Če smo do zdaj želeli vektorje seštevati, odštevati ali množiti s skalarjem in si jih ob tem tudi predstavljati, smo to lahko opravili le tako, da smo vektorje narisali in tudi rezultat predstavili grafično.

Zdaj pa bi vektorje radi predstavili s števili, iz katerih bi bile razvidne vse tri lastnosti vektorjev: smer, usmerjenost in dolžina.

Kako bomo to dosegli?

V pravokotnem koordinatnem sistemu v ravnini bomo narisali krajevni vektor in ga izrazili v ortonormirani bazi. Tako bomo dobili dve števili, ki bosta vektor točno določali in ju bomo imenovali komponenti vektorja.

Ampak lepo po vrsti! V prejšnjem odstavku smo natresli kar nekaj zelo pomembnih pojmov, brez katerih se skozi to poglavje ne boš mogel prebiti. Zato na naslednjih prosojnicah obnovi znanje potrebnih osnov.

Dopolnil besedilo, ki sledi. Lahko si pomagaš tudi s spodnjo sliko.

Z miško zgrabi točko $T$ in jo premikaj ter opazuj, kaj se dogaja z nastopajočimi števili pri točki $T$ in na koordinatnih oseh. Dopolni spodnje besedilo:

Pravokotni Enotni Pravilni koordinatni sistem v ravnini zgradimo s pomočjo dveh med sabo pravokotnih premic. Njuno presečišče imenujemo koordinatno presečišče težišče izhodišče . Ko na vsaki od premic izberemo dolžino, ki predstavlja enoto (sliko števila ), premici postaneta realni številski osi premici pravokotnici . Vodoravno os imenujemo os $x$ ali ordinatna abscisna implicitna os, navpično os pa os $y$ ali abscisna ordinatna implicitna os. Obe osi razdelita koordinatni sistem na štiri območja, ki se imenujejo oktanti sekstanti kvadranti . Prvi kvadrant je tisti, v katerem sta obe koordinati točk negativni pozitivni enaki , drugi, tretji in četrti kvadrant pa si sledijo v smeri, ki je nasprotna vrtenju urinega kazalca.

Zdaj je vsaka točkana premicah slika točno določenega realnega prostora števila vektorja in obratno: vsako realno število ima tako na osi $x$ kot tudi na osi $y$ točno določeno sliko fotografijo prasliko .

Ko poljubno točko $T$ iz ravnine pravokotno projiciramo na koordinatni osi, na vsaki posebej naletimo na sliko nekega realnega vektorskega enakega števila. Število na osi $x$ je projekcija enota koordinata $x$ ali abscisa točke $T$, število na osi $y$ pa je koordinata $y$ ali ordinata abscisa enota točke $T$.

Tako prav vsaki točki $T$ iz ravnine priredimo točno določen urejen par dvojček produkt števil, to sta koordinati točke $T$, kar zapišemo kot $T(x_T, y_T)$. Velja tudi obratno: vsak urejen par števil določa samo eno premico bazo točko ravnine.

Odgovori še na dve vprašanji: Kaj je krajevni vektor točke $T$?

Kateri stavek najnatančneje opiše ortonormirano bazo?

Še enkrat poudarimo, da je krajevni vektor $\vec{r_T}$ točke $T$ le tisti vektor, ki vodi do točke $T$, začne pa se v koordinatnem izhodišču. Zato lahko o krajevnih vektorjih govorimo le, če imamo koordinatni sistem.

Čeprav do vsake točke vodi neskončno mnogo različnih vektorjev, vodi do vsake le en sam krajevni vektor, kar lahko vidiš na spodnji sliki.

Zato lahko rečemo, da je točka s svojim krajevnim vektorjem točno določena in obratno: če poznamo točko, poznamo tudi njen krajevni vektor.

S spreminjanjem točke $T$ se spreminjajo vsi vektorji, ki vodijo do nje, a le eden od njih izhaja iz koordinatnega izhodišča.
Z miško primi točko $T$ in to poskusi sam.

Če potrebujemo bazo ravnine, zadoščata samo vektorja $\vec{i}$ in $\vec{j}$, v prostoru pa potrebujemo še vektor $\vec{k}$.

Vemo tudi, da lahko z izbranimi baznimi vektorji izrazimo prav vsak vektor ravnine oziroma prostora. Naša naslednja naloga je, da se v ortonormirani bazi ravnine naučimo izražati krajevne vektorje.

Na spodnji sliki je prikazan krajevni vektor točke $T$: $\vec{r_T}$, ki ga želimo izraziti z baznima vektorjema $\vec{i}$ in $\vec{j}$, kar pomeni, da ga želimo zapisati kot njuno linearno kombinacijo:

Zanima nas, koliko znašata skalarja $k$ in $l$, od česa sta odvisna.
Z miško premikaj točko $T$, opazuj spreminjanje različnih števil in vektorjev na sliki, nato pa odgovori na spodnja vprašanja.

