VIR

Vir: splošna matura;6. Junij 2009; osnovna raven; izpitna pola 1; naloga 1:

VIR

BESEDILO NALOGE

V pravokotnem trikotniku ABC s pravim kotom pri oglišču C meri kateta b = AC = 7 cm , kot pri oglišču A pa ˘ . Izračunajte ploščino tega trikotnika. Narišite skico.

MATEMATIČNO OZADJE

Za reševanje naloge bomo rabili matematično znanje. Za to nalogo konkretno znanje o geometriji.

• Reševanja naloge se lotimo tako, da si najprej izberemo točko C. to naredimo s klikom na gumb nova točka.

  

• Nato narišemo daljico AC. To naredimo s klikom na gumb Daljica z dano dolžino od izbrane točke.

  

• S pomočjo gumba pravokotnica narišemo pravokotnico skozi točko C na daljico AC.

  

• Pri točki A imamo podan kot. Tega narišemo tako, da kliknemo na gumb kot z dano velikostjo in podam velikost kota. Dobimo točko D.

  
• Nato skozi točko A in D narišem premico a. To naredim z klikom na gumb premica.
• Ko narišem premico a, dobim še tretjo točko, ki pa je presečišče premice a in pravokotnice na daljico AC skozi točko C.

• Za izračun ploščine trikotnika pa uporabim ukaz mnogokotnik[A,B,C], ki mi nariše trikotnik in izračuna njegovo ploščino.

  

  Ploščina trikotnika je 30,25 cm2

VIR

Vir: splošna matura;6. Junij 2009 osnovna raven; izpitna pola 1; naloga 9: VIR

BESEDILO NALOGE

V krog s polmerom včrtajte pravilni šestkotnik ABCDEF . Narišite vektor in izračunajte njegovo dolžino. Rezultat zaokrožite na milimetre.

MATEMATIČNO OZADJE

Da rešimo to nalogo potrebujemo matematično znanje geometrije in vektorjih. Predvsem pa moramo vedeti kako seštevamo vektorje.

RISANJE PRAVILNEGA ŠESTKOTNIKA

• Nalogo bomo reševali s pomočjo programa GeoGebra.

• Najprej narišemo krožnico z polmerom 3 cm. To naredimo s klikom na gumb krožnica s središčem in polmerom.

  

• Nato si izberemo točko na krožnici in narišemo daljico s krajiščema S in A, kjer je S središče krožnice in A je točka na krožnici. To naredimo z ukazom daljica[S,A]

• Rabimo kot 60°. Kot pa dobimo tako, polni kot, ki meri 360° delimo z 6, ker rišemo šestkotnik. Kot narišemo s pomočjo gumba kot z dano velikostjo. Narišemo pa ga tako, da najprej kliknemo točko na krožnici nato središče krožnice in nato vnesemo kot v okno.

  

  Dobimo točko B na krožnici.

• Nato pa narišemo pravilni šestkotnik. To naredimo s pomočjo ukaza pravilni mnogokotnik. To pa naredimo tako, da najprej kliknemo na točko A(ki smo jo poljubno izbrali) nato pa še na točko B(ki smo jo dobili s pomočjo kota).

  

• Ko kliknemo na točko B se nam odpre okno, kjer nas sprašuje koliko točk potrebujemo.

  
• Ker rišemo pravilni šestkotnik potrebujemo 6 točk. Nato nam GeoGebra nariše pravilni šestkotnik v krožnici z radiem 3 cm.

• Najprej narišemo vektor u, ki ima začetno točko v točki A in končno točko v točki B. to naredimo z klikom na gumb vektor z začetno in končno točko.

• Nato narišemo vektor v, ki ima začetno točko v točki B in končno točko v točki C.

  

• Ko imamo enkrat vektorja u in v narisana vnesemo v vnosno vrstico w=u+2v in tako narišemo vektor x, ki je podan v nalogi.

