalu $[a,b]$ in označimo

$D = \int_{a}^{b}f(x) dx.$

Vrednosti $a$ in $b$ imenujemo spodnja oziroma zgornja meja integrala, $[a,b]$ pa interval integriranja.

V primeru zvezne nenegativne funkcije sta limiti spodnjih in zgornjih vsot enaki površini krivočrtnega lika.

Vrednost določenega integrala

$\int_{a}^{b} f(x) dx$

je točna vrednost ploščine krivočrtnega lika, ki ga določata graf nenegativne zvezne funkcije na intervalu $[a,b]$ in abscisna os.

Limiti zgornjih in spodnjuh vsot sta enaki

Ker je funkcija $f$ zvezna, gre razlika maksimalne in minimalne funkcijske vrednosti funkcije $f$ na vsakem podintervalu proti $0$ , ko gre širina podintervalov proti $0$ . Zato gre tudi razlika zgornjih in spodnjih vsot, ko gre število delilnih podintervalov preko vseh meja, proti $0$ , kar pomeni, da sta limiti spodnjih in zgornjih vsot enaki:

$\lim_{\Delta x_i \to 0}S_i = \lim_{\Delta x_i \to 0}s_i = D$

Primer

Izračunaj določena integrala

$\int_1^3 (x+4) dx=$
$\int_0^5 (x + 4) dx =$

S pomočjo aplikacije preveri izračune vrednosti integralov.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Preveri

Rešitev

$\int_1^3 (x+4) dx= 12$ $\int_0^5 (x + 4) dx = 32,5$

Rešitev

Funkcija $f(x) = x+ 4$ je na intervalu $[1,3]$ zvezna in pozitivna, zato je določeni integral

$\int_1^3 (x+4)dx$

enak ploščini trapeza (glej aplikacijo), ki jo znamo izračunati po formuli

$S=\frac{a+c}{2} \cdot v,$

kjer sta $a$ in $c$ osnovnici (vzporedni stranici) in $v$ višina trapeza.

Narobe

Rezultat: /2

Pravilno

Naprej

Izračunajmo ploščino s pomočjo spodnjih in zgornjih vsot

S pomočjo spodnje aplikacije izračunaj približno vrednost iskanih določenih integralov na eno decimalno mesto natančno.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

$\int_{-1}^3 (x+2) dx=$

$\int_{-2}^2 (4-x^2)dx =$

$\int _0^{1,5} x^3 dx =$

Preveri

Rešitev

$\int_{-1}^3 (x+2) dx= 12$ $\int_{-2}^2 (4-x^2)dx =10,7$ $\int _0^{1,5} x^3 dx = 1,3$

Narobe

Rezultat: /3

Pravilno

Naprej

Dodatne naloge

1. naloga

S pomočjo spodnje in zgornje vsote oceni vrednosti določenih integralov:

a) $\int_1^2 x^3 dx$ , če integracijski interval razdeliš na $3$ podintervale.

b) $\int_{-2}^2 (4 - x^2)dx$ , če integracijski interval razdeliš na $4$ podintervale.

c) $\int_e^{e^2} \ln x dx$ , če integracijskega intervala ne deliš.

V vsakem od primerov nariši ustrezno sliko.

Rešitev vpiši v ustrezno spodnje okno in obkljukaj ustreni neenakosti. Števila zaokrožuj na $2$ decimalki natančno.

a)

$<$ $\leq$

$\int_1^2 x^3 dx$

$<$ $\leq$

Slika

b)

$<$ $\leq$

$\int_{-2}^2 (4 - x^2)dx$

$<$ $\leq$

Slika

c)

$<$ $\leq$

$\int_e^{e^2} \ln x dx$

$<$ $\leq$

Slika

Preveri

Narobe

Napako si naredil pri vseh treh primerih.

Poskusi ponovno.

Narobe

Narobe si vpisal spodnjo ali zgornjo mejo pri a) primeru.

Poskusi ponovno.

Narobe

Narobe si vpisal spodnjo ali zgornjo mejo pri b) primeru.

Poskusi ponovno.

Narobe

Narobe si vpisal spodnjo ali zgornjo mejo pri c) primeru.

Poskusi ponovno.

Narobe

Narobe si izbral neenakosti.

Poskusi ponovno.

Rešitve

a)

$s=\frac{1}{3} f(1) + \frac{1}{3}f(\frac{4}{3}) + \frac{1}{3}f(\frac{5}{3}) = \frac{1}{3}(1^3 + (\frac{4}{3})^3 + (\frac{5}{3})^3) = \frac{8}{3}$ $S = \frac{1}{3}f(\frac{4}{3}) + \frac{1}{3}f(\frac{5}{3}) + \frac{1}{3}f(2) = \frac{1}{3}((\frac{4}{3})^3 + (\frac{5}{3})^3 + 2^3) = 5$ $\frac{8}{3} < \int_1^2 x^3 dx < 5$

b)

$s=1f(-2) + 1f(-1) + 1f(1) + 1f(2) = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 0 =6$ $S = 1f(-1) + 1f(-0) + 1f(0) + 1f(1) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 3 = 14$ $6 < \int_{-2}^2 (4 - x^2) dx < 14$

c)

$s= (e^2 - e) \cdot f(e) = (e^2 - e) \cdot \ln e = e^2 - e \sim 4,67$ $S = (e^2 -e) \cdot f(e^2) = (e^2 -e) \cdot \ln e^2 = (e^2 -e) \cdot 2 \sim 9,34$ $4,67 < \int_{e}^{e^2} \ln x dx < 9,34$

Pravilno

Naprej

Dodatne naloge

2. naloga

Izračunaj natančno vrednost določenih integralov:

a) $\int_1^4(2x + 1)dx =$

b) $\int_1^5 |x + 2| dx =$

c) $\int_3^8 (|x| - 2)dx$

d) $\int_{-3}^4 f(x) dx =$ , če je $f(x) = \left\{ \begin{array}{l l} 2 & ; \quad x \leq 3\\ 5 - x & ; \quad x > 3\\ \end{array} \right.$

Preveri

Narobe

Poskusi ponovno.

Rešitve

a) $18$
b) $20$
c) $\frac{35}{2}$
d) $\frac{27}{2}$

Pravilno

Konec

Določeni integral

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Določeni integral

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Arhimedove zamisli

Narobe

Narobe

Pravilno

Namig

Pravilno

Narobe

Narobe

Narobe

Narobe

Pravilno

Narobe

Narobe

Pravilno

Odgovor

Limiti zgornjih in spodnjuh vsot sta enaki

Rešitev

Rešitev

Narobe

Pravilno

Rešitev

Narobe

Pravilno

Narobe

Narobe

Narobe

Narobe

Narobe

Rešitve

Pravilno

Narobe

Rešitve

Pravilno