Koordinate točke T

Najprej izračunamo še y koordinato točke T.

• f(2)=2^-2=
• T=(2,)

Točko T naredimo tudi v GeoGebri.
Ukaz: T=(2, 1/4)

Tangenta na graf funkcije f v točki T

Tangento funkcije f(x)=x^-2 v točki T bomo v GeoGebri dobili s pomočjo ukaza t1=Tangenta(T, f).

• Funkciji Tangenta najprej podamo točko, nato še funkcijo.

Na levi, v algebrskem oknu, razberemo enačbo za tangento t1.

Eksplicitna oblika enačbe tangente: y = -*x +.

Slika konstrukcije

Računanje brez uporabe računalniških orodij:

Prikaži Skrij

Ploščino lika, ki ga omejujejo graf funkcije f, abscisna os in premice x=1 in x=2 dobimo s pomočjo določenega integrala.

Nas tako zanima integral v mejah od 1 do 2 funkcije f. V GeoGebri že obstaja ukaz Integral[f,a,b], ki za prvi parameter sprejme funkcijo, za drugi, začetno mejo in za tretji, končno mejo b.

• Ukaz v GeoGebri: ploscina1=Integral[f,1,2]
• V algebraičnem oknu preberemo vrednost spremenljivke ploscina1.

Iskana ploščina je 0.5 enot^2.

Slika konstrukcije

Spet nadaljujemo delo v isti datoteki, a zaradi boljše preglednosti »skrijemo« vse objekte razen funkcije f. Objekt skrijemo z desnim klikom in klikom na Prikaz objekta.

Vemo, da bomo ploščino lika/trikotnika dobili s pomočjo določenega integrala. A prej potrebujemo še tangento in zgornjo mejo integrala (spodnja meja vemo, da je x=0).

Na žalost tukaj ne smemo uporabiti naše funkcije Tangenta(f, točka), ker narejene tangente kasneje funkcija Integral ne prepozna kot funkcije.

Iskanje enačbe tangente t3

Na grafu funkciji f naredimo točko A.

• V ogrodni vrstici izberemo ukaz Nova točka in kliknemo na risalnem oknu, tam, kjer želimo, da je točka. V našem primeru kliknemo nekje v prvem kvadrantu, na grafu funkcije f. V prvem kvadrantu zato, ker to zahteva navodilo naloge.

  • Opazimo, da točko lahko premikamo (to bo pomembno za naprej).

Tako kot v 1. delu naloge (točka 1), poiščemo tangento glede na točko, tokrat točko A.
Odvod funkcije že imamo: f'(x)=-2*x^-3. V odvod vstavimo x-koordinato točke A, da dobimo smerni koeficient. Do x-koordinate točke v GeoGebri dostopamo z ukazom x(A), do y-koordinate pa z y(A).

• f'(x(A))=-2*x(A)^-3
• Enačba tangente bo tako oblike y=-2*x(A)^-3*x+n

Izračunamo samo še n.

• V dobljeno enačbo vstavimo točko A.

  • y(A)=-2*x(A)^-3*x(A)+n --> n=y(A)+2*x(A)^-2*x(A)

Končna oblika enačbe: y=-2*x(A)^-3*x+y(A)+2*x(A)^-2*x(A)

Ne pozabimo, da moramo v GeoGebri tangento definirati kot funkcijo:
Ukaz: t2(x)=-2*(x(A))^(-3)*x+y(A)+2*(x(A))^-2

Sedaj lahko definiramo integral. Problem je le še zgornja meja (spodnja je x=0). Zgornjo mejo dobimo kot ničlo tangente t2.

• Ukaz: Ničla(t2)
• Označi se ničla B (presečišče tangente in abscisne osi)

Ploščina trikotnika:

Definiramo določeni integral. Ker nas zanima ploščina, ki jo omejujejo tangenta t2, x-os in premici x=0 in x=x(B), se ukaz glasi: Ploscina2=Integral[t2, 0, x(B)]

Nas zanimajo koordinate točke, pri katerih bo ta ploščina enaka 1.
Te koordinate dobimo tako, da točko A premikamo po krivulji in se ustavimo tam, kjer vidimo, da je vrednost integrala 1 (integral se spreminja s spreminjanjem koordinat točke A, prav tako se spreminja tangenta.)

Koordinate točke A so (2.26, 0.2). V tej točki moramo torej narisati tangento na graf dane funkcij f, da bo ploščina trikotnika, ki ga tangenta oklepa z osema, enaka 1.

Slika konstrukcije