Izračunajte prve tri člene zaporedja s splošnim členom . Kateri člen v tem zaporedju je enak ? Dokažite, da je zaporedje padajoče.
Matematična naloga (8)
Matematična naloga (8)
Mojca Kerin
Besedilo naloge
Postopek reševanja - 1. del
Pomagamo si z orodjem Matlab. Napišemo novo funkcijo v urejevalniku s katero bomo lahko izračunali n-ti člen zaporedja. Funkcija se glasi:
function rezultat=zaporedje(n)
% Funkcija izračuna n-ti čeln zaporedja.
if n<1
disp ('Cleni zaporedja se označujejo z pozitivnimi stevili.');
end
if n>0
rezultat=(n+1)/(2*n);
end
% Funkcija izračuna n-ti čeln zaporedja.
if n<1
disp ('Cleni zaporedja se označujejo z pozitivnimi stevili.');
end
if n>0
rezultat=(n+1)/(2*n);
end
Funkcija izračuna n-ti člen zaporedja. Če uporabnik ne vnese pozitivnega števila, ga program opozori z izpisom: Cleni zaporedja se označujejo z pozitivnimi stevili. , v nasprotnem primeru pa izračuna in vrne vrednost n-tega člena zaporedja. To funkcijo poženemo trikat, prvič s parametrom 1, durgič s parametrom 2 in tretjič s parametrom 3. Tako dobimo prve tri člene zaporedja. Rešitve so pirkazane na sliki spodaj.
Postopek reševanja - 2. del
Nato sestavimo še eno funkcijo, ki bo poiskala, kateri člen zaporedja ima dano vrednost. Funkcija se glasi:
function rezultat=KateriClen(x)
clen=(1/(2*x-1));
clen1=fix(clen);
if clen~=clen1
rezultat=('Vneseno število ni člen tega zaporedja.');
end
if clen==clen1
rezultat=clen;
end
end
clen=(1/(2*x-1));
clen1=fix(clen);
if clen~=clen1
rezultat=('Vneseno število ni člen tega zaporedja.');
end
if clen==clen1
rezultat=clen;
end
end
Ta funkcija pa naj bi vrnila kateri člen zaporedja ima dano vrednost. Se pravi splošni člen izenačimo z vrednostjo člena, potem pa izpostavimo n. Tako dibimo nasledjo formulo , če z x označimo vrednost n-tega člena. Če vnesemo število, ki ni člen tega zaporedja vrne Vneseno število ni člen tega zaporedja. , v nasprotnem primeru pa naj bi vrnila število, ki pove kateri člen zaporedja ima to vrednost. Vendar ta funkcija ne deluje pravilno, kajit, ko število, ki ga vnesemo v funkcijo pomnožimo z 2 dobimo neko decimlno število, ki se ne konča ampak se nadaljuje z ničlami. Potem pa število delimo s tem številom, ki mu že prej odštejemo enko in ne dobimo točnega rezultata. Pri deljenju s tem številom pa se v Matlabu zaradi zaokroževanja pojavijo težave, saj najprej odštevamo dve približno enako veliki števili, potem pa še delimo z majhnim številom. Težave pa povzročijo tudi nule na koncu decimalnega števila.
Postopek reševanja - 3. del
Slika spodaj prikazuje primer, ko v Matlabu poženemo funkcijo.
Kot vidimo funkcija vrne Vneseno število ni člen tega zaporedja.
. Potem sem funkcijo tako spremenila, da sem za formulami 'clen' in 'clen1' zbrisala podpičje (;), tako, da vidimo kakšna sta oba člena. Iz slike razvidimo, da je število enako, le da je eno zapisano še z decimalnimi števili (nulami). Ko te dve števili med sabo primerjamo v funkciji, Matlab zazna, da te dve števili nista enaki, zato vrne sporočilo, da števio ni člen zaporedja.
Lahko pa računamo ročno:
>> 2*0.50125
ans =
1.0025
>> 1.0025-1
ans =
0.0025
>> 1/0.0025
ans =
400
.
Torej 400. člen zaporedja ima vrednost 0.50125.
Postopek reševanja - 4. del
Dokazati moramo še, da je zaporedje res padajoče.Če je člen manjši ali enak členu , za vse n, potem je zaporedje naraščujoče, če pa je člen večji ali enak členu , za vse n, potem je zaporedje padajoče. To bomo preverili z indukcijo.
n=1
To drži, preverimo še na .
,
Vidimo, datudi to drži. Torej je zaporedje res padajoče.
