Sinusni izrek
Sinusni izrek
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Prevetrimo znanje o kotnih funkcijah
Spomni se, kako izračunamo ploščino trikotnika s pomočjo dolžine trikotnikove stranice in višine na to stranico.
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Kotna funkcija kosinus izraža razmerje med kotu priležno kateto in hipotenuzo.
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Ker je , meri osnovnica cm.
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Izpeljava sinusnega izreka
Narišimo trikotnik , označimo oglišča in stranice.
Iz pravokotnega trikotnika izrazimo . Tudi če je kot topi (za lažjo predstavo potegni oglišče na zgornji sliki levo), je
Izpeljava sinusnega izreka
Iz desnega pravokotnega trikotnika dobimo zvezo , od koder sledi ali .
Podobno bi lahko izrazili tudi in s tem dobili, da je
V poljubnem trikotniku velja med stranicami in koti zveza
ki nosi ime sinusni izrek.
Uporaba sinusnega izreka
Vemo, da je trikotnik podan s tremi podatki. Kdaj lahko za izračun manjkajočih podatkov uporabimo sinusni izrek?
Preveri
Razmisli, pri kakšnih podatkih je zraven zgornjega primera še smiselno uporabljati sinusni izrek, in dopolni spodnjo poved.
V poljubnem trikotniku lahko uporabljamo sinusni izrek, če sta podani dve in kot, ki ne leži med podanima stranicama za izračun preostalih dveh .
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Podana je stranica in dva kota.
Odlično, rešitev je pravilna!
Hitrost ladje
V preteklosti je sinusni izrek pomagal določiti položaje mnogih oddaljenih točk v vesolju ali v naravi nedostopnih objektov, višine objektov, nadmorske višine gora ...
Pomaga pa tudi pomorcem. Kot enega od primerov uporabe si oglejmo spodnjo nalogo.
Iz točke vidijo mornarji na ladji, oddaljeni od svetilnika km, svetilnik pod kotom zahodno. Svetilnik se čez min vidi iz položaja pod kotom vzhodno. Kolikšna je hitrost ladje, če je smer gibanja severno?
Da bomo lažje razumeli jezik mornarjev, si oglejmo sliko.
Hitrost ladje je:
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Označimo kote trikotnika kot na sliki z , in . S slike preberemo, da je:
Po sinusnem izreku je:
Hitrost ladje je:
ali približno vozla.
( vozel = navtična milja/h = km/h)
Polmer trikotniku očrtane krožnice
Narišimo trikotniku očrtano krožnico in označimo njeno središče z , njen polmer pa z .
Na zgornji sliki nariši iz točke premer krožnice in drugo krajišče premera označi s točko . Nariši še daljico . Opazuj sliko in odgovori na sledeča vprašanja.
Polmer trikotniku očrtane krožnice
Uporabi Talesov izrek o kotu v polkrogu.
Spomni se na obodne kote nad istim lokom.
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Trikotnik je pravokoten.
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Kota in sta enaka.
Odlično, rešitev je pravilna!
Polmer trikotniku očrtane krožnice
Zdaj lahko sinusni izrek zlahka dopolnimo.
V vsakem trikotniku je razmerje med dolžino stranice in sinusom tej stranici nasprotnega kota enako premeru trikotniku očrtane krožnice:
Kaj smo se naučili?
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Stranica meri cm.
Odlično, rešitev je pravilna!
1. naloga
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Stranici sta dolgi: dm in dm
Odlično, rešitev je pravilna!
2. naloga
Krožnici s premerom cm včrtamo trikotnik , katerega stranica meri cm, kot pa . Natančno izračunaj dolžini manjkajočih stranic in velikosti kotov trikotnika .
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Ker je cm in , hitro vidimo, da je trikotnik enakostraničen, kar pomeni, da merijo vse tri stranice cm in vsi trije koti .
3. naloga
Stranici paralelograma merita cm in cm. Kot med stranico in diagonalo meri . Izračunaj dolžino daigonale na dve decimalni mesti natančno.
Dolžina diagonale je:
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Označimo kot z . Po sinusnem izreku izračunamo , od koder je . Tretji kot v trikotniku je . Zdaj izračunamo dolžino diagonale cm.
4. naloga
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Ker poznamo velikosti kotov in , poznamo tudi kot . Iz sinusnega izreka izrazimo in . Ker je , je .
5. naloga
Premisli, kako bi izračunal višino oddaljenega stolpa (označimo jo s ), če lahko iz dveh različnih točk, ki sta med seboj oddaljeni km, izmeriš kota med "vodoravno" podlago in vrhom stolpa. Za lažjo predstavo si oglej položaj, prikazan na spodnji sliki.
Označimo kot med "vodoravno" podlago in vrhom stolpa z vrhom v bolj oddaljeni točki z in kot z vrhom v bližji točki z . Kot, pod katerim vidimo daljico z vrha stolpa, meri .
Po sinusnem izreku velja . Višino stolpa lahko izračunamo s pomočjo kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku .
6. naloga
S sinusnim izrekom dokaži izrek o simetrali kota: simetrala notranjega kota trikotnika deli nasprotno stranico v razmerju dolžin stranic, ki ta kot oklepata.
Dokažimo izrek za simetralo kota . Presečišče simetrale kota s stranico trikotnika označimo z . Dolžino daljice označimo z , dolžino daljice pa z . Dokazati želimo, da je .
Zapišimo sinusni izrek v trikotniku : , pri čemer smo s označili kot . Iz trikotnika izrazimo . Obe enakosti združimo, upoštevamo, da sta sinusa komplementarnih kotov enaka, in dobimo oz. .
Analogno bi izrek dokazali tudi za simetrali preostalih dveh kotov.
Rezultati