  

• Sedaj pa rabimo še dolžino vektorja x. To naredimo tako da v vnosno vrstico vnesemo ukaz dolžina[w]

  

  Dobimo dolžino vektorja w (oziroma v nalogi x),ki je 7,94cm. Če rezultat pretvorimo še v milimetre dobimo 79,4milimetra

VIR

Vir: poklicna matura; 28. Avgust 2004; naloga 7: VIR

BESEDILO NALOGE

Izračunajte, kje in pod kolikšnim kotom seka premica 2x+3y-6=0 abscisno os.

MATEMATIČNO OZADJE

Da rešimo problem, ki je podan v zgornji nalogi, moramo vedeti kako dobimo smerni kot premice.

• Problema se lotimo tako da enačbo 2x+3y-6=0 spremenimo tako, da y izrazimo iz enačbe. Dobimo enačbo: y=(-2x+6)/3.

• Nato uporabimo program GeoGebro in narišemo to funkcijo. To naredimo tako, da v vnosno vrstico napišemo ukaz f(x)=(-2x)/3.

  
• Na ekranu se nam nariše podana funkcija. Iz slike je razvidno da funkcija seka abscisno os pri x = 3.

• Da narišemo kot potrebujemo 3 točke. Koordinate ene točke imamo že podane. Lahko vzamemo kar ničlo funkcije. Tam narišemo točko. To naredimo z ukazom A=(3,0). Izberemo si tudi točko na abscisni osi. Recimo, da si izberemo točko B s koordinatami 4 in 0. Narišemo točko B tako, da v vnosno vrstico vnesemo B=(4,0). Nazadnje pa si izberemo še eno točko na grafu funkcije. To naredimo s klikoma na gumb nova točka.

  

• Nato narišemo kot. To naredimo tako, da v vnosno vrstico vnesemo kot[C,A,B] in GeoGebra nam nariše kot, ki je potreben za rešitev naloge

  

  Dobimo rezultat kot, ki je velikosti 33,69° in sliko, ki zgleda takole:

  

VIR

Vir: poklicna natura; 28. Avgust; 2004; 2. Del; naloga 1 VIR

BESEDILO NALOGE

Med dijaki vozači 4. letnika srednje šole so naredili anketo o oddaljenosti od šole. Odgovore so razvrstili v 5 razredov, kakor prikazuje tabela:

a) Izračunajte povprečno oddaljenost dijakov od šole.

b) Koliko odstotkov dijakov je od šole oddaljenih manj kot 12 km?

c) Narišite histogram ali frekvenčni poligon za to porazdelitev.

MATEMATIČNO OZADJE

S pomočjo znanja moramo znati izračunati sredino razreda in povprečje.

• Za reševanje naloge bomo uporabili orodje Excel.

• Naloge pa se lotimo tako da tabelo vnesemo v Excel

  

• Za to vprašanje najprej izračunamo sredino razreda. To naredimo tako, spodnjo mejo in zgornjo mejo razreda seštejemo ter delimo z 2. To naredimo za vsak razred posebej in dobimo podatke, ki so razvidni na sliki.

  
• Nato zmnožimo podatek o številu dijakov z sredino razreda. Tudi ta postopek naredimo za vsak razred posebej.

• Nato pa vsa dobljena števila seštejemo. To naredimo s funkcijo sum, ki dobi za parametre celice, kjer smo izračunali zmnožke.

  
• Na koncu pa izračunamo še povprečje. To pa naredimo tako da vsoto, ki smo jo dobili v prejšnjem koraku delimo z številom vseh dijakov. Število vseh dijakov pa dobimo, tako da podatek o številu dijakov seštejemo z funkcijo sum.

• Na koncu dobimo odgovor, ki se glasi: Povprečna oddaljenost dijakov je 8,88 km od šole.

  

79,16% dijakov je oddaljenih manj kot 12 km.