Pozor!
Čeprav gre pri zapisu točke $T$ in njenega krajevnega vektorja za isti urejeni par, nastopajoča števila različno poimenujemo. Pri točki govorimo o koordinatah, pri vektorju pa o komponentah.

Paziti je treba tudi na obliko zapisa. Medtem ko med imenom vektorja in komponentami zapišemo enačaj, ga med imenom točke in koordinatami nikoli.

Kaj vse povedano pravzaprav pomeni?

Če je krajevni vektor neke točke enak $\vec{r}= 2 \cdot \vec{i}+ 3 \cdot \vec{j}= (2,3)$, to pomeni, da vodi od izhodišča do točke z enakim zapisom, kot ga ima vektor, torej do točke $(2, 3)$.

In še obratno: če nas zanima krajevni vektor točke $(-4, 6)$, vemo, da se njegov zapis v komponentah popolnoma ujema z dano točko, torej je $\vec{r}= (-4,6)= -4 \cdot \vec{i}+ 6 \cdot \vec{j}$.

Poglejmo, ali razumeš nov zapis vektorja?

Vsakega od danih vektorjev poveži še z drugo možno obliko zapisa!

Kam vodijo vektorji? Do katerih točk vodijo naslednji krajevni vektorji? V desnem stolpcu poišči koordinate teh točk.

Od zdaj naprej bomo vsak vektor zapisali v obliki urejenega para komponent, npr. $\vec{a}= (a_1, a_2)$. Naša naloga je izpeljati pravila za računanje z vektorji v takem zapisu. Pa začnimo.

Seštevanje in odštevanje vektorjev
Recimo, da poznamo dva vektorja: $\vec{a}= (a_1, a_2)$ in $\vec{b}= (b_1, b_2)$. Kako bi v tem primeru izračunali njuno vsoto $\vec{a}+\vec{b}$ in razliko $\vec{a}-\vec{b}$?

Množenje vektorja s skalarjem
Množenje vektorja s skalarjem je bila naslednja operacija, ki smo jo obravnavali. Tokrat potrebujemo vektor in skalar $k$. Kako bi vektor v komponentnem zapisu pomnožili s skalarjem?

Za vas imam zelo veselo novico: skalarno množenje vektorjev v komponentnem zapisu bo bistveno enostavnejše kot skalarno množenje "po starem" načinu, v katerem smo morali upoštevati obe dolžini vektorjev in še kosinus kota med njima.

Tokrat bomo novo pravilo izpeljali skupaj.

Imejmo dva vektorja: $\vec {a} =(a_1,\ a_2)$ in $\vec {b} =(b_1,\ b_2)$. Najprej ju bomo zapisali v obliki linearnih kombinacij baznih vektorjev $\vec {i}$ in $\vec {j}$, upoštevali distributivnost skalarnega produkta in pravokotnost baznih vektorjev in naposled dobljeni vektor spremenili v zapis z urejenim parom komponent. Pa dajmo:

Dva vektorja v komponentnem zapisu skalarno pomnožimo tako, da med sabo pomnožimo istoležne komponente in dobljene produkte seštejemo.

Pozor! Zelo pomembno je, da rezultata ne zapišete v obliki urejenega para, saj to pomeni, da ste pri skalarnem produktu vektorjema priredili nov vektor, kar pa seveda ni res. Skalarni produkt vektorjev je skalar, zato produkte istoležnih komponent seštejemo.

Rešimo naslednjo nalogo s primeri vseh obravnavanih računskih operacij z vektorji.

Dana sta vektorja $\vec a = (2, -3)$ in $\vec b =(-1,-7)$. Kateri rezultat paše h kateremu računu?

Ponovimo formuli za računanje dolžine vektorja in kosinusa kota med vektorjema, ki smo ju obravnavali pri skalarnem produktu.

Poglejmo, kako se obrazca spremenita, če oba vektorja podamo s komponentami, torej:$\vec {a} =(a_1,\ a_2)$ in $\vec {b} =(b_1,\ b_2)$.

Dolžina vektorja bo tako:

Kosinus kota med vektorjema pa bomo računali takole:

S tako nalogo se bomo pogosto srečali, saj omogoča računanje velikosti kotov v različnih likih, če na stranice lika v koordinatnem sistemu postavimo vektorje.

Na stotinko stopinje natančno izračunajmo kot med vektorjema, ki smo ju srečali v prejšnji nalogi, to sta $\vec a = (2, -3)$ in $\vec b =(-1,-7)$. $\varphi=$°

Vedno, ko bo treba določiti koordinate kake posebne točke, bomo lahko nalogo "prevedli" v določanje njenega krajevnega vektorja, saj se zapisa obeh v obliki urejenega para ne razlikujeta.
Vektor od točke A do točke B
Kako določimo komponente vektorja $\vec AB$, če poznamo koordinate njegove začetne točke $A(x_A, y_A)$ in končne točke $B(x_B, y_B)$? Oglejmo si sliko in premislimo.

