Naravna števila
Množico naravnih števil označimo z , to je množica števil od 1 do neskončno ali drugače .
Lastnosti naravnih števil:
Upodobitev naravnih števil:
Soda števila so vsi večkratniki števila 2, torej 2,4,6,8,..2n,... . Liha števila pa so 1,3,5,7,...2n-1,... . Naravna števila so sestavljena iz sodih in lihih števil.
Operacije v množici naravnih števil
1. SEŠTEVANJE: Poljubni dve naravni števili in seštejemo in dobimo vsoto .
2. MNOŽENJE: Poljubni dve naravni števili in zmnožimo in dobimo produkt oziroma zmnožek , kjer imamo členov .
Cela števila
Radi bi kupili novo kolo, ki stane več, kot imate prihranjenega denarja. Da bi izračunali, koliko vam morajo starši posoditi, moramo uvesti novo množico števil.
To so cela števila, ki jih označimo z . Množico celih števil dobimo tako, da množici naravnih števil dodamo število 0 in negativna cela števila -1,-2,-3,... Torej, to je množica števil od - neskončno pa do neskončno ali drugače . Številsko premico razširimo tako, da vsa naravna števila prezrcalimo čez izhodišče in število je nasprotno številu .
Negativna cela števila so vsa števila od - neskončno do števila -1 ali simbolično . Pozitivna cela števila pa so ravno vsa naravna števila.
V množici celih števil lahko odštejemo poljubni dve števili, sedaj velja , odštevanje je le prištevanje nasprotne vrednosti.
Računski zakoni
V množici celih števil pa lahko uvedemo še operacijo ODŠTEVANJA:
Eno število odštejemo od drugega, rezultatu pa pravimo razlika. Razlika je tisto naravno število, ki ga moramo prišteti številu , da dobimo število . Velja .
Naj bodo , in naravna števila. Zanje velja:
Posledice osnovnih računskih zakonov
Potence z naravnim eksponentom
Če je celo število in naravno število, je potenca, ki pa je le krajši zapis produkta enakih faktorjev:
|
Izrazi
Večkratnik oziroma -kratnik števila je vsota enakih členov , kjer sta in celi števili. Na primer, večkratniki števila 4 so -8,-4,0,4,8,12,16,... .
Izraz je smiseln zapis, sestavljen iz števil, spremenljivk, operacij in oklepajev, ki določajo vrstni red računanja. Nekaj najbolj pomembnih izrazov:
| Kvadrat vsote | |
| Kvadrat razlike | |
| Kub vsote | |
| Kub razlike | |
| Razlika kvadratov | |
| Razlika kubov | |
| Vsota kubov | |
| Izpostavljanje skupnega faktorja | |
| Razlika n-tih potenc | |
| Vsota n-tih potenc |
Če v izrazu ni oklepajev, ima množenje prednost pred seštevanjem oziroma odštevanjem. Če pa so v izrazu oklepaji, moramo najprej izvesti operacije znotraj oklepajev.
Tričlenik je izraz oblike . Kvadrat pa je . Če sedaj vsak člen prvega oklepaja pomnožimo z vsakim členom drugega oklepaja, dobimo .
Zgledi
Razcep kvadratnega tričlenika
Radi bi razcepili kvadratni tričlenik oblike oblike .
Včasih lahko tričlenik razcepimo kar na pamet, pri tem pa mora veljati:
kjer sta in celi števili.
Dobimo . Tej formuli rečemo Vietovo pravilo.
PREMISLITE
Ali se katerega izmed kvadratnih tričlenikov ne da razstaviti po Vietovem pravilu?
Da, le redke izraze se lahko razcepi z uporabo Vietovega pravila. Vse ostale izraze pa boste lahko razcepili z uporabo drugih formul v kasnejših letnikih. Na primer izraza se ne da razcepiti z uporabo Vietovega pravila, saj velja , vendar ne velja . Ali druga možnost, velja , vendar ne velja .
Deljivost v množici naravnih števil
Za rojstni dan smo dobili 14 bonbonov, ki jih želimo razdeliti med prijatelje:
Dobili smo tudi 7 čokolad, ki jih želimo pravično razdeliti. Tu imamo le dve možnosti, da en prijatelj dobi vseh 7 čokolad ali da 7 prijateljev dobi po 1 čokolado.
Lahko bi rekli tudi drugače, število 7 ima le dva delitelja, to sta 1 in 7, število 14 pa več, to so 1,2,7 in 14.
Naj bosta in dve sodi števili. Njuna vsota je enaka , kar je spet sodo število.
Naj bosta in dve lihi števili. Njuna vsota je enaka ali , kar pa je sodo število.
Naj bo sodo in liho število. Njuna vsota je enaka , kar je liho število.
Naj bosta in dve lihi števili. Njun produkt je enak , kar je liho število.
Naj bo število sodo. Če zmnožimo števili in , dobimo , kar je res sodo število.
Desetiški zapis števil
Oglejmo si število 2476. To število je sestavljeno iz enic, desetic, stotic in tisočic. Lahko zapišemo tudi kot 6E 7D 4S 2T. To pa so ravno potence števila 10. Lahko pa to število zapišemo tudi drugače:
Naj bo neko naravno število. Desetiški zapis tega števila je
kjer so števke od 0 do 9.