• Histogram v Excelu narišemo tako da najprej kliknemo na gumb vstavi.

• Nato kliknemo na gumb stolpčni grafikon in označimo podatke, ki bi jih radi prikazali v grafikonu.

  

• Nato nam program nariše grafikon, ki zgleda takole:

  

Vir:

pedagoška fakulteta; matematična analiza; domača naloga 8; naloga 3 VIR

BESEDILO NALOGE

Določi ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij y=x^2-2 in y=-2x+1.

MATEMATIČNO OZADJE

Problem naloge rešimo z določenimi integrali, ki nam izračunajo ploščino območja pod grafom na določenem intervalu. V nalogi imamo problem, da območje, ki ga iščemo omejujeta dve funkciji zato bomo od integrala funkcije ki leži zgoraj odšteli integral funkcije, ki leži pod prvo funkcijo.

• Nalogo bomo reševali s pomočjo programa GeoGebra.

• Naloge se lotimo tako da najprej s pomočjo vnosne vrstice narišemo obe funkciji. To naredimo tako, da v vnosno vrstico napišemo f(x)=x^2-2 in nato še funkcijo g(x)=-2x+1

  

• Nato narišemo točki, kjer se ti dve funkciji sekata. To naredimo z klikom na gumb presečišče dveh objektov. Tako dobimo točki A in B. pokaže se nam slika:

  

• Nato pa v vnosno vrstico napišemo: integral[g(x),f(x),x(A),x(B)].

  

• GeoGebra nam nato obarva območje in izračuna njegovo ploščino. Ploščina je . Dobimo pa sliko:

  

VIR

Vir: poklicna matura;17. Februar 2007; 2.del;naloga1 VIR

BESEDILO NALOGE

Septembra 2000 smo dali za liter kurilnega olja 113,90 tolarja, maja 2004 pa 98,40 tolarja.Za koliko odstotkov je bila cena kurilnega olja maja 2004 nižja od cene septembra 2000?

a) Koliko tolarjev je dala družina septembra 2000 za poln rezervoar kurilnega olja v obliki kvadra dimenzij 2,5 m, 1,2 m 1,5 m. narišite skico rezervoarja.

b) Ali zadošča2310 litrov kurilnega olja za ogrevanje od 1. oktobra do 15. marca naslednjega leta, če je dnevna poraba 15 litrov?

MATEMATIČNO OZADJE

Pri reševanju naloge uporabimo znanje o telesih, saj pri tej nalogi lahko le narišemo izračunamo volumen kvadra. Ostala vprašanja pa lahko naredimo peš.

Vprašanje a

• Naloge se lotimo tako da izračunamo koliko je kurilno olje v letu 2004 cenejše od leta 2000. To naredimo tako da ceno v letu 2004 pomnožimo z 100 in nato delimo z ceno v letu 2000. Nato pa od 100% odštejemo število, ki smo ga dobili in tako dobimo procent za koliko je cenejše kurilno olje v letu 2004 Kurilno olje je v letu 2004 cenejše za 13,64% od leta 2000.

• Nato pa s pomočjo matlaba izračunamo volumen kvadra. Za izračun volumna sem napisala funkcijo:

  

  In ko sem vnesla podatke v funkcijo mi je funkcija izračunala volumen ki je 4,5 kubičnega metra. Nato sem prostornino pretvorila v litre. Prostornina je 4500 litrov.

• Nato sem prostornino pomnožila z ceno enega litra leta 2000. Družina je tako za rezervoar dala 512 550 tolarjev.

  Vprašanje b

• Najprej sem preštela dni. Od 1.10. do 15.3. naslednjega leta je 166 dni. Nato sem število dni pomnožila z dnevno porabo kurilnega olja. Dobila sem rezultat: 2310 litrov kurilnega olja ne bo zadoščalo za časovno obdobje od 1.10. do 15.3. naslednjega leta.

