Pahljača
Včasih so se dame hladile s pahljačo, ki je bila sestavni del njihove garderobe. Ponekod se uporablja še danes, čeprav so jo nadomestili sodobni izumi raznih baterijskih ventilatorjev. Model za klasično pahljačo lahko preskusiš na spodnji sliki. To so enaki deli, ki se razprejo v obliki, ki ji v matematiki pravimo pravilni večkotniki.
S premikanjem označenih točk vidiš, kako se spreminja obseg, ki ga pokrije dano število skladnih enakokrakih trikotnikov.
Pahljača
Da bo krog iz prejšnje animacije sklenjen, bo treba torej zadostiti nekemu pogoju. Najenostavneje je zadostiti pogoju kota pri osnovnici enakokrakega trikotnika. Kot pri vrhu mora biti pri trikotnikih:
zato je potem kot pri osnovnici
Pregled prvih nekaj večkotnikov
Začetni - kotnik lahko s pomikom rdeče točke v levo prevedeš v , , ... - kotnik, pa tudi v desno gre do - kotnika. Ob tem lahko opazuješ kote ob osnovnici enakokrakega trikotnika, pa takoj vidiš tudi, koliko meri notranji kot posameznega - kotnika.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
| Notranji kot pravilnega kotnika meri . | Pravilno. | . |
| V pravilnem -kotniku je kot pri vrhu posameznega enakokrakega trikotnika . | Pravilno. | |
| Pravilni - kotnik je kvadrat. | Pravilno. | Seveda, ni dvoma o tem, saj so vse stranice enake, kot pri osnovnici pa je , dva skupaj torej . |
Ploščina - kotnikov
Najpreprostejši pravilni večkotnik je trikotnik. Izrazimo njegovo ploščino s polmerom očrtanega kroga. Najprej vidimo, da je:
Potem pa je ploščina trikotnika
Posplošimo
Da bomo izrazili ploščino za poljuben kotnik, uporabimo kotne funkcije in zapišimo razmerja za tetivo - stranico kotnika ter višino trikotnika.
Potem pa je
In končno je ploščina kotnika:
Zdaj pa bomo lahko izračunali stranico pravilnega kotnika, ki je včrtan krogu s polmerom cm. Hkrati pa bomo izračunali še razmerje ploščin kroga in kotnika.
kar pa sploh ni presenetljiv rezultat, saj je diagonala pravilnega kotnika ravno premer kroga, torej
kar je ekvivaalentno prejšnjemu rezultatu.
Primer 1
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Polmer očrtane krožnice je prav tako kot stranica cm.
Odlično, rešitev je pravilna.
Diagonala pravilnega petkotnika
Zdaj pa izračunajmo diagonalo pravilnega petkotnika, katerega stranica meri cm.
Diagonala pravilnega petkotnika je približno:
Preveri
Razmerje med diagonalo petkotnika in njegovo stranico je enako znamenitemu zlatemu številu:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Diagonala pravilnega petkotnika je približno cm.
Pravilnemu n kotniku včrtan krog
Krogu s polmerom cm je včrtan pravilni kotnik, njegova ploščina meri cm. Koliko meri njegov obseg?
Obseg meri:
Odlično, rešitev je pravilna.
1. naloga
Odlično, rešitev je pravilna.
2. naloga
Izračunaj stranico pravilnega kotnika, ki je včrtan krogu s polmerom cm.
Kako se spremeni dolžina stranice, če se polmer poveča na cm?
Stranica pravilnega kotnika, ki je včrtan krogu s polmerom cm, meri:
Preveri
Stranica pravilnega kotnika, ki je včrtan krogu s polmerom cm, meri:
Preveri
Stranica se poveča s faktorjem:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Stranica pravilnega kotnika, ki je včrtan krogu s polmerom cm, meri cm.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Stranica pravilnega kotnika, ki je včrtan krogu s polmerom cm, meri cm.
Odlično, rešitev je pravilna.
3. naloga
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Ploščina petkotnika je cm.
Odlično, rešitev je pravilna.
4. naloga
Pokaži, da je stranica kotnika enaka , če je stranica kotnika in polmer in kotniku očrtanega kroga.
Rešitev
5. naloga
Dana je stranica pravilnega šestkotnika cm. Iz tega izračunaj stranico
pravilnega dvanajstkotnika.
Stranica pravilnega dvanajstkotnika meri:
Odlično, rešitev je pravilna.
6. naloga
V krogu s polmerom cm narišemo tetivo z dolžino cm. Ali je to stranica
kakšnega pravilnega kotnika?
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Ne, stranica je najbližje stranici kotnika.
Opomba: v teh primerih je treba računati na čimveč decimalnih mest.
7. naloga
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Njegov obseg meri cm.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Polmer meri cm.
Odlično, rešitev je pravilna.
8. naloga
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Notranji kot pravilnega petnajstkotnika meri .
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Obseg meri cm.
Odlično, rešitev je pravilna.
Rezultati