Vidimo, da lahko pot od točke $A$ do točke $B$ prehodimo kar po vektorju $\vec AB$ ali pa na daljši način tako, da gremo po vektorju $\vec -\vec {r_A}$ in s tem pridemo v koordinatno izhodišče, nato pa nadaljujemo sprehod po vektorju $\vec r_B$. Zato je:

kar pomeni, da vektor od točke $A$ do točke $B$ izračunamo tako, da od krajevnega vektorja končne točke $\mathbb{B}$ odštejemo krajevni vektor začetne točke $\mathbb{A}$.

Primer: določi vektor $\vec {AB}$, če je $A(–1, 5)$ in $B(6, 1)$, kot prikazuje zgornja slika.

Ker poznamo točki $A$ in $B$, poznamo tudi njuna krajevna vektorja, ki sta $\vec r_A$ in $\vec r_B$.

Tako je

Z določanjem koordinat točke, ki je razpolovišče daljice z znanima krajiščema, smo se srečali že v 1. letniku. Tokrat bomo že znano formulo izpeljali s krajevnimi vektorji.

Naj bosta $A(x_A, y_A)$ in $B(x_B, y_B)$ krajišči daljice $AB$ Kolikšni sta koordinati točke $S$, ki razpolavlja daljico $AB$? Pomagajmo si s sliko.

Ker nas zanimata koordinati točke $S$, nas s tem zanimata komponenti njenega krajevnega vektorja.

Primer: določi razpolovišče $S$ daljice $AB$ s krajiščema $A(–4, 1)$ in $B(5, 3)$, kot kaže zgornja slika.

Uporabimo izpeljano formulo: $\vec r_S=\frac{1}{2}(\vec r_A+\vec r_B)= \frac{1}{2}((-4,1)+(5,3))= \frac{1}{2} (1,4)= (\frac{1}{2},2)$.

Ker se koordinati točke ujemata s komponentama njenega krajevnega vektorja, je razpolovišče daljice $AB$ v točki $S(\frac{1}{2},2)$. Preveri, ali se rezultat ujema s prikazom točke $S$ na sliki.

Tako kot je razpolovišče daljice na neki način težišče dveh točk (obeh krajišč daljice), sedaj iščemo točko, ki bo uravnotežila tri oglišča trikotnika.

Formula, ki jo iščemo, je posplošitev formule za razpolovišče daljice iz dveh točk na tri točke sistema.

Primer

Določi težišče trikotnika $ABC$ z oglišči $A(–7, –3)$, $B(8, 3)$ in $C(–4, 6)$.

Uporaba formule pripelje do:$\vec r_T=\frac{1}{3}(\vec r_A+\vec r_B+\vec r_C)= \frac{1}{3} ((-7,-3)+(8,3)+(-4,6)) = \frac{1}{3}(-3,6) = (-1,2)$, kar se ujema tudi s spodnjo sliko, ki prikazuje obravnavani trikotnik s težiščem.

Dane vektorje poveži z zapisom istega vektorja v drugi možni obliki.

V desnem stolpcu poišči krajevne vektorje danih točk.

V desnem stolpcu poišči koordinate točk, do katerih vodijo dani krajevni vektorji.

Zapiši vektor $\vec {AB}$, če je $A(−2, 1)$, $B(−5, 2)$.
$\vec {AB}= ($, $)$

Določi končno točko vektorja $\vec a = (−7, 4)$, če je njegova začetna točka $A(2, −1)$.

Končna točka je: $B= ($, $)$

Določi začetno točko vektorja $\vec a = (2, −3)$, če je njegova končna točka $B(4, −5)$.

Začetna točka je: $A= ($, $)$

Brez približkov izračunaj obseg trikotnika z oglišči $A(2, −3)$, $B(−4, 2)$ in $C(−5, 1)$.

Na dve decimalki natančno izračunaj kot med diagonalama štirikotnika $ABCD$ z oglišči $A(−2, −2$), $B(4, −1)$, $C(5, 4)$ in $D(1, 6)$.
(Odgovore zaokroži na dve decimalni mesti natančno)

$\varphi=$°

Dokaži, da je trikotnik z oglišči $A(1, −2)$, $B(14, 4)$ in $C(6, −6)$ pravokoten. Poveži metodo reševanja naloge in njen rezultat.

Izračunaj manjkajočo komponento $x$ vektorja $\vec a$ tako, da bosta vektorja $\vec a =(20, x)$ in $\vec b = (−5, 10)$ pravokotna oziroma vzporedna.

Da bosta pravokotna mora biti $x=$
Da bosta vzporedna mora biti $x=$

Dan je trikotnik $ABC$ z oglišči $A(−3, −4)$, $B(2, 1)$, $C(−1, 2)$. Izračunaj a) vse tri stranice, b) vse tri notranje kote, c) dolžino težiščnice na stranico $AC$, d) težišče, e) točko $M$ na stranici $AB$, za katero velja $|AM| : |MB| = 2 : 1$.
(Odgovore zaokroži na dve decimalni mesti natančno)