Naj bo zrcaljenje čez ravnino x − y − z = 0. S pomočjo prehoda na novo bazo poišči matriko tega zrcaljenja v standardni bazi prostora.

Splošna enačba ravnine je ax+by+cz=d, kjer je . Ravnina je določena s točko , ki leži na ravnini in normalnim vektorjem n=(a,b,c), ki je pravokoten na dano ravnino. V našem primeru imamo torej n =(1,-1,-1) in T(0,0,0), kar pomeni, da gre ravnina skozi koordinatno izhodišče. Vemo, da je zrcaljenje preko ravnine taka preslikava, da se normalni vektor n preslika v vektor -n(njegov nasprotni vektor), vsi vektorji, ki ležijo na ravnini pa se pri zrcaljenju ohranjajo. Za reševanje zgornjega problema si bomo najprej izbrali ustrezno bazo B in sicer tako,da bomo znali zapisati matriko zrcaljenja v tej bazi(matrika A(B)). Za bazne vektorje v bazi B si bomo izbrali vektor n ter 2 vektorja a in b, ki ležita v ravnini (njune koordinate ustrezajo enačbi ravnine in se pri zrcaljenju ohranjata). Za bazne vektorje a, b in n bo moralo veljati da bodo linearno neodvisni in da bo vektor n pravokoten na vektorja a in b oziroma, da bo skalarni produkt in Ko bomo imeli bazne vektorje v bazi B bomo lahko zapisali matriko zrcaljenja v bazi B. Nato bomo potrebovali matriko P, ki bo prehodna matrika med bazama B in standardno bazo S. Standardna baza S={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) } . V matriki P so bazni vektorji iz B razviti po bazi S(npr. 1. Stolpec matrike P predstavlja komponente 1. Baznega vektorja iz B razvitega po baznih vektorjih iz S).

Matriko A , ki bo predstavljala zrcaljenje v standardni bazi S bomo nato dobili kot: , kjer predstavlja inverz prehodne matrike B.

Poiščimo torej ustrezne bazne vektorje v bazi B: B={n ,a ,b }

n=(1,-1,-1)

Poiščemo še 2 vektorja, ki ustrezata zgoraj naštetim pogojem: Npr.: a =(0,1,-1) in b =(-1,0,-1) Torej baza S:

B={ (1,-1,-1) , (0,1,-1) ,(-1,0,-1) }

Matrika zrcaljenja v bazi S:

Kako dobimo to matriko? Oglejmo si na primer 1. stolpec matrike A(B), ki predstavlja komponente slik baznih vektorjev. 1. Bazni vektor je n , njegova slika pri zrcaljenju je enaka –n =-1*n + 0*a + 0*b , zato v 1. Stolpec zapišemo komponente tega vektorja, ki so enake (-1,0,0). Podobno naredimo za 2. In 3. Stolpec, kjer upoštevamo, da se vektor v ravnini pri zrcaljenju ohranja.

Poiščimo še ustrezno prehodno matriko P:

• V Matlab vnesemo matriko A(B) in P:

• Izračunamo inverz matrike P:

  

• Izračunamo matriko A(S) po formuli: A(S)=P*A(B)*P_1

  

Preverjanje ustreznosti rešitve:

• izberemo poljuben vektor v ravnini: npr. x=(10,5,5)

• Pogledamo kam se slika vektor x pri zrcaljenju ; v Matlab vnesemo A(S)*x:

  
• Vidimo, da se vektor slika v enak vektor(se pri zrcaljenju ohranja), kar pomeni, da je zgornja rešitev ustrezna, saj smo si izbrali vektor, ki leži v ravnini in se pri zrcaljenju mora ohraniti.