Zapišimo število 2476 v desetiškem zapisu: .
Za zapis števil uporabljamo arabske številke. Številski sistem je sistem, v katerem so urejena števila. Najbolj uporabljan je desetiški številski sestav, ki izhaja najverjetneje iz tega, da imamo ljudje 10 prstov. Na posameznih področjih pa se uporabljajo tudi sistemi z drugo osnovo.
Kriteriji za deljivost
S katerimi števili od 2 do 10 je deljivo število 254782222445425423? Ker bi bilo preverjanje tega s kalkulatorjem ali pisnim deljenjem na pamet prezamudno, lahko to storimo s pomočjo kriterijev za deljivost:
| Število je deljivo s/z | če |
| 2 | je zadnja števka soda |
| 5 | je zadnja števka 0 ali 5 |
| 10 | je zadnja števka 0 |
| 4 | je dvoštevilski konec deljiv s 4 |
| 8 | je dvoštevilski konec deljiv z 8 |
| 25 | je dvoštevilski konec deljiv s 25 |
| 100 | sta zadnji dve števki 0 |
| 3 | je vsota njegovih števk deljiva s 3 |
| 9 | je vsota njegovih števk deljiva z 9 |
| 11 | je alternirajoča vsota njegovih števk deljiva z 11 |
| 6 | je deljivo hkrati z 2 in s 3 |
Če imamo število 24568, ga lahko zapišemo kot . Ker so števila 10,100,1000,10000 vsa deljiva z 2, jo lahko izpostavimo in dobimo . Dobili smo število, ki je deljivo z 2 in enice. Torej je število deljivo z 2 takrat, ko so njegove enice deljive z 2. To pa je v primeru, ko so enice 0,2,4,6 ali 8. Število 24568 je deljivo z 2. Na podoben način dobimo kriterije za deljivost z ostalimi števili.
Število je deljivo z 9, če je vsota njegovih števk deljiva z 9. Vsota števk števila 52a6a6 je enaka . Ker mora biti to število deljivo z 9, lahko zapišemo tudi . Če je , dobimo in . Če je , dobimo in . Ker pa je števka, je to lahko le število 4. Zato je iskano število 524646.
Praštevila in sestavljena števila
Glede na število deliteljev lahko števila razdelimo v skupine:
Osnovni izrek matematike:
Vsako naravno število lahko zapišemo na natanko en način kot produkt samih praštevil, pri tem pa lahko posamezno praštevilo nastopi večkrat.
Izraz lahko zapišemo kot . Če za vzamemo najmanjše naravno število 1, je , za poljuben pa je , zato je število sestavljeno.
Osnovni izrek o deljenju
Naj bosta in naravni števili in . Potem obstajata natanko določeni nenegativni celi števili in , tako da velja:
.
... deljenec
... delitelj
... količnik ali kvocient
... ostanek.
Primer:
Pri deljenju s številom 4 lahko dobimo ostanek 0,1,2 ali 3. Primer:
44:4=11, ostanek 0
45:4=11, ostanek 1
46:4=11, ostanek 2
47:4=11, ostanek 3
48:4=12, ostanek 0
...
Osnovni izrek o deljenju pravi, da je , z našimi podatki pa dobimo . To število je 126.
Največji skupni delitelj
Imamo števili 20 in 24.
Največji skupni delitelj dveh števil in je tako največje naravno število, ki hkrati deli in .
Postopek:
Če za dve naravni števili velja, da je njun največji skupni delitelj enak 1, potem pravimo, da sta si števili tuji.
Ker dve praštevili nimata skupnega prafaktorja in je edini skupni delitelj število 1, je to tudi njun največji skupni delitelj. Torej sta si dve praštevili tuji.
Zgled
Poiščimo največji skupni delitelj števil 120,144 in 180.
| 
| 
|
Za največji skupni delitelj vzamemo tista praštevila, ki so skupna vsem trem razcepom in pri posameznih številih najmanjšega od eksponentov. Skupni sta števili 2 in 5 z eksponentoma 1.
Najmanjši skupni večkratnik
Imamo števila 24,56 in 84.
Najmanjši skupni večkratnik dveh števil in je tako najmanjše naravno število, ki je hkrati deljivo z in z .
Postopek:
Velja trditev
Zgled
Poiščimo najmanjši skupni večkratnik števil 150, 240 in 686.
| 
| 
|
Za najmanjši skupni večkratnik vzamemo tista praštevila, ki nastopajo v vseh treh razcepih in pri posameznih številih največjega od eksponentov. To so torej števila 2, 3, 5 in 7. Pri številu 2 je največji eksponent 4, pri številu 3 1, pri številu 5 je to število 2, pri številu 7 pa 3.
Evklidov algoritem
Evklidov algoritem je drug način za iskanje največjega skupnega delitelja dveh števil. Pri tem postopku uporabljamo osnovni izrek o deljenju. Naredimo kar primer na številih 725 in 75:
Prvo število zapišemo kot produkt drugega števila z nekim drugim številom plus ostanek. Potem delitelj postane deljenec, prejšnji ostanek pa delitelj. Postopek se v končno mnogo korakih konča. Največji skupni delitelj števil je zadnji od 0 različen ostanek pri deljenju v Evklidovem algoritmu.