VIR

Vir: poklicna matura;17. Februar 2007; 2.del;naloga 3: VIR

BESEDILO NALOGE

Na strelskem tekmovanju je sodelovalo 50 strelcev. Izidi po prvem poskusu so napisani v preglednici:

Izračunajte povprečno število točk v tem poskusu.

a.) Koliko strelcev je doseglo podpovprečni izid? Izračunajte odstotek strelcev, ki so dosegli nadpovprečni izid.

b.) Izračunajte standardni odklon dosežkov v tem poskusu

MATEMATIČNO OZADJE

Pri reševanju uporabimo znanje statistike. Predvsem moramo vedeti kako izračunamo povprečje in standardni odklon. Povprečje računamo glede na dane podatke, ki so v tej nalogi podani v tabeli.

• Za reševanje naloge bomo uporabili Excel.

• Naloge se lotimo tako, da tabelo najprej kopiramo v Excel.

  

• Najprej kliknemo na celico kjer želimo rezultat.

• Povprečja točk se lotimo tako da najprej s pomočjo funkcije SUMPRODUCT(Stolpec zadetki, Stolpec strelci.) seštejemo vse točke. Funkcija SUMPRODUCT nam pomnoži vrstico iz stolpca zadetki z isto ležno vrstico v stolpcu strelci. Tako dobimo vsoto vseh točk.

  

• Nato seštejemo še vse strelce. To naredimo s funkcijo SUM. Dobimo število vseh strelcev.

  
• Da dobimo povprečje moramo samo še podatek o vseh zadetkih deliti s številom vseh strelcev.
• Dobimo rezultat 6,72
• nadpovprečni izid je doseglo 76% strelcev.

• Standardni odklon računamo po formuli:

  ; kjer je podatek o dosežku točk za posameznega strelca, n je število strelcev in a povprečje.

• Dobimo rezultat: 1,92

VIR

Vir: poklicna matura; 31. Maj 2004; 2.del; naloga 1; VIR

BESEDILO NALOGE

Dani sta premici: x+2y=0 in2x-y-5=0 .

a.) Premici narišite v isti koordinatni sistem, označite njuno presečišče in izračunajte njegovi koordinati.

b.) Izračunajte kot med premicama.

c.) Premici in ordinatna os določajo trikotnik. Izračunajte dolžino najkrajše stranice in ploščino tega trikotnika.

MATEMATIČNO OZADJE

Pri reševanju naloge moramo vedeti kaj je sploh premica in kaj je presečišče med dvema premicama. V nalogi moramo izračunati kot in narisati premici v isti koordinatni sistem.

• Za reševanje naloge bomo rabili program GeoGebra.
• Najprej enačbi malo preoblikujemo

• Naloge se lotimo tako, da najprej narišemo obe premici v koordinatni sistem. To naredimo tako, da v vnosno vrstico napišemo f(x)=(-x)/2 in g(x)=2x-5.

  

• GeoGebra nam nariše obe premici. Nato s klikom na gumb presečišče med dvema objektoma dobimo presečišče teh dveh premic

  

• Iz dobljene slike je razvidno, da funkcija f(x) seka ordinato koordinatnem izhodišču. V koordinatnem izhodišču narišemo točko. To naredimo s pomočjo vnosne vrstice v katero vnesemo izraz: .
• Na sliki opazimo tudi da premica g(x) seka ordinato pri . Tudi to presečišče označimo s točko. To naredimo tako da vnesemo v vnosno vrstico izraz:
• S pomočjo teh treh točk narišemo kot pod katerim se sekata premici. To naredimo z ukazom kot[B,A,C], ki ga vnesemo v vnosno okno.
• Ploščino trikotnika pa izračunamo tako, da točke med seboj povežemo z ukazom mnogokotnik. Končna slika:

Ugotovimo, da se premici sekata pod pravim kotom.Ploščina trikotnika je 5 cm. Najkrajša stranica pa meri 2,24 cm.